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第7講 立體幾何中的向量方法（一） A級　基礎演練 (時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．若直線l1，l2的方向向量分別為a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，則 (　　)． A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1與l2相交但不垂直 D．以上均不正確 答案　B 2．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是 (　　)． A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 解析　若l∥α，則a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D選項中a·n＝－3＋3＝0. 答案　D 3．平面α經(jīng)過三點A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，則下列向量中與平面α的法向量不垂直的是 (　　)． A. B．(6，－2，－2) C．(4,2,2) D．(－1,1,4) 解析　設平面α的法向量為n，則n⊥，n⊥，n⊥，所有與(或、)平行的向量或可用與線性表示的向量都與n垂直，故選D. 答案　D 4．(2012·全國)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為 (　　)． A．2 B. C. D．1 解析　連接AC，交BD于點O，連接EO，過點O作OH⊥AC1于點H，因為AB＝2，所以AC＝2，又CC1＝2，所以OH＝sin 45°＝1. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a與b的夾角的余弦值為，則λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案?。?或 6．在四面體PABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，設PA＝PB＝PC＝a，則點P到平面ABC的距離為________． 解析　根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系P－xyz，則P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．過點P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于點H，則PH的長即為點P到平面ABC的距離． ∵PA＝PB＝PC， ∴H為△ABC的外心． 又∵△ABC為正三角形， ∴H為△ABC的重心，可得H點的坐標為. ∴PH＝ ＝a. ∴點P到平面ABC的距離為a. 答案　a 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別為BB1、C1D1的中點，建立適當?shù)淖鴺讼?，求平面AMN的一個法向量． 解　以D為原點，DA、DC、DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系(如圖所示)． 設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則A(1,0,0)， M，N. ∴＝，＝. 設平面AMN的一個法向量為n＝(x，y，z)， ∴ 令y＝2，∴x＝－3，z＝－4.∴n＝(－3,2，－4)． 8．(13分)如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點． 求證：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 證明　(1)建立如圖所示的空間直角坐標系， 設AC∩BD＝N，連接NE. 則N，E(0,0,1)， A(，，0)，M ∴＝. ＝. ∴＝且NE與AM不共線．∴NE∥AM. 又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝， ∵D(，0,0)，F(xiàn)(，，1)， ∴＝(0，，1) ∴·＝0，∴AM⊥DF. 同理AM⊥BF. 又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實數(shù)x，y，z分別為 (　　)． A.，－，4 B.，－，4 C.，－2,4 D．4，，－15 解析　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)， 則解得 答案　B 2．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且＝，N為B1B的中點，則||為 (　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D為原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 設M(x，y，z)， ∵點M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別是棱BC、DD1上的點，如果B1E⊥平面ABF，則CE與DF的和的值為________． 解析　以D1A1、D1C1、D1D分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設CE＝x，DF＝y(tǒng)，則易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需·＝(1,1，y)·(x－1，0,1)＝0?x＋y＝1. 答案　1 4．(2013·淮南模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點，點Q為平面ABCD內一點，線段D1Q與OP互相平分，則滿足＝λ的實數(shù)λ的有____________個． 解析　建立如圖的坐標系，設正方體的邊長為2，則P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中點坐標為，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3， ∴x＋y＝1，即點P坐標滿足x＋y＝1.∴有2個符合題意的點P，即對應有2個λ. 答案　2 三、解答題(共25分) 5．(12分)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點． (1)求證：EF⊥CD； (2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論． (1)證明　如圖，以DA、DC、DP所在直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AD＝a，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F. ＝，＝(0，a,0)． ∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD. (2)解　設G(x,0，z)，則＝， 若使GF⊥平面PCB，則由 ·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝； 由·＝·(0，－a，a) ＝2＋a＝0， 得z＝0. ∴G點坐標為，即G點為AD的中點． 6．(13分)(2012·湖南)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點． (1)證明：CD⊥平面PAE； (2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積． 解　如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．設PA＝h，則相關各點的坐標為：A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4，3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)， P(0,0，h)． (1)易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h)． 因為·＝－8＋8＋0＝0，·＝0，所以CD⊥AE，CD⊥AP.而AP，AE是平面PAE內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE. (2)由題設和(1)知，·分別是平面PAE，平面ABCD的法向量．而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|， 即＝. 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h(huán))， 又＝(4,0，－h(huán))， 故＝. 解得h＝. 又梯形ABCD的面積為S＝×(5＋3)×4＝16， 所以四棱錐P－ABCD的體積為V＝×S×PA＝×16×＝. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.