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等差數(shù)列,1,知識(shí)點(diǎn)： 1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做項(xiàng)，第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)。數(shù)列中共有的項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫做項(xiàng)數(shù)。 2、等差數(shù)列與公差：一個(gè)數(shù)列，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與與它前一項(xiàng)的差都相等，這樣的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項(xiàng)的差叫做公差。 3、常用公式 等差數(shù)列的總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)） ×項(xiàng)數(shù)÷ 2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） 首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） 公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ （項(xiàng)數(shù)-1） 等差數(shù)列（奇數(shù)個(gè)數(shù)）的總和=中間項(xiàng)× 項(xiàng)數(shù),2,找出規(guī)律后填出下面數(shù)列中括號(hào)里的數(shù)： (1) 1， 2， 3，4， ( )， 6， 7， ( )，… (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19， … (3) 1， 3， 5， 7， 9， ( )，13，…,規(guī)律：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為‘1’,等差數(shù)列：一個(gè)數(shù)列，從第個(gè)2數(shù)開始，依次與前一個(gè)數(shù)的差相同，這樣的數(shù)列叫等差數(shù)列,3,一套書有5本，每隔5年出版一本，第三本是1998年出版的。其他幾本書分別是哪年出版的？,1998,2010,2004,1986,1992,這個(gè)數(shù)列有幾個(gè)數(shù),,首項(xiàng),,末項(xiàng)（尾項(xiàng)）,4,求某一項(xiàng),1,3,5,7,9,11,公 差：2,末項(xiàng) = 首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）,首項(xiàng) = 末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）,項(xiàng)數(shù)：6,5,⒈在數(shù)列5，6，7，8，9，……，94，95，96中， 第40個(gè)數(shù)是多少？,練習(xí)：,⒉ 等差數(shù)列1，3，5，……中， 第401項(xiàng)是多少？,末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） =5+1 ×(40-1)= 44,末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） =1+2 × (401-1)=801,6,1,3,5,7,9,11,共幾項(xiàng)？,1949，1950，1951，……，1999，2000,求項(xiàng)數(shù),,,,,,4 , 7 , 10 , 13 … … 25 , 28,項(xiàng)數(shù) = （末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1,7,1，有這樣一個(gè)數(shù)列：3，7，11，15，19，23……問(wèn) （1）這個(gè)數(shù)列中的第50項(xiàng)是幾？ （2）139是這 個(gè)數(shù)列中的第幾項(xiàng)？,練習(xí)：,2， 有一個(gè)等差數(shù)列4，7，10，13……，問(wèn) （1）這個(gè)數(shù)列中的20項(xiàng)是幾？ （2）298是這個(gè)數(shù)列中的第幾項(xiàng)？,3+4 ×(50-1) =199,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (139-3) ÷4+1 =35,末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） =4+3 ×(20-1)=61,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (298-4) ÷3+1 =99,8,求 和 ：,1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … …+ 99,和 = （首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2,=（1+99）×99÷2,= 9900÷2,= 4950,9,求下列方陣中所有各數(shù)的和： 1、2、3、4、……49、50； 2、3、4、5、……50、51； 3、4、5、6、……51、52； …… 49、50、51、52、……97、98； 50、51、52、53、……98、99。,解： 每一橫行數(shù)列之和： 第一行：（1+50） ×50 ÷ 2=1275 第二行：（2+51） × 50 ÷ 2=1325 第三行：（3+51） × 50 ÷ 2=1375 …… 第四十九行：（49+98） × 50 ÷ 2=3675 第五十行：（50+99） × 50 ÷ 2=3725 方陣所有數(shù)之和： 1275+1325+1375+……+3675+3725 =（1275+3725） × 50 ÷ 2 =125000,10,在19和91之間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。寫出插入的5個(gè)數(shù)。,求 公 差 ：,1,3,5,7,9,11,,,,,,公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ （項(xiàng)數(shù)-1）,(91-19) ÷(7-1)=12 依次為31、43、55、67、79,11,,下面這組數(shù)是按一定規(guī)律排列的，你能求出這組數(shù)列的第48個(gè)數(shù)是幾嗎？ 54、58、62、66、70、74、78、82、86…,末項(xiàng) = 首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）,54+4 × （48-1）=242,12,,6和26插入三個(gè)數(shù)，使它們每?jī)蓚€(gè)相鄰數(shù)的差相等，這三個(gè)數(shù)分別是多少？