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新課標(biāo)人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)（上）知識(shí)要點(diǎn)概括 第一章 有理數(shù) 1.（1）正數(shù)：大于零的數(shù)； （2）負(fù)數(shù)：小于零的數(shù)（在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“—”的數(shù)）； 注意：①0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)； ②對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)，不能簡單理解為帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“—”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)； ③字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng)a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表示0時(shí)，-a仍是0。 ④正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號(hào)是正號(hào)。 2.有理數(shù)的概念 ⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)； ⑵正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)； ⑶正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。 理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。 ①π是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)； ②有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)； ③-a不一定是負(fù)數(shù)，+a也不一定是正數(shù)； 3.有理數(shù)的分類 ⑴按有理數(shù)的定義分類 ⑵按性質(zhì)符號(hào)來分 正整數(shù) 正整數(shù) 整數(shù) 0 正有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 正分?jǐn)?shù) 有理數(shù) 有理數(shù) 0 （0不能忽視） 正分?jǐn)?shù) 負(fù)整數(shù) 分?jǐn)?shù) 負(fù)有理數(shù) 負(fù)分?jǐn)?shù) 負(fù)分?jǐn)?shù) 總結(jié)：①正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)） ②負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) ③正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù) ④負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù) ⑤0是整數(shù)不是分?jǐn)?shù)。 4. 規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長度的直線叫做數(shù)軸。 注意：⑴數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線； ⑵原點(diǎn)、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不可； ⑶同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一。 （4） 數(shù)軸一般取右（或向上）為正方向，數(shù)軸的原點(diǎn)的選定，正方向的取向，單位長度大小的確定都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。 5.數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系 ⑴所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。 ⑵所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是一 一對(duì)應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn)π不是有理數(shù)） 6. 數(shù)軸的畫法 （1）畫一條直線，在這條直線上任取一個(gè)點(diǎn)作為原點(diǎn)； （2）通常規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右（或左）為正方向，從原點(diǎn)向左（或右）為負(fù)方向； （3）選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點(diǎn)向右，每隔一個(gè)單位長度取一個(gè)點(diǎn)，依次表示1，2，3，…；從原點(diǎn)向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…. 7.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小 ⑴在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大； ⑵正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)； ⑶兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。 8.數(shù)軸上特殊的最大（小）數(shù) ⑴最小的自然數(shù)是0，無最大的自然數(shù)； ⑵最小的正整數(shù)是1，無最大的正整數(shù)； ⑶最大的負(fù)整數(shù)是-1，無最小的負(fù)整數(shù) 9.a可以表示什么數(shù) ⑴a>0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a>0； ⑵a<0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，則a<0； ⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，則a=0； 10.