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《解分式方程》的教學設(shè)計 邢臺縣皇臺底中學 李改增 設(shè)計理念： 《數(shù)學課程標準》指出：數(shù)學教學是在老師指導(dǎo)下，學生積極主動地掌握數(shù)學知識、技能，發(fā)展能力，形成積極、主動的學習態(tài)度。而教師應(yīng)引導(dǎo)學生從已有的數(shù)學現(xiàn)實出發(fā)，經(jīng)過自己的思考，得出有關(guān)數(shù)學結(jié)論，形成數(shù)學知識、技能和能力，發(fā)展情感態(tài)度和思維品質(zhì)。由此，我確定自己在本節(jié)課中起引導(dǎo)作用，依學生已有的數(shù)學實際，重新設(shè)計教學內(nèi)容，使整節(jié)課貫穿一條節(jié)節(jié)拔高的教學主線。而學生是這節(jié)課的主體，由他們探索問題，相互解答疑惑，達成共識，逐步形成知識點，再運用知識鞏固與提高。 教學內(nèi)容：《義務(wù)教育教科書 數(shù)學》（冀教版版）八年級上冊第十二章第四節(jié)（課本第18頁至20頁）。 教學目標： 1.知識目標： （1）熟悉解分式方程的步驟。 （2）理解解分式方程時驗根的必要性。 2.能力目標： 會按照解分式方程的步驟解分式方程。 3.情感與價值觀： （1） 培養(yǎng)學生自覺反思求解過程和自覺檢驗的良好習慣，培養(yǎng)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度。 （2） 運用“轉(zhuǎn)化”的思想，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從而獲得成就感和學習數(shù)學的自信。 老師引導(dǎo)學生自主探索分式方程的解法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，在解題中親身體驗“轉(zhuǎn)化”思想。弄清了“轉(zhuǎn)化”的方向，也就明白了解分式方程的步驟，解題思路自然清晰，能力隨之形成。 重點： 1.探索解分式方程的步驟，熟練掌握分式方程的解法。 2.體會解分式方程驗根的必要性。 難點：如何將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；體會分式方程驗根的必要性。 學情與教材分析：我所任教的學生大多頭腦聰明，在老師適當?shù)囊龑?dǎo)下，有一定的探求新知識的能力。但基礎(chǔ)不夠扎實，如計算容易出錯、考慮問題不夠嚴謹?shù)?。另外在學習本節(jié)課之前，已經(jīng)學習過《解一元一次方程》。對于《解一元一次方程》大部分同學已經(jīng)掌握，但由于是在七年級學習，有一定的時間間隔，部分同學可能已經(jīng)遺忘，給上本節(jié)課留下少許的困難。但估計絕大部分同學稍加回憶，應(yīng)能接近以前的水平。本節(jié)課的內(nèi)容處在《分式》這章的后半部。《分式》這章內(nèi)容安排如下的：首先介紹分式及分式的基本性質(zhì)，接著進行分式的加、減、乘、除的運算，之后是根據(jù)實際問題列出分式方程（但未求解）。緊跟其后的是本節(jié)課內(nèi)容——解分式方程，最后一節(jié)是根據(jù)實際問題列出分式方程并求解。由此可見《解分式方程》涵蓋了本章前面的內(nèi)容，是本章知識的綜合與提高。學習好這部分內(nèi)容，不但掌握了初二階段有關(guān)分式方程的內(nèi)容，也為初三學習可化為一元二次的分式方程打下了良好的基礎(chǔ)。