,公差=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ （項(xiàng)數(shù)-1）,（26-6） ÷ （5-1）=5 依次為11、16、21,13,練習(xí)1 小明往棋盤上放棋子，他在第一格放1枚，在第二格放4枚，第三格放7枚……這樣以后每格都比前一格多放3枚棋子，小明在棋盤的最后一格放了70枚棋子，則這個(gè)棋盤共有多少格？,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (70-1) ÷3+1 =24,練習(xí)2 有一列數(shù)1、5、9、13、17、21、…… 他的第100個(gè)數(shù)是多少？ 答：這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為4 數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為為an=（n-1）×4+1 所以a100=（100-1） × 4+1=397 即第100項(xiàng)為397 這100個(gè)數(shù)和是多少？ 等差數(shù)列的總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)） ×項(xiàng)數(shù)÷ 2 （1+397） ×100 ÷2=19900,14,一座塔掛滿了彩燈，最頂層掛了7盞彩燈，下面一層掛了12盞，再下一層掛了17盞……以后每下一層都比上一層多掛5盞燈，最底層是72盞燈，這座塔共多少層？ 一群小朋友玩報(bào)數(shù)游戲，第一個(gè)小朋友報(bào)1，第二個(gè)小朋友報(bào)4，第三個(gè)小朋友報(bào)7……后一個(gè)小朋友比前一個(gè)小朋友多報(bào)3，后一個(gè)小朋友報(bào)85，有多少個(gè)小朋友在做游戲？ (85-1) ÷3+1 =29（人）,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (72-7) ÷5+1 =14,15,,有一組數(shù)列如下：5、9、13、17、21、…325、329你能求出這組數(shù)列共有多少個(gè)數(shù)嗎？ 拓展1. 39個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1989,其中最大的一個(gè)奇數(shù)是多少 答：因?yàn)?9個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和為1989,所以中間一個(gè)數(shù)是這39個(gè)數(shù)的平均數(shù),1989÷39=51, 比51大的另外19個(gè)奇數(shù)為:53,55,57,…,87,89.或用末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差 × （項(xiàng)數(shù)-1） 51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一個(gè)奇數(shù)為89.,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (329-5) ÷4+1 =82,16,拓展2. 在1~200這二百個(gè)數(shù)中能被9整除的數(shù)的和是多少? 答：在1~200這二百個(gè)數(shù)中能被9整除的數(shù)構(gòu)成了一個(gè)以9為首項(xiàng),公差為9的等差數(shù)列:9,18,27,36,…,189,198, 一共有(198-9)÷9+1=22項(xiàng). 它們的和為: 等差數(shù)列的總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)） ×項(xiàng)數(shù)÷ 2 (9+198)×22÷2 =207×22÷2 =2277.,項(xiàng)數(shù) = （末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1,拓展3. 若干人圍成8圈,一圈套一圈,從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人.如果最內(nèi)圈有32人,共有多少? 先求最外圈有多少人?,末項(xiàng) = 首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）,32+4 ×（8-1）=60（人） 再求共有多少人?等差數(shù)列的總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)） ×項(xiàng)數(shù)÷ 2 （32+60） ×8 ÷ 2=364（人）,17,練習(xí)1、有一個(gè)等差數(shù)列：3、7、11、15、19、、、123 問(wèn)1、這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？問(wèn)2、這個(gè)數(shù)列的和是多少？ 這個(gè)數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，其第n項(xiàng)為an=3+(n-1)*4=4n-1，數(shù)列和為sn=(3+4n-1)*n/2=(2n+1)*n。這個(gè)數(shù)列共有31項(xiàng)，和為1953。,2、數(shù)到3、7、11、15它的第26項(xiàng)是多少? 3+（26-1）*4或者26*4-1=103,3、有一個(gè)數(shù)列，3,7,11,1563.這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？ （63-3）/4=15 15+1=16項(xiàng),4、已知等差數(shù)列：7，11，15，…，63．則這個(gè)數(shù)列所有的數(shù)的和是______,項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)） ÷ 公差+1 (63-7) ÷4+1 =15 和為（7+63） ×15 ÷2=525,5、100是不是3.7.11的項(xiàng)?79是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，第幾項(xiàng)？如果不是，理由,100是偶數(shù)，顯然不是里面的項(xiàng) （79-3） ÷4=19 故79是里面的項(xiàng) 是第19+1=20項(xiàng),6、數(shù)列1,4,7,10,…中,第15項(xiàng)是幾?;第16項(xiàng)與第19項(xiàng)相差幾?;58是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)；前50項(xiàng)的和是多少？,1、第15項(xiàng)為42,2、第16項(xiàng)與第19項(xiàng)相差（3×18+1）-（3×15+1）＝9,3、58是（58-1） ÷3+1=20項(xiàng),4、前50項(xiàng)和（3×49+1+1）×50 ÷2 =3725,18,