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數(shù)列 A、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及例題 一、數(shù)列 由與的關(guān)系求 由求時(shí)，要分n=1和n≥2兩種情況討論，然后驗(yàn)證兩種情況可否用統(tǒng)一的解析式表示，若不能，則用分段函數(shù)的形式表示為。 〖例〗根據(jù)下列條件，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式。 分析：（1）可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解； （2）可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解； （3）將無(wú)理問(wèn)題有理化，而后利用與的關(guān)系求解。 解答：（1） （2） ……累乘可得，故 （3） 二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等差數(shù)列的判定 1、等差數(shù)列的判定通常有兩種方法： 第一種是利用定義，，第二種是利用等差中項(xiàng)，即。 2、解選擇題、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷。 （1）通項(xiàng)法：若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即=An+B,則{}是等差數(shù)列； （2）前n項(xiàng)和法：若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和是的形式（A，B是常數(shù)），則{}是等差數(shù)列。 注：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需說(shuō)明任意連續(xù)三項(xiàng)不是等差數(shù)列即可。 〖例〗已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足 （1）求證：{}是等差數(shù)列； （2）求的表達(dá)式。 分析：（1）與的關(guān)系結(jié)論； （2）由的關(guān)系式的關(guān)系式 解答：（1）等式兩邊同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列。 （2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,當(dāng)n≥2時(shí)，=2·=。又∵，不適合上式，故。 【例】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝1.其前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足2Sn＝2pa＋an－p(p∈R)，則{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______． ∵a1＝1，∴2a1＝2pa＋a1－p， 即2＝2p＋1－p，得p＝1. 于是2Sn＝2a＋an－1. 當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝2a＋an－1－1，兩式相減，得2an＝2a－2a＋an－an－1，整理，得2(an＋an－1)·(an－an－1－)＝0. 又∵an>0，∴an－an－1＝，于是{an}是等差數(shù)列，故an＝1＋(n－1)·＝. （二）等差數(shù)列的基本運(yùn)算 1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式=+（n-1）d及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，，d,n, ,“知三求二”，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題； 2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。 注：因?yàn)椋蕯?shù)列{}是等差數(shù)列。 〖例〗已知數(shù)列{}的首項(xiàng)=3，通項(xiàng)，且，，成等差數(shù)列。求： （1）的值； （2）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和的公式。 分析：（1）由=3與，，成等差數(shù)列列出方程組即可求出；（2）通過(guò)利用條件分成兩個(gè)可求和的數(shù)列分別求和。 解答：（1）由=3得……………………………………① 又，得…………………② 由①②聯(lián)立得。 （2）由（1）得， （三）等差數(shù)列的性質(zhì) 1、等差數(shù)列的單調(diào)性： 等差數(shù)列公差為d，若d>0,則數(shù)列遞增；若d<0,則數(shù)列遞減；若d=0,則數(shù)列為常數(shù)列。 ★2、等差數(shù)列的簡(jiǎn)單性質(zhì)： 已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和。 （1）若m+n=p+q,則,特別：若m+n=2p，則。 （2）仍是等差數(shù)列，公差為kd; （3）數(shù)列也是等差數(shù)列； （4）； （5）若n為偶數(shù)，則；若n為奇數(shù)，則； （6）數(shù)列也是等差數(shù)列，其中均為常數(shù)，是等差數(shù)列。 典型例題 1．等差數(shù)列中, 若，則＝_____225___； 2.（廈門(mén)）在等差數(shù)列中， ,則 其前9項(xiàng)的和S9等于 （ A ） A．18 B 27 C 36 D 9 3、（全國(guó)卷Ⅰ理） 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,則= 24 4、等差數(shù)列{an} 的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為A和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（　D?。? A．2 B．3 C．4 D．5 6、在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3(n≥1)，則該數(shù)列的通項(xiàng)an＝________. 　由an＋1＝2an＋3，則有an＋1＋3＝2(an＋3)， 即＝2. 所以數(shù)列{an＋3}是以a1＋3為首項(xiàng)、公比為2的等比數(shù)列，即an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－3. 7、已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則|m－n|的值等于________． 　如圖所示，易知拋物線(xiàn)y＝x2－2x＋m與y＝x2－2x＋n有相同的對(duì)稱(chēng)軸x＝1，它們與x軸的四個(gè)交點(diǎn)依次為A、B、C、D. 因?yàn)閤A＝，則xD＝. 又|AB|＝|BC|＝|CD|，所以xB＝，xC＝. 故|m－n|＝|×－×|＝. 8、在等差數(shù)列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_(kāi)_______． 設(shè)公差為d，則11(－3＋4d)＝5(－3＋7d)－13， ∴d＝. ∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列． 令an≤0，∴－3＋(n－1)·≤0，∴n≤， ∵n∈N*. ∴前6項(xiàng)均為負(fù)值，∴Sn的最小值為S6＝－. 6.若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且滿(mǎn)足，則 6 . 7．（北京卷）（16）（本小題共13分） 已知為等差數(shù)列，且，。 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，，求的前n項(xiàng)和公式 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差。 因?yàn)? 所以 解得 所以 （Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為 因?yàn)? 所以 即=3 所以的前項(xiàng)和公式為 ★等差數(shù)列的最值： 若是等差數(shù)列，求前n項(xiàng)和的最值時(shí)， （1）若a1>0,d>0,且滿(mǎn)足，前n項(xiàng)和最大； （2）若a1<0,d>0，且滿(mǎn)足，前n項(xiàng)和最??； （3）除上面方法外，還可將的前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題看作關(guān)于n的二次函數(shù)最值問(wèn)題，利用二次函數(shù)的圖象或配方法求解，注意。 〖例〗在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為。 （1）求的最小值，并求出取最小值時(shí)n的值； （2）求。 分析：（1）可由已知條件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函數(shù)求最值； （2）將前面是負(fù)值的項(xiàng)轉(zhuǎn)化為正值求解即可。 解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，∵ ，令 ，∴當(dāng)n=20或21時(shí)，最小且最小值為-630. （2）由（1）知前20項(xiàng)小于零，第21項(xiàng)等于0，以后各項(xiàng)均為正數(shù)。 ∴ 〖例〗已知數(shù)列是等差數(shù)列。 （1）若 （2）若 解答：設(shè)首項(xiàng)為，公差為， （1）由， ∴ （2）由已知可得解得 【例】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N*，滿(mǎn)足關(guān)系式2Sn＝3an－3. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是bn＝，前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有Tn<1. (1)解　①當(dāng)n＝1時(shí)，由2Sn＝3an－3得，2a1＝3a1－3， ∴a1＝3. ②當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn＝3an－3得， 2Sn－1＝3an－1－3. 兩式相減得：2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，即2an＝3an－3an－1， ∴an＝3an－1，又∵a1＝3≠0，∴{an}是等比數(shù)列，∴an＝3n. 驗(yàn)證：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3也適合an＝3n. ∴{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n. (2)證明　∵bn＝＝ ＝＝－， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(1－)＋(－)＋…＋(－) ＝1－<1. B、等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 （一）等比數(shù)列的判定 判定方法有： （1）定義法：若，則是等比數(shù)列； （2）中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中，，則數(shù)列是等比數(shù)列； （3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫(xiě)成，則數(shù)列是等比數(shù)列； （4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列是等比數(shù)列； 注：（1）前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定；（2）若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。 〖例〗在數(shù)列中，。 （1） 證明數(shù)列是等比數(shù)列； （2） 求數(shù)列的前n項(xiàng)和； （3） 證明不等式對(duì)任意皆成立。 解答：（1）由題設(shè)得。又所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列。 （2）由（1）可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為。所以數(shù)列的前n項(xiàng)和。 （3）對(duì)任意的， ，所以不等式對(duì)任意皆成立。 （二）等比數(shù)列的的運(yùn)算 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量，，，，，顯然，“知三求二”，通常列方程（組）求解問(wèn)題。解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式，在運(yùn)算過(guò)程中，還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算的過(guò)程。 注：在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式。 〖例〗設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且=2-2；數(shù)列為等差數(shù)列，且。 （1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2） 若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：?！痉趴s法】 解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2……………………① 得……………………………………………………② ②-①得，∴，∴是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以=·。 （2）∵為等差數(shù)列，∴，∴從而 ∴………………………………③ ∴…………………④ ③-④得 = ∴ ∴ （三）等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 ★在等比數(shù)列中常用的性質(zhì)主要有： （1）對(duì)于任意的正整數(shù)若，則特別地，若； （2）對(duì)于任意正整數(shù)有； （3）若數(shù)列是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列，若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列； （4）數(shù)列仍成等比數(shù)列； （5）數(shù)列是等比數(shù)列（q≠-1）； ★（6）等比數(shù)列的單調(diào)性 注：等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所有偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)也相同。 1.（全國(guó)卷2理數(shù)）（4）.如果等差數(shù)列中，，那么 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【考查點(diǎn)】考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì). 【解析】 2. （遼寧理數(shù)）（6）設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, ,則 （A） (B) (C) (D) 【考查點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式。 【解析】由a2a4=1可得，因此，又因?yàn)?，?lián)力兩式有，所以q=,所以， 3. （遼寧卷）（14）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 15 。 解： ,解得， 4. （天津卷）（15）設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和。記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng)，則= 。 【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題。 因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值。 5. （上海卷）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， (1)證明：是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù). 解析：(1) 當(dāng)n=1時(shí)，a1=-14；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以， 又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列； (2) 由(1)知：，得，從而(n?N*)； 由Sn+1>Sn，得，，最小正整數(shù)n=15． 【其他考點(diǎn)題】 1、設(shè)｛an｝（n∈N*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（C） A.d＜0 B.a7＝0 C.S9＞S5 D.S6與S7均為Sn的最大值 解析：由S50，又S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，由S7>S8，得a8<0，而C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。 2、＝（C） (A) 2 (B) 4 (C) (D)0 3、已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b和b、y、c都成等差數(shù)列，且xy≠0，那么的值為（B ）。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4、已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）若a1與a5的等差中項(xiàng)為18，bn滿(mǎn)足，求數(shù)列的{bn}前n項(xiàng)和。 (Ⅰ)解法一：當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí),. 是等差數(shù)列, , ············4分 解法二：當(dāng)時(shí),, 當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),. . 又, 所以,得.············4分 (Ⅱ)解：,. 又, , ············8分 又得. ,,即是等比數(shù)列。 所以數(shù)列的前項(xiàng)和. 13