數(shù)軸上點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律 根據(jù)點(diǎn)的移動(dòng)，向左移動(dòng)幾個(gè)單位長度則減去幾，向右移動(dòng)幾個(gè)單位長度則加上幾，從而得到所需的點(diǎn)的位置。 11.歸納數(shù)軸上的點(diǎn)的意義： 一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示a的點(diǎn)在原點(diǎn)的右邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度；表示－a的點(diǎn)在原點(diǎn)的左邊，與原點(diǎn)的距離是a個(gè)單位長度. 12.只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)。 注意：⑴相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的； ⑵相反數(shù)只有符號(hào)不同，若一個(gè)為正，則另一個(gè)為負(fù)； ⑶0的相反數(shù)是它本身；相反數(shù)為本身的數(shù)是0。 13.相反數(shù)的性質(zhì)與判定 ⑴任何數(shù)都有相反數(shù)，且只有一個(gè)； ⑵0的相反數(shù)是0； ⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0，和為0的兩數(shù)互為相反數(shù)，即a，b互為相反數(shù)，則a+b=0 14.相反數(shù)的幾何意義 在數(shù)軸上與原點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)表示的兩個(gè)數(shù)，是互為相反數(shù)；互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0除外）在原點(diǎn)兩旁，并且與原點(diǎn)的距離相等。0的相反數(shù)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)。 說明：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 15.相反數(shù)的求法 ⑴求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它的前面添上負(fù)號(hào)“-”即可求得（如：5的相反數(shù)是-5）； ⑵求多個(gè)數(shù)的和或差的相反數(shù)是，要用括號(hào)括起來再添“-”，然后化簡（如；5a+b的相反數(shù)是-（5a+b）?；喌?5a-b）； ⑶求前面帶“-”的單個(gè)數(shù)，也應(yīng)先用括號(hào)括起來再添“-”，然后化簡(如：-5的相反數(shù)是-（-5），化簡得5) 16.相反數(shù)的表示方法 ⑴一般地，數(shù)a 的相反數(shù)是-a ，其中a是任意有理數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。 當(dāng)a>0時(shí)，-a<0（正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)） 當(dāng)a<0時(shí)，-a>0（負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)） 當(dāng)a=0時(shí)，-a=0，（0的相反數(shù)是0） 17.多重符號(hào)的化簡 多重符號(hào)的化簡規(guī)律:“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡的結(jié)果，可以直接省略；“-”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡結(jié)果；即：“-”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)，“-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。 18.一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作|a|，讀作：a的絕對(duì)值. 19.因?yàn)閿?shù)的絕對(duì)值是表示兩點(diǎn)之間的距離，如：|a-b|表示數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。 所以一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不可能是負(fù)數(shù)。即：任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)（0的絕對(duì)值是0） 20. 絕對(duì)值的計(jì)算規(guī)律： （1） 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等 （2） 若，則a=b或a=-b； （3） 若 21.絕對(duì)值的代數(shù)定義 1）一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身 2）一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù) 3）0的絕對(duì)值是0 22.可用字母表示為： ①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。 可歸納為①：a≥0<═> |a|=a （非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。） ②a≤0<═> |a|=-a （非正數(shù)的絕對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。） 23.絕對(duì)值的性質(zhì) 任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，也就是說絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以，a取任何有理數(shù)，都有|a|≥0。 ⑴0的絕對(duì)值是0；絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a|≥0； ⑶任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：即：|a|≥a； ； ； ⑷絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a（a>0），則x=±a； ⑸互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；注意：|a|·|b|=|a·b|, ； ⑹絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b； ⑺若幾個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0） 24.有理數(shù)大小的比較 ⑴利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的??； ⑵利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小：兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而?。划愄?hào)兩數(shù)比較大小，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。 （3）正數(shù)的絕對(duì)值越大，這個(gè)數(shù)越大； （4）正數(shù)永遠(yuǎn)比0大，負(fù)數(shù)永遠(yuǎn)比0小； （5）正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)； （6）大數(shù)-小數(shù) ＞ 0，小數(shù)-大數(shù) ＜ 0. 25.已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，求這個(gè)數(shù) 一個(gè)數(shù)a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。 一般地，絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，絕對(duì)值為0的數(shù)是0，沒有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。 26.有理數(shù)的加法法則 ⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加； ⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值； ⑶互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零； ⑷一個(gè)數(shù)與0相加，仍得這個(gè)數(shù)。 27.有理數(shù)加法的運(yùn)算律 ⑴加法交換律：a+b=b+a ⑵加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c) 28.在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí)，一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用，以達(dá)到化簡的目的，通常有下列規(guī)律： ①互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加——“相反數(shù)結(jié)合法”； ②符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加——“同號(hào)結(jié)合法”； ③分母相同的數(shù)先相加——“同分母結(jié)合法”； ④幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加——“湊整法”； ⑤整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加——“同形結(jié)合法”。 29.有理數(shù)減法法則 減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：a-b=a+(-b)。 30.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義 在有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中，根據(jù)有理數(shù)減法法則，可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后，再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。 在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 31.有理數(shù)加減混合運(yùn)算中運(yùn)用結(jié)合律時(shí)的一些技巧： Ⅰ.把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合（同號(hào)結(jié)合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （將減法轉(zhuǎn)換成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加號(hào)和括號(hào)） =(-33-15-1)+(18+23) （把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合） =-49+41 （運(yùn)用加法法則一進(jìn)行運(yùn)算） =-8 （運(yùn)用加法法則二進(jìn)行運(yùn)算） Ⅱ.把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合 （湊整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （將減法轉(zhuǎn)換成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加號(hào)和括號(hào)） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合） =4-10+3.8 （運(yùn)用加法法則進(jìn)行運(yùn)算） =7.8-10 （把符號(hào)相同的加數(shù)相結(jié)合，并進(jìn)行運(yùn)算） =-2.2 （得出結(jié)論） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合（同分母結(jié)合法） --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-)=-1+0-=-1 Ⅳ.