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一元二次方程 知識點一：一元二次方程的定義 等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是 類型： 判斷一元二次方程的步驟 1. 把方程化成一般形式 2. 最高次數(shù)=2 3. 最高次項的系數(shù)≠0 例1：1.下列方程時一元二次方程的是 ①；②；③；④；⑤ 　 ⑥x2﹣1=y ⑦（x+2）（x+1）=x2 ⑧ 6x2=5 ⑨ ⑩+3x +y=0 ；? x+y+1=0 ；? ； ? ?；?3y2﹣2y=﹣1；?2x2﹣5xy+3y2=0；? ? 2x2+3=3；? x2+5x=0；? x2+4xy?10=0；④ x+2x=3；⑤ 2xx?3=2x2+1； ⑥ 1x+2x=x?6；⑦ 2x2+1=12x；⑧ abx2+a+bx+1=0；⑨ x2?33x+4=0； ⑩ px2+qx+m=0（p≠0）． 2．關于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，則m應滿足條件是　_________?。? 　 3．關于x的一元二次方程ax2﹣3x+2=0中，a的取值范圍是　_________　． 　 4．當m=　_________　時，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程． 　 5．若關于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣5=0是一元二次方程，則k的取值范圍是__________ 例2：當 時，方程為一元二次方程 6．若是關于x的一元二次方程，則a=　_________?。? 7．若關于x的方程（m﹣1）﹣mx﹣3=0是一元二次方程，則m=　_________?。? 8．當k=　_________　時，（k﹣1）﹣（2k﹣1）x﹣3=0是關于x的一元二次方程． 9．方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是關于x的一元二次方程，則m=__________ 　 10．關于x的方程（m﹣2）x|m|﹣mx+1=0是一元二次方程，則m=___________ 知識點二：一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次項，是二次項系數(shù)；是一次項，是一次項系數(shù)；是常數(shù)項 ①；②指出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項時，一定要帶上前面的符號 ③一元二次方程化為一般形式時，若沒出現(xiàn)一次項，并不是沒有，而是 例3： 把方程（1）（2）xx?2=4x2?3x（3）x+82=4x+2x?12 （4）x23?x+12=?x?12化為一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項 1．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是_______________ 2.一元二次方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項分別是 3.一元二次方程－3x = 4的一般形式是 ，一次項系數(shù)為 。 4．一元二次方程3+2-5=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項依次為_______________ 5.把一元二次方程2（-1）=（-3）+4化成一般式之后，其二次項系數(shù)與一次項分別是___________________ 6．方程2=3（-2）化為一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是____________________ 7.一元二次方程2-b=1的常數(shù)項為________________ 8下面的一元二次方程中，常數(shù)項為5的方程是（　?。? A．5-3+1=0 B．3+5+1=0 C．3-+5=0 D．3-=5 9一元二次方程-3+5x=7的二次項系數(shù)是___________ 10．若關于x的一元二次方程+5+m2-1=0的常數(shù)項為0，則m等于___________ 11. 關于x的一元二次方程x2+（2a-1）x+5-a=ax+1的一次項系數(shù)為4，則常數(shù)項__________ A.1 B.-1 C.0 D. 5 知識點三：一元二次方程的解 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根 ①代入法檢驗一個數(shù)是否是方程的根 ②代入方程的根，可以求方程中的未知字母系數(shù)或字母常數(shù)的值 1：下列哪些數(shù)是方程的根 ，，，，，，，， 2：關于的一元二次方程的一個根是，則= 3. 關于 x 的一元二次方程 k?3x2+x+k2?9=0 有一個根是 0，則 k 的值是?( ) A. 3 B. ?3 C. 3或?3 D. 0 4：已知方程有一個根是，則的值為 5：如果是方程的一個根，那么常數(shù)是多少？求出這個方程的其他根 6. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有一根為 ?1，則 a，b，c 滿足的關系式是 ?． 7. 如果 x=2 是方程 x2?kx+2=0 的解，則 k 的值是 ?． 8. 已知關于 x 的一元二次方程 2x2?3kx+4=0 的一個根是 1，則 k= ?． 9. 已知 x=1 是一元二次方程 x2+mx+n=0 的一個根，則 m2+2mn+n2 的值為 ?． 10. 若關于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0a≠0 的解是 x=1，則 2013?a?b 的值是?( ) A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012 11. 如果 2 是一元二次方程 x2=c 的一個根，那么常數(shù) c 是?( ) 12.一元二次方程a+bx +c=0（a≠0）有一個根為1，則a+b +c= 。 