通過將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（一元一次方程）滲透了一種重要的數(shù)學思想——轉(zhuǎn)化思想，即將原問題進行變形，使之轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題。 教學準備：投影儀、各例題的標準解答過程。 教學過程： 一、課堂導(dǎo)入 由課本第18頁（根據(jù)實際問題列出分式方程，但未求解）產(chǎn)生的方程入手，引入解分式方程的必要性。 二、新課： 例1 解分式方程： （1） 由學生自主探索或互相討論完成，老師巡視學生完成情況，對于學生可能出現(xiàn)的幾種典型的解法用投影儀展示，讓同學討論，得出較好的解法。 [設(shè)計意圖：課文的第一個例子是：38-2/1-x=9*2/x，這個例子我估計絕大部分學生會采用交叉相乘（以往教學中學生常常提及）。雖也去掉分母，但學生還沒意識到是在兩邊乘了最簡公分母x(1-x)，若我自己去解釋，又有灌輸之嫌。于是我干脆暫時避開此例，自己設(shè)計一個例子，這樣避免了學生采用交叉相乘的方法求解] [學情預(yù)設(shè)：由于本節(jié)課的內(nèi)容是緊接在分式的運算之后，多數(shù)學生會對方程進行通分，發(fā)現(xiàn)分母相同，得出分子應(yīng)相等，解出x的值。這種情況與直接去分母效果相同，但解法較繁瑣。第二種情況是與解含有分母的整式方程（如：）相聯(lián)系，模仿整式方程的解法去分母，化為整式方程，求解整式方程得解。估計采用第二種方法的學生是少數(shù)的。另外，若沒有學生采用第二種方法，我會展示自己依第二種方法的解答過程，以供學生進行討論、比對，在討論中感悟到第二種方法更簡便。突破本節(jié)課的難點] （2）引導(dǎo)學生檢驗剛才求得的解是否是原方程的解。 [設(shè)計意圖：讓學生明白將值代入原方程檢驗是分式方程驗根的一種方法，另一種方法是直接檢驗分母是否為0，這種方法將在后面涉及] [學情預(yù)設(shè)：學生可將求得的值代入原方程，但書寫格式不規(guī)范，如有的同學將解直接代入方程兩邊，卻仍用等號將左右兩邊相連，然后兩邊同時計算。我計劃用投影儀，選擇幾位同學的做法顯示給大家。讓大家評選出最好的格式——將解得的根分別代入方程的左右兩邊計算，看左、右兩邊的結(jié)果是否一致] [知識鏈接：對于驗證一個值是否是方程的解，在求解一元一次方程時，有進行過相應(yīng)的訓練。絕大多數(shù)學生明白可將值代入原方程，但他們往往將值同時代入原方程。如驗證是否是方程的解： 解：將代入原方程，得 所以 顯然，這種書寫不夠規(guī)范。應(yīng)分別代入兩邊驗證為好] 例2 解方程： 讓學生自已求解，解得，引入增根的概念。并說明驗根除了代入原方程，還可檢驗各分母是否為0，從而判別是否是增根。 [設(shè)計意圖：學生不明白為何代入原方程的分母或最簡公分母也可驗根，我設(shè)計此例的目的是讓學生明白解分式方程可能會產(chǎn)生讓分母為0的根，即增根，自然以后解分式方程要檢驗了] [學情預(yù)設(shè)：在前面學習分式有關(guān)內(nèi)容時，學生對于像與是相反的關(guān)系掌握得很好，可以輕松得出，這樣在方程兩邊同時乘以而非即可。若學生沒注意到這個細節(jié)，老師可稍加提示] [知識鏈接：有了第一個例子，學生已經(jīng)明白解分式方程的步驟，可以自行解此方程] 例3 解方程： [設(shè)計意圖：此題需要學生對分母分解因式，為解最一般的分式方程起示范作用] [學情預(yù)設(shè)：有學生直接在方程兩邊乘以。這種方法可以，但繁瑣。在學生解完之后，引導(dǎo)他們對在方程兩邊乘以最簡公分母還是乘以進行對比。得出較簡便的方法] [知識鏈接：學生已經(jīng)學習過分解因式] 三、階段小結(jié)： 引導(dǎo)學生總結(jié)解分式方程的步驟： 1.在方程的兩邊同時乘以最簡公分母，約去分母，化成整式方程。 