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第二篇 一元函數(shù)微積分 第二章 導數(shù)與微分 微積分學包含微分學和積分學兩部分，而導數(shù)和微分是微分學的核心概念．導數(shù)反映了函數(shù)相對于自變量的變化的快慢程度，微分則指明了當自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化了多少，即函數(shù)的局部改變量的估值．本章主要討論導數(shù)和微分的概念、性質(zhì)以及計算方法和簡單應(yīng)用． 第1節(jié) 導數(shù)的概念 1.1 導數(shù)概念的引入 1.1.1 質(zhì)點做變速直線運動的瞬時速度問題 現(xiàn)有一質(zhì)點做變速直線運動，質(zhì)點的運動路程與運動時間的函數(shù)關(guān)系式記為，求在時刻時質(zhì)點的瞬時速度為多少？ 整體來說速度是變化的，但局部來說速度可以近似看成是不變的．設(shè)質(zhì)點從時刻改變到時刻，在時間增量內(nèi)，質(zhì)點經(jīng)過的路程為，在時間內(nèi)的平均速度為 ， 當時間增量越小時，平均速度越接近于時刻的瞬時速度，于是當時，的極限就是質(zhì)點在時刻時的瞬時速度，即 ． 1.1.2 平面曲線的切線斜率問題 已知曲線，求曲線上點處的切線斜率． 欲求曲線上點的切線斜率，由切線為割線的極限位置，容易想到切線的斜率應(yīng)是割線斜率的極限． 圖2-1 如圖2-1所示，取曲線上另外一點，則割線的斜率為 ． 當點沿曲線趨于時，即當時，的極限位置就是曲線在點的切線，此時割線的傾斜角趨于切線的傾斜角，故切線的斜率為 ． 前面我們討論了瞬時速度和切線斜率兩個問題，雖然實際意義不同，但如果舍棄其實際背景，從數(shù)學角度看，卻有著相同的數(shù)學形式，即當自變量的改變量趨于零時，求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限．在自然科學、社會科學和經(jīng)濟領(lǐng)域中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為上述極限形式進行研究，如電流強度、人口增長速度、國內(nèi)生產(chǎn)總值的增長率、邊際成本和邊際利潤等．因此，我們舍棄這些問題的實際意義，抽象出它們數(shù)量關(guān)系上的共同本質(zhì)——導數(shù)． 1.2 導數(shù)的概念 1.2.1 函數(shù)在一點處的導數(shù) 定義1 設(shè)函數(shù)在點的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，自變量在處取得增量，且時，函數(shù)取得相應(yīng)的增量，如果極限 存在，那么稱函數(shù)在點可導，并稱此極限值為函數(shù)在點的導數(shù)，記作，即 ． 注：（1）由導數(shù)的定義可得與其等價的定義形式 ； ． （2）若極限不存在，則稱函數(shù)在點不可導．特別地，若，也可稱函數(shù)在點的導數(shù)為無窮大，此時在點的切線存在，它是垂直于軸的直線． 例1 設(shè)，求． 解 根據(jù)導數(shù)的等價定義，可得 ． 例2 設(shè)，求下列極限： （1）； （2）． 解 （1）． （2） ． 1.2.2 單側(cè)導數(shù) 導數(shù)是由函數(shù)的極限來定義的，因為極限存在左、右極限，所以導數(shù)也存在左、右導數(shù)的定義． 定義2 （1）設(shè)函數(shù)在點的某左鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點左側(cè)取得增量時，如果極限或存在，則稱此極限值為在點的左導數(shù)，記為，即 ． （2）設(shè)函數(shù)在點的某右鄰域內(nèi)有定義，當自變量在點右側(cè)取得增量時，如果極限或存在，則稱此極限值為在點的右導數(shù)，記為，即 ． 由極限存在的充要條件可得函數(shù)在點可導的充要條件如下： 定理1 函數(shù)在點可導和存在且相等． 例3 研究函數(shù)在點的可導性． 解 因為，所以 ， ， 從而，因此在點不可導． 1.2.3 導函數(shù) 定義3 （1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點均可導，則稱在區(qū)間內(nèi)可導； （2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導，在區(qū)間左端點的右導數(shù)和區(qū)間右端點的左導數(shù)均存在，則稱在閉區(qū)間上可導． 定義4 若函數(shù)在區(qū)間（可以是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間）上可導，且對于任意的，都對應(yīng)著一個導數(shù)值，其是自變量的新函數(shù)，則稱為在區(qū)間上的導函數(shù)，記作，即 或． 注：（1）在導函數(shù)的定義式中，雖然可以取區(qū)間上的任意值，但在求極限的過程中，是常數(shù)，和是變量． （2）導函數(shù)也簡稱為導數(shù)，只要沒有指明是特定點的導數(shù)時所說的導數(shù)都是指導函數(shù)．