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第2課時 等差數列前n項和的性,,1．等差數列{an}的公差為d，前n項和為Sn，那么數列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…(k∈N＋)是等差數列，其公差等于 . 2．若在等差數列{an}中，a10，d0，則Sn存在 ．,k2d,最大值,最小值,n(an＋an＋1),nd,nan,(n－1)an),1．在等差數列{an}中，S10＝120，a2＋a9的值為( ) A．12 B．24 C．36 D．48,答案：B,2．已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3. 答案：B,3．等差數列{an}的前n項和為Sn，若S2＝2，S4＝10，則S6等于( ) A．12 B．18 C．24 D．42 解析：∵等差數列{an}的前n項和為Sn，∴有S2，S4－S2，S6－S4成等差數列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．整理得S6＝3S4－3S2＝3×10－3×2＝24. 答案：C,4．等差數列{an}中，公差d＝ ，前100項和S100＝45，則a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________.,答案：10,5．數列{an}是等差數列，a1＝50，d＝－0.6. (1)從第幾項開始有an0； (2)求此數列的前n項和的最大值．,,,[點評] 巧用性質解題，使計算化繁為簡．,遷移變式1 (1)等差數列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，則a9＋a10＋a11＋a12＝________. (2)一個等差數列前n項和為25，前2n項和為100，求其前3n項的和．,解析：由題意知S4＝30，S8－S4＝80，∵S4，S8－S4，S12－S8成等差數列， ∴30、80、S12－S8成等差數列． ∴S12－S8＝130. 而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12， ∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.,(2)Sn＝25，S2n＝100.設S3n＝x 由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數列 ∴25,100－25，x－100成等差 ∴(x－100)＋25＝2(100－25) ∴x－100＋25＝150 ∴x＝225 ∴S3n＝225 答案：(1)130 (2)225,[分析] 條件是前n項和的比值，而結論是通項的比值．所以，需要將通項的比值轉化為前n項和的比值．,[點評] 恰當的應用等差中項可以簡化解題過程．,答案：9,[例3] 在等差數列{an}中，S12＝354，在這12項中S偶∶S奇＝32∶27，求公差d. [分析] 可以通過a1與d來求；也可以考慮奇數項與偶數項和的性質．,答案：(1)2 (2)B,[例4] 等差數列{an}中，a1＝25，S17＝S9，問數列前多少項之和最大，并求此最大值．,解法3：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝250，∴a130，a140. ∴S13最大，最大值為169.,[點評] 綜合上面的方法我們可以得到求數列前n項和的最值問題的方法：(1)運用配方法轉化為二次函數，借助函數的單調性以及數形結合，從而使問題得解；(2)通項公式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．這是因為：當an0時，SnSn－1，即單調遞減．,遷移變式4 已知{an}是一個等差數列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通項an； (2)求{an}前n項和Sn的最大值．,1．等差數列的性質 (1)等差數列{an}中，依次k項的和仍組成等差數列，即a1＋a2＋…＋ak，ak＋1＋ak＋2＋…＋a2k，a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k，…仍為等差數列． (2)由等差數列的前n項和公式Sn＝na1＋ 可知若數列{an}的前n項和為Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C∈R)，若{an}為等差數列，則C＝0；若C＝0，則{an}為等差數列．,2．等差數列的前n項和的最值 解決等差數列的前n項和的最值的基本思想是利用前n項和公式與函數的關系來解決問題，即： (1)二次函數法：用求二次函數的最值方法來求其前n項和的最值，但要注意的是：n∈N*. (2)圖象法：利用二次函數圖象的對稱性來確定n的值，使Sn取最值．,(3)通項法：當a10，d0時，SnSn－1，即遞增；當an0時，則n為使an≤0成立的最大自然數時，Sn最?。?