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太原志成學(xué)校 藝術(shù)類(lèi)理科數(shù)學(xué)講義 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 第一講 數(shù)列定義及其性質(zhì) 一、基本概念： 1、通項(xiàng)公式：； 2、前項(xiàng)和： 3、關(guān)系： 二、性質(zhì)： 1、單調(diào)性：增數(shù)列：；減數(shù)列：；常數(shù)列： 2、最值： 3、前項(xiàng)積有最大值： 三、幾種常見(jiàn)數(shù)列： 1、 2、 3、 4、 5、 ★隨堂訓(xùn)練： 1、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是，那么這個(gè)數(shù)列是（ ） A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列 2、已知數(shù)列滿(mǎn)足，，那么這個(gè)數(shù)列是（ ） A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.擺動(dòng)數(shù)列 D.常數(shù)列 3、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） 4、已知數(shù)列通項(xiàng)公式是是數(shù)列的前項(xiàng)積，即，當(dāng)取到最大值是，n的值為（ ） 5、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值是（ ） 11 等差數(shù)列專(zhuān)題 一、等差數(shù)列知識(shí)點(diǎn)回顧與技巧點(diǎn)撥 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示． 2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p. 3．等差中項(xiàng) 如果三個(gè)數(shù)x，A，y組成等差數(shù)列，那么A叫做x和y的等差中項(xiàng)，如果A是x和y的等差中項(xiàng)，則A＝. 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n為偶數(shù)，則S偶－S奇＝； 若n為奇數(shù)，則S奇－S偶＝a中(中間項(xiàng))． 5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 若已知首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an，則Sn＝，或等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其前n項(xiàng)和公式為Sn＝na1＋d. 6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2＋n，數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件是Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))． 7．最值問(wèn)題 在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值． 一個(gè)推導(dǎo) 利用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，① Sn＝an＋an－1＋…＋a1，② ①＋②得：Sn＝. 兩個(gè)技巧 已知三個(gè)或四個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列的一類(lèi)問(wèn)題，要善于設(shè)元． (1)若奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…. (2)若偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項(xiàng)再依據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行對(duì)稱(chēng)設(shè)元 ． 四種方法 等差數(shù)列的判斷方法 (1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù)； (2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立； (3)通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證an＝pn＋q； (4)前n項(xiàng)和公式法：驗(yàn)證Sn＝An2＋Bn. 注：　后兩種方法只能用來(lái)判斷是否為等差數(shù)列，而不能用來(lái)證明等差數(shù)列． 基礎(chǔ)訓(xùn)練：（公式的運(yùn)用，定義的把握） 1．已知等差數(shù)列{an}中，a3=9，a9=3，則公差d的值為（　?。? 　 A． B． 1 C． D． ﹣1 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n+5，則此數(shù)列是（　?。? 　 A． 以7為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列 B． 以7為首項(xiàng)，公差為5的等差數(shù)列 　 C． 以5為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列 D． 不是等差數(shù)列 3．在等差數(shù)列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，則n等于（　?。? 　 A． 23 B． 24 C． 25 D． 26 4．兩個(gè)數(shù)1與5的等差中項(xiàng)是（　　） 　 A． 1 B． 3 C． 2 D． 5．（2005?黑龍江）如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則（　?。? 　 A． a1+a8＞a4+a5 B． a1+a8=a4+a5 C． a1+a8＜a4+a5 D． a1a8=a4a5 考點(diǎn)1:等差數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和 題型1：已知等差數(shù)列的某些項(xiàng)，求某項(xiàng) 【解題思路】給項(xiàng)求項(xiàng)問(wèn)題，先考慮利用等差數(shù)列的性質(zhì)，再考慮基本量法 【例1】已知為等差數(shù)列，，則 對(duì)應(yīng)練習(xí)： 1、已知為等差數(shù)列，（互不相等），求. 2、已知個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為，平方和為，求這個(gè)數(shù). 題型2：已知前項(xiàng)和及其某項(xiàng)，求項(xiàng)數(shù). 【解題思路】 ⑴利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出及，代入可求項(xiàng)數(shù)； ⑵利用等差數(shù)列的前4項(xiàng)和及后4項(xiàng)和求出，代入可求項(xiàng)數(shù). 【例2】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，求 對(duì)應(yīng)練習(xí)： 3、若一個(gè)等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為36，后4項(xiàng)和為124，且所有項(xiàng)的和為780，求這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù). 4、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 . 題型3：求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 【解題思路】（1）利用求出，把絕對(duì)值符號(hào)去掉轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問(wèn)題. （2）含絕對(duì)值符號(hào)的數(shù)列求和問(wèn)題，要注意分類(lèi)討論. 【例3】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，. （1） ； ⑵求；⑶求. 練習(xí)： 對(duì)應(yīng)練習(xí)：5、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，求. 考點(diǎn)2 ：證明數(shù)列是等差數(shù)列 【名師指引】判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法有： 1、 定義法：（，是常數(shù)）是等差數(shù)列； 2、中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列； 3、通項(xiàng)公式法：（是常數(shù)）是等差數(shù)列； 4、項(xiàng)和公式法：（是常數(shù)，）是等差數(shù)列. 【例4】已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列. 對(duì)應(yīng)練習(xí)：6、設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，， （1） 常數(shù)的值； （2） 證：數(shù)列是等差數(shù)列. 考點(diǎn)3 :等差數(shù)列的性質(zhì) 【解題思路】利用等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)求解. 【例5】1、已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 ； 2、知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則 . 對(duì)應(yīng)練習(xí)：7、含個(gè)項(xiàng)的等差數(shù)列其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為（ ） 8.設(shè)、分別是等差數(shù)列、的前項(xiàng)和，，則 . 考點(diǎn)4： 等差數(shù)列與其它知識(shí)的綜合 【解題思路】1、利用與的關(guān)系式及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求； 2、求出后，判斷的單調(diào)性. 【例6】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，；數(shù)列滿(mǎn)足：， ，其前項(xiàng)和為 1 數(shù)列、的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，求使不等式對(duì)都成立的最大正整數(shù)的值. 課后練習(xí)： 1.(2010廣雅中學(xué))設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則 A． B． C． D． 2.在等差數(shù)列中，，則 . 3. 數(shù)列中，，當(dāng)數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí)， . 4. 已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則其公差是 . 5.設(shè)數(shù)列中，，則通項(xiàng) . 對(duì)應(yīng)練習(xí)：9.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，，. 1 數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵ 數(shù)列中是否存在正整數(shù)，使得不等式對(duì)任意不小于的正整數(shù)都成立？若存在，求最小的正整數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由