顯然函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在點處的函數(shù)值，即． 下面利用導數(shù)的定義求一些簡單函數(shù)的導數(shù)． 例4 求常值函數(shù)（為常數(shù)）的導數(shù)． 解 ． 即得常值函數(shù)的導數(shù)公式： ． 例5求正弦函數(shù)的導數(shù)． 解 ． 即得正弦函數(shù)的導數(shù)公式： ． 類似可得余弦函數(shù)的導數(shù)公式： ． 例6求指數(shù)函數(shù)的導數(shù)． 解 ． 由于當時，，所以 ． 即得指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式： ． 特別地， ． 例7 求對數(shù)函數(shù)的導數(shù)． 解 ． 即得對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式： ． 特別地， ． 例8 求冪函數(shù)的導數(shù)． 解 ， 因為當時，，從而，故 ． 即得冪函數(shù)的導數(shù)公式： ． 1.3 導數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點可導時，導數(shù)在幾何上表示曲線在點處的切線斜率（圖2-1）． 由此可得，曲線在處的切線方程為 ． 若，可得切線的傾斜角為或，此時切線方程為． 當時，曲線在處的法線方程為 ． 若，則法線方程為． 例9 求函數(shù)在點處的切線的斜率，并寫出在該點的切線方程和法線方程． 解 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，函數(shù)在點處的切線的斜率為 ． 從而所求的切線方程為 ， 即 ． 所求法線的斜率為 ， 從而所求的法線的方程為 ， 即 ． 1.4 函數(shù)可導性與連續(xù)性的關(guān)系 定理2 如果函數(shù)在點處可導，那么在點處連續(xù)． 證明 因為在點處可導，即 ， 其中，所以 ． 根據(jù)連續(xù)的定義可知在點處連續(xù)． 注：（1）定理2的逆命題不成立，即連續(xù)函數(shù)未必可導． （2）如果函數(shù)在某一點不連續(xù)，那么函數(shù)在該點一定不可導． 例10 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導性． 解 因為 ， 所以在點處連續(xù)． 又因為 不存在，所以在點處不可導． 例11 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性與可導性． 解 因為 ， 所以在點處不連續(xù)，從而在點處不可導． 例12 設(shè)函數(shù)在點處可導，求． 解 由于在點處可導，所以在點處必連續(xù)，即 ． 因為 ， ， ， 所以可得． 又因為 ， ． 要使在點處可導，則應(yīng)有，即．所以，如果在點處可導，則有． 習題2-1 1. 已知物體的運動規(guī)律為，求： （1）物體在到這一時間段的平均速度； （2）物體在時的瞬時速度． 2. 設(shè)，按定義求. 3. 設(shè)存在，指出下列極限各表示什么？ （1）； （2）； （3）（設(shè)且存在）. 4. 設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，且，求. 5. 已知函數(shù)，求和，判定是否存在？ 6. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 7. 試討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性. 8. 設(shè)函數(shù)在處可導，求的值. 第2節(jié) 函數(shù)的求導法則 在上一節(jié)中，利用導數(shù)的定義求得了一些基本初等函數(shù)的導數(shù)．但對于一些復雜的函數(shù)，利用導數(shù)定義去求解，難度比較大．因此本節(jié)將介紹幾種常用的求導法則，利用這些法則和基本求導公式就能比較簡單地求一般初等函數(shù)的導數(shù)． 2.1 導數(shù)的四則運算法則 定理1 如果函數(shù)和都在點處可導，那么它們的和、差、積、商（分母不為零）都在點處可導，且 （1）． （2）． 特別地， （為常數(shù)）． （3）． 特別地， ． 證明 （1） ． （2） ， 由于在點處可導，從而其在點處連續(xù)，故 ． （3）先考慮特殊情況．當時， ， 由于在點處可導，從而其在點處連續(xù)，故 ． 因此，函數(shù)在點處可導，且．于是 ． 注：（1）法則（1）可以推廣到有限個可導函數(shù)的和與差的求導．如 ． （2）法則（2）可以推廣到有限個可導函數(shù)的積的求導．如 ． 例1 設(shè)，求． 解 ． 例2 設(shè)，求． 解 ． 例3 設(shè)，求． 解 ． 例4 設(shè)，求． 解 ． 例5 設(shè)，求． 解 ． 即得正切函數(shù)的導數(shù)公式： ． 類似可得余切函數(shù)的導數(shù)公式： ． 例6 設(shè)，求． 解 ． 即得正割函數(shù)的導數(shù)公式： ． 類似可得余割函數(shù)的導數(shù)公式： ． 