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第九章 圓錐曲線中的存在性問題 解析幾何 圓錐曲線中的存在性問題 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時(shí)，通常先假定所求的要素（點(diǎn)，線，圖形或是參數(shù)）存在，并用代數(shù)形式進(jìn)行表示。再結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，若能求出相應(yīng)的要素，則假設(shè)成立；否則即判定不存在 2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替 （1）點(diǎn)：坐標(biāo) （2）直線：斜截式或點(diǎn)斜式（通常以斜率為未知量） （3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 3、解決存在性問題的一些技巧： （1）特殊值（點(diǎn)）法：對(duì)于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。 （2）核心變量的選?。阂?yàn)榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時(shí)候消去。 （3）核心變量的求法： ①直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進(jìn)行求解 ②間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關(guān)于該變量與輔助變量的方程（組），運(yùn)用方程思想求解。 二、典型例題： 例1：已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為。 （1）求的值 （2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的的坐標(biāo)和的方程，若不存在，說明理由 解：（1） 則，依題意可得：，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí) 解得： 橢圓方程為： （2）設(shè)， 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè) 聯(lián)立直線與橢圓方程： 消去可得：，整理可得： 因?yàn)樵跈E圓上 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知 ，，則不在橢圓上 綜上所述：，或， 例2：過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為其左焦點(diǎn)，已知的周長(zhǎng)為8，橢圓的離心率為 （1）求橢圓的方程 （2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）由的周長(zhǎng)可得： 橢圓 （2）假設(shè)滿足條件的圓為，依題意，若切線與橢圓相交，則圓應(yīng)含在橢圓內(nèi) 若直線斜率存在，設(shè)， 與圓相切 即 聯(lián)立方程： 對(duì)任意的均成立 將代入可得： 存在符合條件的圓，其方程為： 當(dāng)斜率不存在時(shí)，可知切線為 若，則 符合題意 若，同理可得也符合條件 綜上所述，圓的方程為： 例3：已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為和 （1）求橢圓的方程 （2）設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)（在之間），為中點(diǎn)，并設(shè)直線的斜率為 ① 證明：為定值 ② 是否存在實(shí)數(shù)，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）依題意可知：可得： 橢圓方程為：，代入可得： 橢圓方程為： （2）① 證明：設(shè)，線段的中點(diǎn) 設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程： 化為： 由解得： 且 ② 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則 即 因?yàn)樵跈E圓上，所以，矛盾 所以不存在符合條件的直線 例4：設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切 （1）求橢圓的方程 （2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，問是否存在直線，使得四邊形的對(duì)角線互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由 解：（1）與圓相切 將代入橢圓方程可得： 橢圓方程為： （2）由橢圓方程可得： 設(shè)直線，則 聯(lián)立直線與橢圓方程： 消去可得： 同理： 聯(lián)立直線與橢圓方程： 消去可得： 因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線互相平分 四邊形為平行四邊形 解得： 存在直線時(shí)，四邊形的對(duì)角線互相平分 例5：橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中 （1）求橢圓的離心率的取值范圍 （2）設(shè)雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，是雙曲線在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）設(shè) 由可得：代入可得： （2）當(dāng)時(shí)，可得： 雙曲線方程為，，設(shè)， 當(dāng)軸時(shí)， 因?yàn)? 所以，下面證明對(duì)任意點(diǎn)均使得成立 考慮 由雙曲線方程，可得： 結(jié)論得證 時(shí)，恒成立 例6：如圖，橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為 （1）求橢圓的方程 （2）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使得對(duì)于任意直線，恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1） 橢圓方程為 由直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為及橢圓的對(duì)稱性可得： 點(diǎn)在橢圓上 橢圓方程為 （2）當(dāng)與軸平行時(shí)，由對(duì)稱性可得： 即 在的中垂線上，即位于軸上，設(shè) 當(dāng)與軸垂直時(shí)，則 可解得或 不重合 下面判斷能否對(duì)任意直線均成立 若直線的斜率存在，設(shè)， 聯(lián)立方程可得： 由可想到角平分線公式，即只需證明平分 只需證明 ① 因?yàn)樵谥本€上，代入①可得： 聯(lián)立方程可得： 成立 平分 由角平分線公式可得： 例7：橢圓的上頂點(diǎn)為，是上的一點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn) （1）求橢圓的方程 （2）動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，它們到直線的距離之積等于1？