既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)的運(yùn)算要統(tǒng)一后再結(jié)合（先統(tǒng)一后結(jié)合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1)=+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10=2-3+10=-3+13=10 Ⅴ.把帶分?jǐn)?shù)拆分后再結(jié)合（先拆分后結(jié)合） -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-)=-1++=-1++ =- Ⅵ.分組結(jié)合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0 Ⅶ.先拆項(xiàng)后結(jié)合 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 32.有理數(shù)的乘法法則 ①兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；（“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三） ②任何數(shù)同0相乘，都得0； ③幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)； ④幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0. 33.乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數(shù)，即a是的倒數(shù)，是a的倒數(shù)。 ①0沒有倒數(shù)； ②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置； ③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。（求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì)）； ④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。 ⑤若ab=1? a、b互為倒數(shù)；若ab=-1? a、b互為負(fù)倒數(shù). 34.有理數(shù)的乘法運(yùn)算律 ⑴乘法交換律：ab=ba ⑵乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 35. 有理數(shù)的除法法則 （1）除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)；注意：零不能做除數(shù)，. （2）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。 （3）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。 36..有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算 （1）乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。 （2）有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照‘先乘除，后加減’的順序進(jìn)行。 37.有理數(shù)的乘方 求n 個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在 中，a 叫做底數(shù)，n 叫做指數(shù)。 （1）a2是重要的非負(fù)數(shù)，即a2≥0；若a2+|b|=0 ? a=0,b=0； （2） 據(jù)規(guī)律 底數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)一位，平方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)二位 （3） 的結(jié)果：n為奇數(shù)時(shí)，=-1；n為偶數(shù)時(shí)，=1。 38.乘方的性質(zhì) （1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)；注意：當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí): (-a)n=-an, 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí): (-a)n =an . （2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。 39.有理數(shù)的混合運(yùn)算，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序： 1.先乘方，再乘除，最后加減； 2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行； 3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。 40. 科學(xué)記數(shù)法 把一個(gè)大于10的數(shù)表示成 的形式（其中， n是正整數(shù)），這種記數(shù)法是科學(xué)記數(shù)法 41.近似數(shù)的精確位：一個(gè)近似數(shù)，四舍五入到那一位，就說這個(gè)近似數(shù)的精確到那一位. 42.有效數(shù)字：從左邊第一個(gè)不為零的數(shù)字起，到精確的位數(shù)止，所有數(shù)字，都叫這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字. 有理數(shù)運(yùn)算中的常見錯(cuò)誤示例 一、概念不清 例1 計(jì)算:15+(-6)-|-5|. 錯(cuò)解:原式=15-6+5=14. 錯(cuò)解分析：錯(cuò)在沒有弄清-(-5)與-|-5|的區(qū)別.