2.2 反函數(shù)的求導法則 定理2 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導，且 或 ． 換句話說，即反函數(shù)的導數(shù)等于原函數(shù)的導數(shù)的倒數(shù)． 證明 由于在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導（必連續(xù)），從而可知的反函數(shù)存在，且在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)、連續(xù)． 取，給以增量，由的單調(diào)性可知 ， 于是有 ， 由于連續(xù)，所以 ， 從而 ． 例7 設(shè)，求． 解 因為的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導，且．又因為在內(nèi)有，所以在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 ． 即得到反正弦函數(shù)的導數(shù)公式： ． 類似可得反余弦函數(shù)的導數(shù)公式： ． 例8 設(shè)，求． 解 因為的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導，且，所以在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)有 ． 即得反正切函數(shù)的導數(shù)公式： ． 類似可得反余切函數(shù)的導數(shù)公式： ． 2.3 復合函數(shù)的求導法則 定理3 如果函數(shù)在點可導，函數(shù)在相應(yīng)點可導，那么復合函數(shù)在點可導，且其導數(shù)為 或 ． 證明 因為在點可導，所以 存在，于是根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系可得 ， 其中是時的無窮小．由于上式中，在其兩邊同乘，可得 ， 用除上式兩邊，可得 ， 于是 ． 根據(jù)函數(shù)在某點可導必在該點連續(xù)可知，當時，，從而可得 ． 又因為在點可導，所以 ， 故 ． 如果，規(guī)定，那么，此時仍成立，從而仍有 ． 注：（1）表示復合函數(shù)對自變量求導，而則表示函數(shù)對中間變量求導． （2）定理的結(jié)論可以推廣到有限個函數(shù)構(gòu)成的復合函數(shù)．例如，設(shè)可導函數(shù)構(gòu)成復合函數(shù)，則 ． 例9 設(shè)，求． 解 因為由復合而成，所以 ． 例10 設(shè)，求． 解 因為由復合而成，所以 ． 從以上例子可以直觀的看出，對復合函數(shù)求導時，是從外層向內(nèi)層逐層求導，故形象地稱其為鏈式法則．當對復合函數(shù)求導過程較熟練后，可以不用寫出中間變量，而把中間變量看成一個整體，然后逐層求導即可． 例11 設(shè)，求． 解 ． 例12 設(shè)，求． 解 ． 例13 設(shè)（為常數(shù)），求． 解 ． 例14 設(shè)，求． 解 因為 ， 所以，當時， ； 當時， ． 綜上可得 ． 例15 設(shè)可導，求的導數(shù)． 解 ． 2.4 高階導數(shù) 變速直線運動的質(zhì)點的路程函數(shù)為，則速度 ， 加速度 ， 從而 ． 這種導數(shù)的導數(shù)稱為二階導數(shù)，依次類推就產(chǎn)生了高階導數(shù)的概念．一般地，可給出如下定義： 定義1 若函數(shù)的導數(shù)在點可導，則稱在點的導數(shù)為函數(shù)在點的二階導數(shù)，記作 ， 即 ． 這時也稱在點二階可導． 若函數(shù)在區(qū)間上每一點都二階可導，則稱它在區(qū)間上二階可導，并稱為在區(qū)間上的二階導函數(shù)，簡稱為二階導數(shù)． 如果函數(shù)的二階導數(shù)仍可導，那么可定義三階導數(shù)： ， 記作 ． 以此類推，如果函數(shù)的階導數(shù)仍可導，那么可定義階導數(shù)： ， 記作 ． 習慣上，稱為的一階導數(shù)，二階及二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)．有時也把函數(shù)本身稱為的零階導數(shù)，即． 注：由高階導數(shù)的定義可知，求高階導數(shù)就是多次接連地求導數(shù)，所以前面學到的求導方法對于計算高階導數(shù)同樣適用． 定理4 如果函數(shù)和都在點處具有階導數(shù)，那么 （1）． （2），其中． 特別地，（為常數(shù)）． 定理4中的（2）式稱為萊布尼茲（Leibniz）公式． 例16 設(shè)，求． 解 ，，，． 一般地，設(shè)，則． 例17 設(shè)，求． 解 ，，，，…， 由歸納法可得 ． 特別地，當時，． 例18 設(shè)，求． 解 ， ， ， ， ，…， 由歸納法可得 ． 類似地，可得 ． 例19 設(shè)，求． 解 ，，，，…， 由歸納法可得 ． 例20 設(shè)（為任意常數(shù)），求． 解 ，，， ，…， 由歸納法可得 ． 特別地，當時，可得 ． 而 ． 例21 設(shè)，求． 解 ． 例22 設(shè)，求． 解 設(shè)，則 ， ． 由萊布尼茲公式，可得 ． 