若存在，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由 解：由橢圓可知： 為直徑的圓經(jīng)過 由在橢圓上，代入橢圓方程可得： 橢圓方程為 （2）假設(shè)存在軸上兩定點(diǎn)， 設(shè)直線 所以依題意： ① 因?yàn)橹本€與橢圓相切，聯(lián)立方程： 由直線與橢圓相切可知 化簡(jiǎn)可得：，代入①可得： ，依題意可得：無論為何值，等式均成立 所以存在兩定點(diǎn)： 例8：已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的軌跡為 （1）求點(diǎn)的軌跡的方程 （2）若點(diǎn)滿足：，其中是上的點(diǎn)，且直線的斜率之積等于，是否存在兩定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 （1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則 由橢圓方程可得： 且 代入到可得： （2）設(shè)點(diǎn)， 設(shè)直線的斜率分別為，由已知可得： 考慮 是上的點(diǎn) 即的軌跡方程為，由定義可知，到橢圓焦點(diǎn)的距離和為定值 為橢圓的焦點(diǎn) 所以存在定點(diǎn) 例9：橢圓的焦點(diǎn)到直線的距離為，離心率為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過的焦點(diǎn)與交于，與交于 （1）求橢圓及拋物線的方程 （2）是否存在常數(shù)，使得為常數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）設(shè)的公共焦點(diǎn)為 （2）設(shè)直線， 與橢圓聯(lián)立方程： 直線與拋物線聯(lián)立方程： 是焦點(diǎn)弦 若為常數(shù)，則 例10：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，弦的長(zhǎng)為 （1）求橢圓的方程 （2）是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由 解：（1）依題意可得： 當(dāng)與軸垂直且為右焦點(diǎn)時(shí)，為通徑 （2）思路：本題若直接用用字母表示坐標(biāo)并表示，則所求式子較為復(fù)雜，不易于計(jì)算定值與的坐標(biāo)。因?yàn)橐獫M足所有直線，所以考慮先利用特殊情況求出點(diǎn)及定值，再取判定（或證明）該點(diǎn)在其它直線中能否使得為定值。 解：（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè) 若直線與軸重合，則 若直線與軸垂直，則關(guān)于軸對(duì)稱 設(shè)，其中，代入橢圓方程可得： ，可解得： 若存在點(diǎn)，則。若，設(shè) 設(shè)，與橢圓聯(lián)立方程可得：，消去可得： ，同理： 代入可得： 所以為定值，定值為 若，同理可得為定值 綜上所述：存在點(diǎn)，使得為定值 三、歷年好題精選 1、已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓過點(diǎn)，離心率為，過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是 （1）求橢圓的方程 （2）若在橢圓上的任一點(diǎn)處的切線方程是，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo) （3）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？（點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn)），若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 2、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，是橢圓上的一點(diǎn) （1）求橢圓的方程 （2）設(shè)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上異于的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率之積為，設(shè)與的面積分別為，請(qǐng)問：是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由 3、已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，左，右焦點(diǎn)分別為和 （1）求橢圓的方程 （2）設(shè)橢圓與軸負(fù)半軸交點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于兩點(diǎn)（在之間），為中點(diǎn)，并設(shè)直線的斜率為 ① 證明：為定值 ② 是否存在實(shí)數(shù)，使得？如果存在，求直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說明理由 4、已知圓，定點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且滿足 （1）求點(diǎn)的軌跡的方程 （2）過點(diǎn)作直線，與曲線交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)，是否存在這樣的直線，使得四邊形的對(duì)角線相等（即）？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由 5、（2014，福建）已知雙曲線的兩條漸近線分別為， （1）求雙曲線的離心率 （2）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線分別交直線于兩點(diǎn)（分別在第一、四象限），且的面積恒為8，試探究：是否存在總與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線？若存在，求出雙曲線的方程；若不存在請(qǐng)說明理由 習(xí)題答案： 1、解析：（1） 橢圓過點(diǎn) ，再由可解得： 橢圓方程為： （2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，直線上一點(diǎn)，依題意可得： 兩條切線方程為： ，由切線均過可得： 均在直線上 因?yàn)閮牲c(diǎn)唯一確定一條直線 ，即過定點(diǎn)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3） 聯(lián)立方程： ，不妨設(shè) ，使得恒成立 2、解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為 依題意可知： 橢圓方程為： （2）由（1）可得：，若直線斜率存在 設(shè)， 到直線的距離 到直線的距離 聯(lián)立方程： （*） ，代入到（*）可得： 或 當(dāng)時(shí)，，交點(diǎn)與重合，不符題意 ，代入到可得： ，即 3、解：（1）依題意可知：可得： 橢圓方程為：，代入可得： 橢圓方程為： （2）① 證明：設(shè)，線段的中點(diǎn) 設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程： 化為： 由解得： 且 ② 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則 即 因?yàn)樵跈E圓上，所以，矛盾 所以不存在符合條件的直線 4、解析：（1）由可得為的中點(diǎn)，且 為的中垂線 點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，半焦距 軌跡方程為： （2）因?yàn)? 四邊形為平行四邊形 若，則四邊形為矩形，即 ① 若直線的斜率不存在，則 聯(lián)立方程：，即 故不符合要求 ② 若直線的斜率存在，設(shè) 由 ，解得： 所以存在或，使得四邊形的對(duì)角線相等 5、解析：（1）由雙曲線方程可知，漸近線方程為 （2）若直線不與軸垂直，設(shè) 聯(lián)立方程： ，同理可得 設(shè)直線與軸交于 即 由直線與漸近線的交點(diǎn)分別在第一、四象限可知： 由（1）可得雙曲線方程為： 聯(lián)立與雙曲線方程： 因?yàn)榕c雙曲線相切 整理可得： 所以 雙曲線方程為： 存在一個(gè)總與相切的雙曲線，其方程為