-(-5)表示-5的相反數(shù),為5;而-|-5|表示-5的絕對(duì)值的相反數(shù),-5的絕對(duì)值為5,5的相反數(shù)是-5. 正解:原式=15-6-5=4. 例2 計(jì)算:. 錯(cuò)解:原式=. 錯(cuò)解分析：此解錯(cuò)在混淆了乘方和有理數(shù)乘法的概念.需知表示,其結(jié)果為-8,因此,絕不是指數(shù)和底數(shù)相乘. 正解:原式=. 二、錯(cuò)用符號(hào) 例3 計(jì)算:-5-8×(-2). 錯(cuò)解:原式=-5-16=-21. 錯(cuò)解分析：錯(cuò)在先將8前面的“-”當(dāng)成性質(zhì)符號(hào),后來又當(dāng)成運(yùn)算符號(hào)重復(fù)使用,切記不可這樣重復(fù)用. 正解1:若把-8中的“-”當(dāng)成性質(zhì)符號(hào),則可得以下過程: 原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11. 正解2:若把-8中的“-”當(dāng)成運(yùn)算符號(hào),則可得以下過程: 原式=-5-(-16)=-5+16=11. 三、項(xiàng)動(dòng)符號(hào)不動(dòng) 例4 計(jì)算:. 錯(cuò)解:原式= ===. 錯(cuò)解分析：在解答本題時(shí),應(yīng)先觀察數(shù)字的特點(diǎn),將小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,并使分母相同的分?jǐn)?shù)合并計(jì)算.在運(yùn)用加法交換律時(shí)一定要記住,項(xiàng)動(dòng)其符號(hào)也一定要隨之而動(dòng).錯(cuò)解在移動(dòng)一項(xiàng)時(shí),漏掉了其符號(hào). 正解:原式= ==-12+11=-1. 四、對(duì)負(fù)帶分?jǐn)?shù)理解不清 例5 計(jì)算: 錯(cuò)解:原式= = ==. 錯(cuò)解分析：錯(cuò)在把負(fù)帶分?jǐn)?shù)理解為,而負(fù)帶分?jǐn)?shù)中的“-”是整個(gè)帶分?jǐn)?shù)的性質(zhì)符號(hào),把看成才是正確的.與之類似,也不等于. 正解:原式= ===. 五、考慮不全面 例6 已知|ɑ-1|=5,則ɑ的值為( ). A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4 錯(cuò)解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.選A. 錯(cuò)解分析：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于5,則這個(gè)數(shù)可能為正,也可能為負(fù),所以ɑ-1=±5,解得ɑ=6或-4. 正解:選C. 六、錯(cuò)用運(yùn)算律 例7 計(jì)算: . 錯(cuò)解:原式= ===. 錯(cuò)解分析：由于受乘法分配律ɑ(b+c)=ɑb+ɑc的影響,錯(cuò)誤地認(rèn)為ɑ÷(b+c)=ɑ÷b+ɑ÷c,這是不正確的. 正解:原式===. 七、違背運(yùn)算順序 例8 計(jì)算:. 錯(cuò)解:原式=4÷(-2)=-2. 錯(cuò)解分析：本題是乘除運(yùn)算,應(yīng)按從左到右的順序進(jìn)行,而錯(cuò)解是先計(jì)算,這樣就違背了運(yùn)算順序. 正解:原式=4×(-8)×16=-512. 例9 計(jì)算:. 錯(cuò)解:原式=25-(-2)2=25-4=21. 錯(cuò)解分析：在計(jì)算時(shí),錯(cuò)誤地先進(jìn)行乘法運(yùn)算.事實(shí)上應(yīng)該先算乘方,再算乘除. 正解:原式==25-64=-39. 有理數(shù)典型錯(cuò)題示例 一、例1　計(jì)算：(1）-19.3＋0.7；(2) 錯(cuò)解：（1）-19.3＋0.7＝-20； (2)＝． 錯(cuò)解分析：（1）這是沒有掌握有理數(shù)加法法則的常見錯(cuò)誤．對(duì)于絕對(duì)值不同的異號(hào)兩數(shù)相加，如何定符號(hào)和取和的絕對(duì)值，初學(xué)時(shí)要特別小心．(2）混合運(yùn)算中，同級(jí)運(yùn)算應(yīng)從左往右依次進(jìn)行．本題應(yīng)先除后乘，這里先算了，是不按法則造成的計(jì)算錯(cuò)誤． 正解：(1) -19.3十0.7＝-18.6； (2)． 二、例2　計(jì)算：(1)；(2)． 錯(cuò)解：（1）＝（-4) （-4)＝16；(2)＝-0.8． 錯(cuò)解分析：（1），表示4的平方的相反數(shù)，即＝-（4×4），它與不同，兩者不能混淆． (2)表示-0.2的三次方．小數(shù)乘方運(yùn)算應(yīng)注意運(yùn)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位置． 正解：（l）＝-16；(2)＝-0.008． 三、例3　計(jì)算：(1)；(2)． 錯(cuò)解：（1)＝； (2)＝． 錯(cuò)解分析：：帶分?jǐn)?shù)相乘（或乘方）必須先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)后再計(jì)算． 正解：（1）原式＝； (2）原式＝． 四、例4　已知：＝2，＝3，求． 錯(cuò)解：因?yàn)椋?，＝3，所以＝±2，＝±3． 所以＝±5． 錯(cuò)解分析：本題錯(cuò)在最后一步，本題應(yīng)有四個(gè)解．錯(cuò)解中只注意同號(hào)兩數(shù)相加，忽略了還有異號(hào)兩數(shù)相加的情況． 正解：前兩步同上，所以＝±5，或＝±1． 五、例5　下列說法正確的是（　?。? (A)0是正整數(shù)　　 （B)0是最小的整數(shù)　　 (C)0是最小的有理數(shù)　?。―)0是絕對(duì)值最小的有理數(shù) 錯(cuò)解：選A 錯(cuò)解分析： 0不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，0當(dāng)然不在正整數(shù)之列；再則，在有理數(shù)范圍之內(nèi)，沒有最小的數(shù)． 正解：選D 六、例6　按括號(hào)中的要求，用四舍五入法取下列各數(shù)的近似值： (l)57.898（精確到O.01)； (2)0.057988（保留三個(gè)有效數(shù)字）． 錯(cuò)解：（1)57.898≈57.9； (2)0.057988≈0.058 錯(cuò)解分析：（1)57.898精確到0.01，在百分位應(yīng)有數(shù)字0，不能認(rèn)為這個(gè)小數(shù)部分末尾的O是無用的．