2.5 導數(shù)公式與基本求導法則 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、導數(shù)的四則運算法則、反函數(shù)的求導法則及復合函數(shù)的求導法則等在初等函數(shù)的求導運算中起著重要的作用．為了便于查閱，現(xiàn)在把這些導數(shù)公式和求導法則歸納如下： 2.5.1 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 （1）（為常數(shù)）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 2.5.2 導數(shù)的四則運算法則 設(shè)函數(shù)和都可導，則 （1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）； （5）． 2.5.3 反函數(shù)的求導法則 如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導且，那么它的反函數(shù)在區(qū)間內(nèi)也可導，且 或 ． 2.5.4 復合函數(shù)的求導法則 如果函數(shù)在點可導，函數(shù)在相應(yīng)點可導，那么復合函數(shù)在點可導，且其導數(shù)為 或 ． 2.5.5 高階導數(shù)的運算法則 如果函數(shù)和都在點處具有階導數(shù)，那么 （1）． （2），其中． 特別地，（為常數(shù)）． 習題2-2 1. 求下列函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）. 2. 求曲線上橫坐標為的點處的切線方程和法線方程. 3. 求下列函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）. 4. 設(shè)為可導函數(shù)，求下列函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 5. 求下列函數(shù)的二階導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 6. 求下列函數(shù)所指定階的導數(shù). （1），求； （2），求. 第3節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 3.1 隱函數(shù)的導數(shù) 以解析式的形式確定的函數(shù)稱為顯函數(shù)．例如 ，． 以二元方程的形式確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)．例如 ，． 把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)，稱為隱函數(shù)的顯化．例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)．但隱函數(shù)的顯化有時候是困難的，甚至是不可能的．例如方程所確定的隱函數(shù)就難以化成顯函數(shù)． 但在很多情況下，需要計算隱函數(shù)的導數(shù)，因此，我們希望找到一種方法，不論隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導數(shù)． 隱函數(shù)求導的基本思想是：把方程中的看成自變量的函數(shù)，結(jié)合復合函數(shù)求導法，在方程兩端同時對求導數(shù)，然后整理變形解出即可．的結(jié)果中可同時含有和．若將看成自變量，同理可求出． 例1 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)． 解 方程兩端對求導，得 ， 從而 ． 例2 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)． 解 方程兩端對求導，得 ， 從而 ． 例3 求橢圓曲線上點處的切線方程和法線方程． 解 方程兩端對求導，得，故．從而，切線斜率和法線斜率分別為 ，． 所求切線方程為 ， 即 ． 法線方程為 ， 即 ． 例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)． 解 方程兩端對求導，得 ， 從而 ． 上式兩端再對求導，得 ． 3.2 對數(shù)求導法 對于以下兩類函數(shù)： （1）冪指函數(shù)，即形如的函數(shù)． （2）函數(shù)表達式是由多個因式的積、商、冪構(gòu)成的． 要求它們的導數(shù)，可以先對函數(shù)式兩邊取自然對數(shù)，利用對數(shù)的運算性質(zhì)對函數(shù)式進行化簡，然后利用隱函數(shù)求導法求導，這種方法稱為對數(shù)求導法． 例5 設(shè)，求． 解 函數(shù)兩端取自然對數(shù)，得 ， 兩端分別對求導，得 ， 所以 ． 例6 設(shè)，求． 解 先在函數(shù)兩端取絕對值后再取自然對數(shù)，得 ， 兩端分別對求導，得 ， 即 ． 容易驗證，例6中的解法，若省略取絕對值這一步所得的結(jié)果是相同的，因此，在使用對數(shù)求導法時，常省略取絕對值的步驟． 