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4.4 解直角三角形的應(yīng)用 第1課時 教學(xué)目標(biāo) 【知識與能力】 比較熟練地應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題． 【過程與方法】 通過學(xué)習(xí)進(jìn)一步掌握解直角三角形的方法． 【情感態(tài)度價值觀】 培養(yǎng)學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力． 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 應(yīng)用解直角三角形的知識解決與仰角、俯角有關(guān)的實際問題． 【教學(xué)難點】 選用恰當(dāng)?shù)闹苯侨切?，分析解題思路． 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知 海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁．今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎？你是如何想的？與同伴進(jìn)行交流． 【教學(xué)說明】經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決實際問題中的應(yīng)用． 二、思考探究，獲取新知 1．某探險者某天到達(dá)如圖所示的點A處，他準(zhǔn)備估算出離他的目的地——海拔為3500m的山峰頂點B處的水平距離．你能幫他想出一個可行的辦法嗎？ 分析：如圖，BD表示點B的海拔，AE表示點A的海拔，AC⊥BD，垂足為點C.先測量出海拔AE，再測出仰角∠BAC，然后用銳角三角函數(shù)的知識就可以求出A、B之間的水平距離AC. 【歸納結(jié)論】當(dāng)我們進(jìn)行測量時，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫作仰角，在水平線下方的角叫作俯角． 2．如圖，在離上海東方明珠塔底部1000m的A處，用儀器測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，儀器距地面高為1.7m.求上海東方明珠塔的高度．(結(jié)果精確到1m) 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，AC＝1000m，因此tan25°＝＝ ∴BC＝1000×tan25°≈466.3(m)， ∴上海東方明珠塔的高度(約)為466.3＋1.7＝468米． 【教學(xué)說明】利用實際問題承載數(shù)學(xué)問題，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．教師要幫助學(xué)生學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而解決問題． 三、運用新知，深化理解 1．如圖，某飛機于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機上看地平面控制點B的俯角α＝16°31′，求飛機A到控制點B的距離．(精確到1米) 分析：利用正弦可求． 解：在Rt△ABC中sinB＝ ∴AB＝＝≈4221(米) 答：飛機A到控制點B的距離約為4221米． 2．熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m.這棟高樓有多高(結(jié)果精確到0.1m)? 分析：在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120.所以可以利用解直角三角形的知識求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC. 解：如圖，α＝30°，β＝60°，AD＝120. ∵tanα＝，tanβ＝， ∴BD＝ADtanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝ADtanβ＝120×tan60°＝120×＝120. ∴BD＝BD＋CD＝40＋120＝160≈227.1 答：這棟高樓約高277.1m. 3．如圖，在離樹BC 12米的A處，用測角儀測得樹頂?shù)难鼋鞘?0°，測角儀AD高為1.5米，求樹高BC.(計算結(jié)果可保留根號) 分析：本題是一個直角梯形的問題，可以通過過點D作DE⊥BC于E，把求CB的問題轉(zhuǎn)化求BE的長，從而可以在△BDE中利用三角函數(shù)． 解：過點D作DE⊥BC于E，則四邊形DECA是矩形，∴DE＝AC＝12米．CE＝AD＝1.5米．在直角△BED中，∠BDE＝30°， tan30°＝， ∴BE＝DE·tan30°＝4米． ∴BC＝BE＋CE＝(4＋)米． 4．廣場上有一個充滿氫氣的氣球P，被廣告條拽著懸在空中，甲乙二人分別站在E、F處，他們看氣球的仰角分別是30°、45°，E點與F點的高度差A(yù)B為1米，水平距離CD為5米，F(xiàn)D的高度為0.5米，請問此氣球有多高？(結(jié)果保留到0.1米) 分析：由于氣球的高度為PA＋AB＋FD，而AB＝1米，F(xiàn)D＝0.5米，故可設(shè)PA＝h米，根據(jù)題意，列出關(guān)于h的方程可求解． 解：設(shè)AP＝h米，∵∠PFB＝45°， ∴BF＝PB＝(h＋1)米， ∴EA＝BF＋CD＝h＋1＋5＝(h＋6)米， 在Rt△PEA中，PA＝AE·tan30°， ∴h＝(h＋6)tan30°， ∴氣球的高度約為PA＋AB＋FD＝8.2＋1＋0.5＝9.7米． 【教學(xué)說明】鞏固所學(xué)知識．要求學(xué)生學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題；根據(jù)題意思考題目中的每句話對應(yīng)圖中的哪個角或邊，本題已知什么，求什么． 四、師生互動、課堂小結(jié) 先小組內(nèi)交流收獲和感想，而后以小組為單位派代表進(jìn)行總結(jié)．教師作以補充． 課后作業(yè) 布置作業(yè)：教材“習(xí)題4.4”中第2、4、5題． 教學(xué)反思 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了有關(guān)仰角、俯角的解直角三角形的應(yīng)用題，對于這些問題，一方面要把它們轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題，另一方面，針對轉(zhuǎn)化而來的數(shù)學(xué)問題應(yīng)選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識加以解決． 4