知識點四：根據(jù)實際問題列一元二次方程 根據(jù)下列問題，列方程，并化成一般式 例1：有一塊矩形鐵皮，長，寬，在它的四角切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的無蓋方盒的底面積為，那么鐵皮各角應切去多大的正方形 例2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排天，每天安排場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？ （1） 個完全相同的正方形的面積之和是，求正方形的邊長 （2） 一個矩形的長比寬多，面積是，求矩形的長 （3） 把長為的木條分成兩段，使較短一段的長與全長的積，等于較長一段的長的平方，求較短一段的長 （4） 一個圓的面積是，求半徑 （5） 一個直角三角形的兩條直角邊相差，面積是，求較長的直角邊的長 （6） 有一根長的鐵絲，怎樣用它圍成一個面積為的矩形？ （7） 參加一次聚會的每兩人都握了一次手，所有人共握手次，有多少人參加聚會？ 1. 一元二次方程的解法 （1）直接開平方法： 形如的方程可以用直接開平方法解，兩邊直接開平方得或者，。 注意：若b<0，方程無解 4、 方程 = 225的根是 。 5、 解方程 ． (5) (x+1)2=0 (6)2(x－1)2=0 (7)(2x+1)2=0 (8)(2x－1)2=1 （9） (2x+1)2=3 （10） (x+1)2－144=0 3x2－1=0 =0 （1）2x2－24=0 （2） （3）2(x－2)2=50 （4） （1） 配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步驟 ①二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)； ②移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項； ③配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一般的平方，把方程化為的形式； ④用直接開平方法解變形后的方程。 注意：當時，方程無解 5、 （－24x + ） =（x－ ）2。 ①、x2+6x+????? =（x+??? ）2； ②、x2－5x+??? ? =（x－??? ）2； ③、x2+ x+???? ? =（x+??? ）2； ④、x2－9x+???? =（x－?? ? ）2 6、 用配方法解方程 ． （1）3x2-5x=2． （2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） x2-x-4=0 1、 . 2、 3、 4、 5、 6、 （2）因式分解法： 一般步驟如下： ①將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0； ②將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式； ③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程； ④解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解。 7、 方程3 －5 x=0的根是 。 8、 因式分解法解方程 ． y2＋7y＋6＝0； （1） ； （2）； （3） ； （4）。 （5） ； （6）； （7） ； （8）； （10）. (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1． （2） ； （3）； （4）. （2） 公式法： 一元二次方程 根的判別式： 方程有兩個不相等的實根:（）的圖像與軸有兩個交點 方程有兩個相等的實根的圖像與軸有一個交點 方程無實根的圖像與軸沒有交點 9、 關于x的一元二次方程m－2x +1= 0有兩個相等實數(shù)根，則m= 。 11、不解方程，判別下列方程的根的情況： (1)； (2)； (3)． 12、用公式法解方程 1、 2、 3、 4、 5、 6、 13、 用適當方法解方程 （1）x+ 2x + 3=0 （2）x+ 6x－5=0 (3) x－4x+ 3=0 (4) x－2x－1 =0 (5) 2x+3x+1=0 (6) 3x+2x－1 =0 (7) 5x－3x+2 =0 (8) 7x－4x－3 =0 (9) -x-x+12 =0 (10) x－6x+9 =0 考點四、根的判別式 根的判別式的作用： ①定根的個數(shù)； ②求待定系數(shù)的值； ③應用于其它。 典型例題： 例1、若關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是 。 例2、關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是( ) A. B. C. D. 例3、已知關于x的方程 (1)求證：無論k取何值時，方程總有實數(shù)根； 針對練習： ★1、當k 時，關于x的二次三項式是完全平方式。 ★3、已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的值是 . ★★4、為何值時，方程 （1）有兩個相等的實數(shù)解，并求此解； （2）有兩個不相等的實數(shù)解； （3）沒有實數(shù)解. 2. 韋達定理（根與系數(shù)關系） 我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之后，設它的兩個根是和，則和與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關系： +＝； ＝ 9、 已知,是方程2+3x －4=0的兩個根，那么 + = , .= 。 10、已知方程的一個根是2，求另一根及k的值． 11、利用根與系數(shù)的關系，求一元二次方程兩根的 (1)平方和；(2)倒數(shù)和． 12、已知方程的兩根平方和是34，求m的值． 13、 求一個一元二次方程，使它的兩個根是2、10． 14、 已知兩個數(shù)的和等于8，積等于9，求這兩個數(shù)． 若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 1．設x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的兩根，則x12＋x22的值為_________ 2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的兩根，則x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ， （x1－x2）2＝ 3．