3.3 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 一般地，若參數(shù)方程 確定了與之間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)． 定理1 設(shè)參數(shù)方程，其中均可導，且函數(shù)嚴格單調(diào)，，則有 或 ． 證明 因為函數(shù)嚴格單調(diào)，所以其存在反函數(shù)．又因為可導且，故也可導，且有．對于復合函數(shù)求導，可得 ． 如果還是二階可導的，那么由定理1可得到函數(shù)的二階導數(shù)公式： ， 即 ． 例7 設(shè)，求． 解 因為 所以 ． 例8 求星形線在的相應(yīng)點處的切線方程和法線方程（圖2-2）． 圖2-2 解 由可得 ， 星形線在點處的切線斜率和法線斜率分別為 ，． 從而，所求切線方程為 ， 即 ． 所求法線方程為 ， 即 ． 例9 設(shè)，求． 解 （方法一）因為 ， 所以 ． （方法二）由于，代入公式可得 ． 3.4 由極坐標方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 研究函數(shù)與的關(guān)系通常是在直角坐標系下進行的，但在某些情況下，使用極坐標系則顯得比直角坐標系更簡單． 如圖2-3所示，從平面上一固定點，引一條帶有長度單位的射線，這樣在該平面內(nèi)建立了極坐標系，稱為極點，為極軸．設(shè)為平面內(nèi)一點，線段的長度稱為極徑，記為，極軸到線段的轉(zhuǎn)角（逆時針）稱為極角，記為，稱有序數(shù)組為點的極坐標． 圖2-3 若一平面曲線上所有點的極坐標都滿足方程，且坐標滿足方程的所有點都在平面曲線上，則稱為曲線的極坐標方程． 將極軸與直角坐標系的正半軸重合，極點與坐標原點重合，若設(shè)點的直角坐標為，極坐標為，則兩者有如下關(guān)系： 或． 設(shè)曲線的極坐標方程為，利用直角坐標與極坐標的關(guān)系可得曲線的參數(shù)方程為 ， 其中為參數(shù)．由參數(shù)方程的求導公式，可得 ． 例10 求心形線在處的切線方程（圖2-4）． 圖2-4 解 由極坐標的求導公式得 ． 當時， ，， ， 所以，所求切線方程為 ， 即 ． 習題2-3 1. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 2. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 3. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù). （1）； （2）. 4. 利用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 5. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的指定階的導數(shù). （1），求； （2），求； （3），求； （4），求. 6. 求四葉玫瑰線（為常數(shù)）在對應(yīng)點處的切線方程. 第4節(jié) 函數(shù)的微分 4.1 微分的概念 在許多實際問題中，要求研究當自變量發(fā)生微小改變時所引起的相應(yīng)的函數(shù)值的改變． 例如，一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長由變到（圖2-5），問此薄片的面積改變了多少？當很微小時，正方形的面積改變的近似值是多少？ 圖2-5 設(shè)此正方形的邊長為，面積為，則與存在函數(shù)關(guān)系．當邊長由變到，正方形金屬薄片的面積改變量為 從上式可以看出，分為兩部分，第一部分是的線性函數(shù)，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，第二部分是圖中右上角的小正方形的面積，當時，第二部分是比高階的無窮小量，即．因此，當很微小時，我們用近似地表示，即．故是正方形的面積改變的近似值． 定義1 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量 可表示為 ， 其中是不依賴于的常數(shù)，那么稱函數(shù)在點是可微的，而叫做函數(shù)在點相應(yīng)于自變量增量的微分，記為 或． 4.2 微分與導數(shù)的關(guān)系 定理1 函數(shù)在點可微的充要條件是函數(shù)在點可導，且當在點可微時，其微分一定是． 證明 （必要性）設(shè)函數(shù)在點可微，即，其中是不依賴于的常數(shù)．上式兩邊用除之，得 ， 當時，對上式兩邊取極限就得到 ． 即．因此，若函數(shù)在點可微，則在點一定可導，且． （充分性）函數(shù)在點可導，即 存在，根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系，上式可寫成 ， 其中（當時），從而 ， 其中是與無關(guān)的常數(shù)，比是高階無窮小，所以在點也是可微的． 根據(jù)微分的定義和定理1可得以下結(jié)論： （1）函數(shù)在點處的微分就是當自變量產(chǎn)生增量時，函數(shù)的增量的主要部分（此時）．由于是的線性函數(shù)，故稱微分是的線性主部．當很微小時，更加微小，從而有近似等式． （2）函數(shù)的可導性與可微性是等價的，故求導法又稱微分法．