正確的答案應(yīng)為57.90．注意57.9和57.90是精確度不同的兩個(gè)近似數(shù)． (2）發(fā)生錯(cuò)解的原因是對(duì)“有效數(shù)字”概念不清．有效數(shù)字是指一個(gè)由四舍五入得來的近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起，到末位數(shù)字為止的所有數(shù)字，都叫這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字．因此0.057988保留三個(gè)有效數(shù)字的近似值應(yīng)為0.0580，而0.058只有兩個(gè)有效數(shù)字． 七、例7　選擇題： (l)絕對(duì)值大于10而小于50的整數(shù)共有（　　） (A)39個(gè)　?。˙)40個(gè)　?。–)78個(gè)　?。―)80個(gè) (2)不大于10的非負(fù)整數(shù)共有（　?。? (A)8個(gè)　?。˙)9個(gè)　　（C)10個(gè)　?。―)11個(gè) 錯(cuò)解：（1)D (2)C 錯(cuò)解分析： (l)10到50之間的整數(shù)（不包括10和50在內(nèi)）共39個(gè)，-50到-10之間的整數(shù)也有39個(gè)，故共有78個(gè)．本題錯(cuò)在考慮不周密．(2)這里有兩個(gè)概念：一是“不大于”，二是“非負(fù)整數(shù)”．前一概念不清，會(huì)誤以為是0至9十個(gè)數(shù)字；后一概念不清，會(huì)誤解為是1至10十個(gè)數(shù)字，都會(huì)錯(cuò)選（C)． 正解：(l)C (2)D 八、例8　計(jì)算：． 錯(cuò)解：原式＝ 　　　　?。剑? 錯(cuò)解分析：絕對(duì)值符號(hào)有括號(hào)的功能，但不是括號(hào)．絕對(duì)值符號(hào)的展開必須按絕對(duì)值意義進(jìn)行；特別是絕對(duì)值號(hào)內(nèi)是負(fù)值時(shí)，展開后應(yīng)取它的相反數(shù)．這是一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)格外小心． 正解：因?yàn)?，，，…? 所以原式＝… 　　?。健剑? 有理數(shù)的乘方錯(cuò)解示例 一、例1用乘方表示下列各式： （1）； （2） 錯(cuò)解：（1）； （2）. 錯(cuò)解分析：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方. （1）錯(cuò)在混淆了與所表示的意義. 的底數(shù)是-5，表示4個(gè)-5相乘，即，而表示. （2）錯(cuò)在最后結(jié)果沒有加上括號(hào).實(shí)際上與的意義是不同的，表示，而表示. 正解：（1）； （2）. 二、例2計(jì)算：（1）；（2）. 錯(cuò)解：（1）；（2）. 錯(cuò)解分析：錯(cuò)解（1）（2）的原因都是沒有真正理解乘方的意義，把指數(shù)與底數(shù)相乘了.實(shí)際上，表示2 008個(gè)-1相乘，表示3個(gè)-2相乘. 正解：（1）；（2）. 三、例3計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）. 錯(cuò)解：（1）；（2）；（3）；（4）. 錯(cuò)解分析：以上錯(cuò)誤都是由于沒有按照正確的運(yùn)算順序進(jìn)行運(yùn)算造成的.有理數(shù)的運(yùn)算應(yīng)先算乘方，再算乘除，最后算加減. 正解：（1）；（2）；（3）； （4）. 四、例4計(jì)算：. 錯(cuò)解： . 錯(cuò)解分析：錯(cuò)解中出現(xiàn)了以下錯(cuò)誤：實(shí)際上， 正解： 科學(xué)記數(shù)法、近似數(shù)和有效數(shù)字的失誤點(diǎn)示例. 一、將一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤 例1.生物學(xué)家發(fā)現(xiàn)一種病毒的長度約為0.000 043mm.用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)的結(jié)果為（ ）A. B. C. D. 錯(cuò)解：選A或選D. 錯(cuò)解分析：小于1的很小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法來表示成時(shí)，的范圍仍是.n的值等于從左到右第一個(gè)不是零的數(shù)字前所有零的個(gè)數(shù),正確答案應(yīng)該選B. 二、與近似數(shù)有關(guān)的錯(cuò)誤 1.近似數(shù)精確度的確定 例2.精確到 位. 錯(cuò)解：精確到百分位. 錯(cuò)解分析：這種應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)在確定其精確到哪一位時(shí), 應(yīng)看其最后一位有效數(shù)字在原數(shù)中的位置.由，知原數(shù)中6在十位上，故精確到十位.錯(cuò)誤的原因主要是忽略了所表示的數(shù)位, 其實(shí), 表示的是千位, 所以整數(shù)2在千位上, 8在百位上, 6在十位上. 2.近似數(shù)的取舍 例3.用四舍五入法求精確到千分位的近似數(shù). 錯(cuò)解：. 錯(cuò)解分析： 錯(cuò)誤的原因是兩次使用四舍五入法求近似數(shù), 即將先四舍五入得, 精確到萬分位, 然后再四舍五入得0.852 , 精確到千分位，實(shí)際上正確結(jié)果應(yīng)為0.851. 四、科學(xué)記數(shù)法ɑ×10n中ɑ和n值的確定 例4 據(jù)統(tǒng)計(jì)，全球每分鐘約有8 480 000 t污水排入江河湖海，將這個(gè)排污量用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)是 t． 錯(cuò)解：8 480 000 t=848×104t． 錯(cuò)解分析：848×104不符合科學(xué)記數(shù)法的表示形式，即ɑ必須滿足1≤ɑ＜10這一條件． 正解：8 480 000 t=8.48×106 t． 點(diǎn)撥：解答這道題的關(guān)鍵在于正確確定科學(xué)記數(shù)法ɑ×10n中ɑ和n的值．ɑ是整數(shù)位數(shù)只有1位的數(shù)，而n的確定方法為n=原數(shù)的整數(shù)位數(shù)－1. 14