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高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 一.直線部分 1．直線的傾斜角與斜率： （1）直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角. 傾斜角,斜率不存在. （2）直線的斜率：．兩點(diǎn)坐標(biāo)為、. 2．直線方程的五種形式： （1）點(diǎn)斜式： (直線過點(diǎn)，且斜率為)． 注：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為． （2）斜截式： (b為直線在y軸上的截距). （3）兩點(diǎn)式： (，). 注：① 不能表示與軸和軸垂直的直線； ② 方程形式為：時(shí)，方程可以表示任意直線． （4）截距式： （分別為軸軸上的截距，且）． 注：不能表示與軸垂直的直線，也不能表示與軸垂直的直線，特別是不能表示過原點(diǎn)的直線． （5）一般式： (其中A、B不同時(shí)為0)． 一般式化為斜截式：，即，直線的斜率：． 注：（1）已知直線縱截距，常設(shè)其方程為或． 已知直線橫截距，常設(shè)其方程為(直線斜率k存在時(shí)，為k的倒數(shù))或． 已知直線過點(diǎn)，常設(shè)其方程為或． （2）解析幾何中研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系時(shí)，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合． 3．直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0. （1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)． （2）直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)． （3）直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過原點(diǎn)． 4．兩條直線的平行和垂直： （1）若，，有 ① ； ② . （2）若，，有 ① ； ② ． 5．平面兩點(diǎn)距離公式： （1）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)、，則兩點(diǎn)間距離． （2）軸上兩點(diǎn)間距離：． （3）線段的中點(diǎn)是，則 ． 6．點(diǎn)到直線的距離公式： 點(diǎn)到直線的距離：． 7．兩平行直線間的距離公式： 兩條平行直線的距離：． 8．直線系方程： （1）平行直線系方程： ① 直線中當(dāng)斜率一定而變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程． ② 與直線平行的直線可表示為． ③ 過點(diǎn)與直線平行的直線可表示為：． （2）垂直直線系方程： ① 與直線垂直的直線可表示為． ② 過點(diǎn)與直線垂直的直線可表示為：． （3）定點(diǎn)直線系方程： ① 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù)． ② 經(jīng)過定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)． （4）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為 (除開)，其中λ是待定的系數(shù)． 9．兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)： 曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解． 10.平面和空間直線參數(shù)方程： ① 平面直線方程以向量形式給出： 方向向量為下面推導(dǎo)參數(shù)方程： ② 空間直線方程也以向量形式給出： 方向向量為 下面推導(dǎo)參數(shù)方程： 注意：只有封閉曲線才會(huì)產(chǎn)生參數(shù)方程，對(duì)于無限曲線，例如二次函數(shù)一般不會(huì)有化為如上的參數(shù)方程。 二.圓部分 1．圓的方程： （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（）． （2）圓的一般方程：． （3）圓的直徑式方程：若，以線段為直徑的圓的方程是：． 注：(1)在圓的一般方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是，． （2）一般方程的特點(diǎn)： ① 和的系數(shù)相同且不為零；② 沒有項(xiàng)； ③ （3）二元二次方程表示圓的等價(jià)條件是： ① ； ② ； ③ ． 2．圓的弦長(zhǎng)的求法： （1）幾何法：當(dāng)直線和圓相交時(shí)，設(shè)弦長(zhǎng)為，弦心距為，半徑為， 則：“半弦長(zhǎng)+弦心距=半徑”——； （2）代數(shù)法：設(shè)的斜率為，與圓交點(diǎn)分別為，則 （其中的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去或，利用韋達(dá)定理求解） 3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種 ① 在在圓外． ② 在在圓內(nèi)． ③ 在在圓上． 【到圓心距離】 4．直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有三種: 圓心到直線距離為()，由直線和圓聯(lián)立方程組消去（或）后，所得一元二次方程的判別式為． ； ； ． 5．兩圓位置關(guān)系: 設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為， ； ； ； ； ． 6．圓系方程： （1）過直線與圓:的交點(diǎn)的圓系方程：,λ是待定的系數(shù)． （2）過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程： ,λ是待定的系數(shù)． 特別地，當(dāng)時(shí)，就是 表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過兩圓交點(diǎn)的直線． 7．