已知方程2x2－3x+k=0的兩根之差為2，則k= ; 4．若方程x2+(a2－2)x－3=0的兩根是1和－3，則a= ; 5．若關于x的方程x2+2(m－1)x+4m2=0有兩個實數(shù)根，且這兩個根互為倒數(shù)，那么m的值為 ; 6． 設x1,x2是方程2x2－6x+3=0的兩個根，求下列各式的值： (1) x12x2+x1x22 (2) + 7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系，求下列各式的值： 4.一元二次方程的應用 列一元二次方程解應用題，其步驟和二元一次方程組解應用題類似 ①“審”，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關系； ②“設”指設元，即設未知數(shù)，可分為直接設元和間接設元； ③“列”指列方程，找出題目中的等量關系，再根據(jù)這個關系列出含有未知數(shù)的等式，即方程。 ④“解”就是求出說列方程的解； ⑤“答”就是書寫答案，檢驗得出的方程解，舍去不符合實際意義的方程。 注意：一元二次方程考點：定義的考察；解方程及一元二次方程的應用。 類型一：比賽問題 1. 參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行一場比賽，共比賽45場比賽，共有幾個隊參加比賽。 2. 參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩次比賽，共比賽90場比賽，共有幾個隊參加比賽。 3. 生物興趣小組的學生，將自己收集的標本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，這個小組共有多少名同學？ 4. 一個小組有若干人，新年互送賀卡，若全組共送賀卡72張，這個小組共有多少人？ 類型二：增長率 變化前數(shù)量×（1x）n＝變化后數(shù)量 1. 青山村種的水稻2001年平均每公頃產(chǎn)7200公斤，2003年平均每公頃產(chǎn)8450公斤，水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為。 2. 某種商品經(jīng)過兩次連續(xù)降價，每件售價由原來的90元降到了40元，求平均每次降價率是。 3.某種商品，原價50元，受金融危機影響，1月份降價10％，從2月份開始漲價，3月份的售價為64.8元，求2、3月份價格的平均增長率。 3. 某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率？ 4. 為了綠化校園，某中學在2007年植樹400棵，計劃到2009年底使這三年的植樹總數(shù)達到1324棵，求該校植樹平均每年增長的百分數(shù)。 類型三：定價問題 商品銷售問題 售價—進價=利潤 單件利潤×銷售量=總利潤 單價×銷售量=銷售額 1. 某商店購進一種商品，進價30元．試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量P(件)與每件的銷售價X(元)滿足關系：P=100-2X銷售量P，若商店每天銷售這種商品要獲得200元的利潤，那么每件商品的售價應定為多少元？每天要售出這種商品多少件？ 2. 某玩具廠計劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為４０只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，已知生產(chǎn)ⅹ只熊貓的成本為Ｒ（元），售價每只為Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ與x的關系式分別為R=500+30X，P=170—2X。 (1)當日產(chǎn)量為多少時每日獲得的利潤為1750元？ 3. 某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克。現(xiàn)該商品要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應漲價多少元？ 4. 服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)某品牌童裝平均每天可售出２０件，每件盈利４０元。為了迎接“六一”兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈利，減少庫存。經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，如果每件童裝每降價４元，那么平均每天就可多售出８件。要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200元，那么每件童裝應降價多少元？ 5. 西瓜經(jīng)營戶以２元／千克的價格購進一批小型西瓜，以3元／千克的價格出售，每天可售出200千克。為了促銷，該經(jīng)營戶決定降價銷售。經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，這種小型西瓜每降價0.1元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共24元。該經(jīng)營戶要想每天盈利200元，應將每千克小型西瓜的售價降低多少元？ 6. 益群精品店以每件21元的價格購進一批商品，該商品可以自行定價，若每件商品售價a元，則可賣出（350－10a）件，但物價局限定每件商品的利潤不得超過20%，商店計劃要盈利400元，需要進貨多少件？每件商品應定價多少？ 7.利達經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進行結算，未售出的由廠家負責處理）。當每噸售價為260元時，月銷售量為45噸。該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤，準備采取降價的方式進行促銷。經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)：當每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸。綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元。（1）當每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）在遵循“薄利多銷”的原則下，問每噸材料售價為多少時，該經(jīng)銷店的月利潤為9000元。 類型四：幾何問題 判斷清楚要設什么是關鍵 1. 一個直角三角形的兩條直角邊的和是14cm,面積是24cm2，兩條直角邊的長分別是多少？ 2. 一個直角三角形的兩條直角邊相差5㎝，面積是7㎝2，斜邊的長是多少？ 3. 一個菱形兩條對角線長的和是10㎝，面積是12㎝2，菱形的周長是多少？（結果保留小數(shù)點后一位） 4. 為了綠化學校，需移植草皮到操場，若矩形操場的長比寬多14米，面積是3200平方米則操場的長為多少米，寬為多少米。 5. 若把一個正方形的一邊增加2cm，另一邊增加1cm，得到的矩形面積的2 倍比正方形的面積多11cm2，則原正方形的邊長為多少cm. 6. 如圖，在長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80％，所截去的小正方形的邊長是多少。 7. 張大叔從市場上買回一塊矩形鐵皮，他將此矩形鐵皮的四個角各剪去一個邊長為1米的正方形后，剩下的部分剛好能圍成一個容積為15立方米的無蓋長方體箱子，且此長方體箱子的底面長比寬多2米，現(xiàn)已購買這種鐵皮每平方米需20元錢，問張大叔購買這張鐵皮共花了是多少元錢 8. 如圖，在寬為20m ，長為30m ，的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，余分作為耕地為551㎡。則道路的寬為是多少米。 一元二次方程試題 一、選擇題 1、一元二次方程的根的情況為（　　） Ａ．有兩個相等的實數(shù)根 Ｂ．有兩個不相等的實數(shù)根 Ｃ．只有一個實數(shù)根 Ｄ．沒有實數(shù)根 2、若關于z的一元二次方程沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。? A．m-1 C．m>l D．m<-1 3、一元二次方程x2＋x＋2＝0的根的情況是（　?。? A．有兩個不相等的正根 B．有兩個不相等的負根 C．沒有實數(shù)根 D．有兩個相等的實數(shù)根 4、用配方法解方程，下列配方正確的是（ ） A． B． C． D． 6、關于x的方程的兩根同為負數(shù)，則（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 7、若關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根分別是,且滿足.則k的值為（　?。? （A）－1或 　（B）－1?。–）　（D）不存在 8、下列關于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（?。? （A）x2＋4＝0　?。˙）4x2－4x＋1＝0　?。–）x2＋x＋3＝0　?。―）x2＋2x－1＝0 9、某商品原價200元，連續(xù)兩次降價a％后售價為148元，下列所列方程正確的是（ ?。? A：200(1+a%)2=148 B：200(1－a%)2=148 C：200(1－2a%)=148 D：200(1－a2%)=148 10、下列方程中有實數(shù)根的是（　?。? （A）x2＋2x＋3＝0?。˙）x2＋1＝0?。–）x2＋3x＋1＝0　（D） 11、已知關于x 的一元二次方程 有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是( ) A． m＞－1 B． m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0 12、如果2是一元二次方程x2＝c的一個根，那么常數(shù)c是（ ）。 A、2 B、－2 C、4 D、－4 二、填空題 1、已知一元二次方程的兩根為、，則 　 2、方程的解為 。 3、閱讀材料：設一元二次方程的兩根為，，則兩根與方程系數(shù)之間有如下關系：，．根據(jù)該材料填空： 已知，是方程的兩實數(shù)根，則的值為______　 4、關于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的兩個實數(shù)根分別為1和2，則b＝______；c＝______．　　 5、方程的解是 　　 ． 6、已知方程有兩個相等的實數(shù)根，則 7、方程x2+2x=0的解為 8、已知方程在實數(shù)范圍內恒有解，并且恰有一個解大于1小于2，則的取值范圍是 ． 9、已知x是一元二次方程x2＋3x－1＝0的實數(shù)根，那么代數(shù)式的值為＿＿＿＿ 10、已知是關于的方程的一個根，則_______． 11、若關于的一元二次方程沒有實數(shù)根，則的取值范圍是 ． 12、寫出一個兩實數(shù)根符號相反的一元二次方程：__________________。 13、已知是一元二次方程的一個根，則方程的另一個根是 ． 三、解答題 1、解方程：． x2＋3＝3(x＋1)． 3、 已知x＝1是一元二次方程的一個解，且，求的值. 4、已知關于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。 (1)請你為m選取一個合適的整數(shù)，使得到的方程有兩個不相等的實數(shù)根； (2)設α、β是(1)中你所得到的方程的兩個實數(shù)根，求α2＋β2＋αβ的值。 5、據(jù)報道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增長率。(取≈1.41) 6、黃金周長假推動了旅游經(jīng)濟的發(fā)展．下圖是根據(jù)國家旅游局提供的近年來歷次黃金周旅游收入變化圖． (1)根據(jù)圖中提供的信息．請你寫出兩條結論； (2)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求2002年至2004年的“十一”黃金周全國旅游收入平均每年增長的百分率(精確到0．1) 7、已知x1，x2 是關于x的方程（x－2）（x－m）=（p－2）（p－m）的兩個實數(shù)根． （1）求x1，x2 的值； （2）若x1，x2 是某直角三角形的兩直角邊的長，問當實數(shù)m，p滿足什么條件時，此直角三角形的面積最大？并求出其最大值． 27