高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法.doc
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高中數(shù)學(xué)立體幾何題型與方法(理科)經(jīng)典例題剖析 例1、已知三點(diǎn)不共線,對(duì)平面外任一點(diǎn),滿足條件, 試判斷:點(diǎn)與是否一定共面? 解析:要證明平面,只要證明向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量和線性表示. 答案:證明:如圖,因?yàn)樵谏?,且,所以.同理,又,所? .又與不共線,根據(jù)共面向量定理,可知,,共面.由于不在平面內(nèi),所以平面. 點(diǎn)評(píng):空間任意的兩向量都是共面的.與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開(kāi). 例2、如圖,?在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),??(I)求證:AC⊥BC1;??(II)求證:AC?1//平面CDB1; 解析:本小題考查直線與平面平行,直線與平面垂直,二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和推理論證能力. 答案:(1)是的中點(diǎn),取PD的中點(diǎn),則 ,又 四邊形為平行四邊形 ∥, ∥????????(4分) ?(2)以為原點(diǎn),以、、?所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,,, 在平面內(nèi)設(shè),,,??由???????? 由???????? 是的中點(diǎn),此時(shí)????????????????????(8分) ?(3)設(shè)直線與平面所成的角為 ,,設(shè)為 ???? 故直線與平面所成角的正弦為????????????????????????????(12分) 解法二: ?(1)是的中點(diǎn),取PD的中點(diǎn),則 ,又 四邊形為平行四邊形 ∥, ∥????????(4分) ?(2)由(1)知為平行四邊形 ,又 ????同理, ????為矩形????∥,,又 ???????? ????作故 交于,在矩形內(nèi),, ,????為的中點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí),????????????????????????????????(8分) ?(3)由(2)知為點(diǎn)到平面的距離,為直線與平面所成的角,設(shè)為, 直線與平面所成的角的正弦值為??????? 點(diǎn)評(píng):(1)證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可;(2)求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點(diǎn)作已知平面的垂線,斜線和射影所成的角,即為所求角;(3)證明線面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來(lái) 例3、如圖,四棱錐中,側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且與底面垂直,底面是的菱形,為的中點(diǎn). (Ⅰ)求與底面所成角的大??; (Ⅱ)求證:平面; (Ⅲ)求二面角的余弦值. 解析:求線面角關(guān)鍵是作垂線,找射影,求異面直線所成的角采用平 移法??求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法,比較好的方法是向量法? 答案:(I)取DC的中點(diǎn)O,由ΔPDC是正三角形,有PO⊥DC. 又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCD于O. 連結(jié)OA,則OA是PA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA與底面所成角. ∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,從而求得OA=OP=. ∴∠PAO=45°.∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°.???????????????……6分 (II)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OA⊥DC. 建立空間直角坐標(biāo)系如圖,則,?. 由M為PB中點(diǎn),∴. ∴. ∴, . ∴PA⊥DM,PA⊥DC.???∴PA⊥平面DMC.?????????????????????????????????????????????……4分 (III).令平面BMC的法向量, 則,從而x+z=0;??……①,??,從而.?……② 由①、②,取x=?1,則.???∴可?。? 由(II)知平面CDM的法向量可取, ∴.?∴所求二面角的余弦值為-.????……6分 法二:(Ⅰ)方法同上? ????????????????????????????? (Ⅱ)取的中點(diǎn),連接,由(Ⅰ)知,在菱形中,由于, 則,又,則,即, 又在中,中位線,,則, 則四邊形為,所以,在中,, 則,故而, 則 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,則為二面角的平面角, 在中,易得,, 故,所求二面角的余弦值為 例4、如圖,在長(zhǎng)方體中,點(diǎn)在線段上. (Ⅰ)求異面直線與所成的角; (Ⅱ)若二面角的大小為,求點(diǎn)到平面的距離. 解析:本題涉及立體幾何線面關(guān)系的有關(guān)知識(shí),?本題實(shí)質(zhì)上求角度和距離,在求此類(lèi)問(wèn)題中,要將這些量歸結(jié)到三角形中,最好是直角三角形,這樣有利于問(wèn)題的解決,此外用向量也是一種比較好的方法. 答案:解法一:(Ⅰ)連結(jié)。由已知,是正方形,有。 ∵平面,∴是在平面內(nèi)的射影。 根據(jù)三垂線定理,得,則異面直線與所成的角為。 作,垂足為,連結(jié),則 所以為二面角的平面角,. 于是 易得,所以,又,所以。 設(shè)點(diǎn)到平面的距離為. ∵即, ∴,即,∴. 故點(diǎn)到平面的距離為。 解法二:分別以為軸、軸、軸,建立空間直角坐標(biāo)系. (Ⅰ)由,得 設(shè),又,則。 ∵∴ 則異面直線與所成的角為。 (Ⅱ)為面的法向量,設(shè)為面的法向量,則 ∴.???????????????????????? ① 由,得,則,即 ∴??????????????????????????? ② 由①、②,可取 又,所以點(diǎn)到平面的距離 。 例5、如圖所示:邊長(zhǎng)為2的正方形ABFC和高為2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且DE=,ED//AF且∠DAF=90°。 ???(1)求BD和面BEF所成的角的余弦; ? ???(2)線段EF上是否存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直,若存在,求EP與PF的比值;若不存在,說(shuō)明理由。 解析:1.先假設(shè)存在,再去推理,下結(jié)論:?2.運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論,或先利用條件特例得出結(jié)論,然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算。 答案:(1)因?yàn)锳C、AD、AB兩兩垂直,建立如圖坐標(biāo)系, 則B(2,0,0),D(0,0,2), E(1,1,2),F(xiàn)(2,2,0), 則 設(shè)平面BEF的法向量 ,則可取, ∴向量所成角的余弦為 。 即BD和面BEF所成的角的余弦。 ???(2)假設(shè)線段EF上存在點(diǎn)P使過(guò)P、A、C三點(diǎn)的平面和直線DB垂直,不妨設(shè)EP與PF的比值為m,則P點(diǎn)坐標(biāo)為 則向量,向量 所以。 ?點(diǎn)評(píng):本題考查了線線關(guān)系,線面關(guān)系及其相關(guān)計(jì)算,本題采用探索式、開(kāi)放式設(shè)問(wèn)方式,對(duì)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解題提出了較高要求。 例6、- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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