圓的切線方程： （1）過圓上的點(diǎn)的切線方程為:． （2）過圓上的點(diǎn)的切線方程為: ． （3）當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，可設(shè)切方程為，利用圓心到直線距離等于半徑， 即，求出；或利用，求出．若求得只有一值，則還有一條斜率不存在的直線． 8. 圓的參數(shù)方程： 圓方程參數(shù)方程源于： 那么 設(shè)： 得： 9．把兩圓與方程相減 即得相交弦所在直線方程: ． 10．對(duì)稱問題： （1）中心對(duì)稱： ① 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)． ② 直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱： 法1：在直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直線方程． 法2：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程． （2）軸對(duì)稱： ① 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上． 點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱 ． ② 直線關(guān)于直線對(duì)稱：（設(shè)關(guān)于對(duì)稱） 法1：若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)． 若，則，且與的距離相等． 法2：求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程． （3）其他對(duì)稱： 點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱：(a,-b)； 關(guān)于y軸對(duì)稱：(-a,b)； 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：(-a,-b)； 點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱：(b,a)； 關(guān)于y=-x對(duì)稱：(-b,-a)； 關(guān)于y =x+m對(duì)稱：(b-m、a+m)； 關(guān)于y=-x+m對(duì)稱：(-b+m、-a+m). 11．若，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是． 12．各種角的范圍： 直線的傾斜角 兩條相交直線的夾角 兩條異面線所成的角 三.橢圓部分 1.橢圓定義： ① 到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a ② 或定義：任意一條線段，在線段中任取兩點(diǎn)（不包括兩端點(diǎn)），將線段兩端點(diǎn)置于這兩點(diǎn)處，用一個(gè)釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。 ③ 從橢圓定義出發(fā)得到一個(gè)基本結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)引出的兩個(gè)焦半徑之和為常數(shù)2a。 2.橢圓性質(zhì)： ①由于橢圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)距離之和為常數(shù)，所以從A點(diǎn)向焦點(diǎn)引兩條焦半徑 ∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a 這是因?yàn)楱OAO1∣=∣O2B∣(由圖形比較看出) ② 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ③ 橢圓參數(shù)方程： 從圓方程知： 圓方程參數(shù)方程源于： 所以按上面邏輯將橢圓方程 視為 設(shè) 得： 同理橢圓參數(shù)方程為： 得： ④由于兩個(gè)焦半徑和為2a 所以 得： 得： ⑤ 橢圓離心率，來源于圓的定義： 圓實(shí)際上是一種特殊的橢圓，而圓不過是兩個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)圓點(diǎn)重合罷了。 橢圓離心率為 四.雙曲線部分 1.雙曲線定義：到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)的平面幾何圖形，即： ① 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ② 由于雙曲線上任意一點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)之差的絕對(duì)值為常數(shù)2a. ③ 雙曲線的漸近線： 由標(biāo)準(zhǔn)方程知： 若標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，那么這時(shí) 注意y下面對(duì)應(yīng)b，x下面對(duì)應(yīng)a. ④ 取x=a及x=-a兩條直線，它們與漸近線的兩個(gè)焦點(diǎn)的連線和y軸的交點(diǎn)稱為虛焦點(diǎn)， 該軸稱為虛軸。 ⑤ 推導(dǎo)a、b、c之間的關(guān)系： 設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)M（x，y） 設(shè)： 從而得到: 五. 拋物線部分 1. 定義：到定點(diǎn)與定直線距離相等的平面曲線稱為拋物線。 為了推導(dǎo)拋物線標(biāo)準(zhǔn)式，設(shè)：定直線為x=-p，定點(diǎn)為O1（p，0）， （盡管這是一種特殊情況，但同樣具有一般性） ① 設(shè)：拋物線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為M(x，y) M點(diǎn)到定直線x=-p的距離為 M點(diǎn)到定點(diǎn)O1（p，0）的距離為 ② 很顯然與以前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)是一致的，只不過這里自變量變成y，函數(shù)變成x；而二次函數(shù)自變量是x，函數(shù)是y，因而二次函數(shù)也是拋物線，同樣具有拋物線的性質(zhì)。 如下： 韋達(dá)定理：⑴ . ⑵. 頂點(diǎn)坐標(biāo) ，推導(dǎo)采用配方法： ⑶ 求根公式： 從而零點(diǎn)坐標(biāo)為。 ③ 平移 注意，平移部分需要自己琢磨，根據(jù)上面三個(gè)例子. - 11 -