2.解這個整式方程。 3.驗根，引導(dǎo)學生對兩種驗根方法的優(yōu)、缺點進行討論。 [設(shè)計意圖：梳理一遍解題步驟，解題思路會更清晰] 四、強化練習： 1.完成課本第90頁的隨堂練習。完成后學生相互交換改卷，查找錯誤并打分。評分標準由學生在課堂上集體商定。 [設(shè)計意圖：將小結(jié)的知識點內(nèi)化到學生的知識結(jié)構(gòu)中。簡單機械做題，有一定的效果，但效率不高。學生自測，接下去同學互改，能調(diào)動學生的積極性。在商量評分標準的過程中，學生自然體會到各個步驟的重要性。這樣既完成了強化練習，又提高了學習效率] 五、提高： 已知關(guān)于x的分式方程有增根，則增根是 ， [設(shè)計意圖：逆向思維訓練，引導(dǎo)學生反思求解分式分程的過程，達到融會貫通的目的] [學情預(yù)設(shè)：估計有相當一部分學生無從入手，老師根據(jù)情況引導(dǎo)學生反思求解分式分程的過程，找出本題的切入點] [知識鏈接：由前面解題可知，求出的值是增根時，原方程無解。由此可知，但不能代入原方程，否則分母為0。應(yīng)將原方程去分母，化為整式方程，此時將代入就可求出m的值] 六、學生自我小結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容 再次回顧本節(jié)課的內(nèi)容，加深印象。 [設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生經(jīng)歷“實踐——理論——再實踐——再理論”的螺旋上升之路] 七、作業(yè)： 作業(yè)：習題1、2、3、4 板書設(shè)計： 解分式方程的步驟： 例1 例2 例3 [設(shè)計意圖：每個例題代表了學生學習解分式方程的不同階段，老師巡視學生，挑選書寫清楚的學生上黑板上板書，給其他同學起示范作用] 設(shè)計思想：我始終認為教學應(yīng)充分調(diào)動學生學習的積極性，讓學生成為學習的主體，引導(dǎo)他們積極探求問題，解決問題。堅決拋棄有些老師的“滿堂灌”、“一言堂”的教學方式。然而，我校學生總體基礎(chǔ)較差，學習積極性不高。平時的教學常常要創(chuàng)建一定的知識背景來引導(dǎo)學生理解、掌握知識。由于前一節(jié)課的內(nèi)容就是根據(jù)實際背景列出分式方程，因此本節(jié)課沒必要再去創(chuàng)設(shè)背景。然而，由于本節(jié)課是探求分式方程的解法，我認為有必要讓學生自己來探索。讓他們自己探索，有利于理解解分式方程應(yīng)遵循一定的步驟的原因，加深對解題過程的理解；有利于對知識的融會貫通；有利于學生將知識內(nèi)化到其知識結(jié)構(gòu)中；有利于增強學生探究問題的能力。本節(jié)課我堅持啟發(fā)誘導(dǎo)與學思并重原則進行教學。啟發(fā)學生將分式方程與以前學過的含分母的一元一次方程相比較，引導(dǎo)他們?nèi)シ帜?；引?dǎo)他們將自己的解法與其他同學的解法進行比較，從而總結(jié)出好的解法；啟發(fā)他們?nèi)绾悟炞C一個值是否是方程的解；啟發(fā)他們將要求較高的題目與學習過的知識進行比較，找出適合的解法。通過小測與學生互改，激發(fā)了學生學習興趣，提高了上課效率。通過一道反思型的練習題，讓學生明白增根的確切含義，同時也再次強化了對解分式方程的理解，使學生的知識與能力均上一個新的臺階。教學過程中，我引導(dǎo)學生努力思考問題，探求方程的解法。在其它的同學有更好的解法時，引導(dǎo)他們學習、吸收更好的解法，并將其應(yīng)用到自己的解題中。整節(jié)課教學采用學生自主探究的教學方法，例題均由學生自主探索，相互比較，得出正確的結(jié)論，從而順利完成本節(jié)課的教學任務(wù)。