但導數(shù)與微分是兩個不同的概念，導數(shù)是函數(shù)在處的變化率，其值只與有關(guān)；而微分是函數(shù)在處增量的線性主部，其值既與有關(guān)，也與有關(guān)． 定義2 函數(shù)在任意點處的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即． 通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即．因此，函數(shù)的微分可以寫成 或． 從而有 或． 因此，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)．所以，導數(shù)又稱微商． 例1 設(shè)函數(shù)，（1）求；（2）若，求和． 解 （1）由微分的定義可得 ． （2）將代入（1）的結(jié)果，可得 ； ． 4.3 微分的幾何意義 在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖形是一條曲線，對于曲線上某一確定的點，當自變量有微小增量時，就得到曲線上另一點（圖2-6）．過點作曲線的切線，它的傾斜角為，則有 ， . 圖2-6 由此可見，對于可微函數(shù)，當是曲線上的點的縱坐標的增量時，微分就是曲線在點的切線的縱坐標的相應(yīng)增量．當很小時，比小得多，因此在點的鄰近，可以用近似代替，進而可以用切線段來近似代替曲線段． 4.4 微分公式與微分運算法則 由函數(shù)的微分表達式可得，只要先計算出函數(shù)的導數(shù)，再乘以自變量的微分就可以計算出函數(shù)的微分．因此可得如下的微分公式和微分運算法則． 4.4.1 基本初等函數(shù)的微分公式 （1）（為常數(shù)）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）． 4.4.2 微分的運算法則 設(shè)函數(shù)和都可導，則 （1）； （2）； （3）（為常數(shù)）； （4）． 4.4.3 復合函數(shù)的微分法則 設(shè)均可導，則復合函數(shù)的微分為 ． 由此可見，無論是自變量還是中間變量，微分形式保持不變．這一性質(zhì)稱為微分形式不變性． 例2 設(shè)，求． 解 （方法一）令，，則利用微分形式不變性，可得 ． （方法二）若不引入中間變量，則 ． 4.4.4 隱函數(shù)的微分 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的微分． 解 對方程兩邊分別求微分，有 ， 即 ， ， 從而，可得 ． 4.5 微分在近似計算中的應(yīng)用 根據(jù)前面的討論可知，如果函數(shù)在點處的導數(shù)，且很小時，那么有 ， （2-4-1） 公式（2-4-1）可以改寫為 ， （2-4-2） 或 ． （2-4-3） 在（2-4-3）式中令，即，則可得 ． （2-4-4） 如果和都容易計算，則可以利用（2-4-1）式來近似計算，利用（2-4-3）式來近似計算，以及利用（2-4-4）式來近似計算． 若在（2-4-4）式中令，則有 ． （2-4-5） 從而，當很小時，可用（2-4-5）式推得以下幾個常用的近似公式 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 例4 一個內(nèi)直徑為的球殼體，球殼的厚度為，問球殼體的體積的近似值為多少？ 解 半徑為的球體體積為 ． 由于，故就是球殼體的體積．用作為其近似值，則 ． 所以球殼體的體積的近似值為． 例5 計算的近似值． 解 設(shè)，則．取，則 ． 例6 計算的近似值． 解 由于，而，其值較小，故利用近似公式，可得 ． 習題2-4 1.已知函數(shù)，計算在處，當時的和. 2. 求下列函數(shù)的微分. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 3. 求由方程所確定的函數(shù)的微分. 4. 利用微分計算下列近似值. （1）； （2）. 5．設(shè)扇形的圓心角，半徑．如果不變，減少，問扇形面積大約改變了多少？又如果不變，增加，問扇形面積大約改變了多少？ 6．有一批半徑為的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，銅的厚度定為，估計一下每只球需用銅多少（銅的密度為）？ 第5節(jié) 導數(shù)的應(yīng)用 由于導數(shù)就是函數(shù)的變化率，所以現(xiàn)實生活中很多涉及變化率的問題，都可以轉(zhuǎn)化為對導數(shù)的計算問題．因此導數(shù)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用是非常廣泛的． 5.1 相關(guān)變化率 定義1 若及為可導函數(shù)，且函數(shù)由，確定，則變化率與稱為相關(guān)變化率． 相關(guān)變化率問題就是研究這兩個變化率之間的關(guān)系，以便從其中一個變化率求出另一個變化率． 例1 一氣球從離開觀察員500 m處離地面鉛直上升，其速度為，當氣球高度為500 m時，觀察員視線的仰角增加率是多少？ 解 設(shè)氣球上升分鐘后其高度為，觀察員視線的仰角為，則 ． 上式兩邊對求導，可得 ． 當時，，即．又因為，所以 ． 即此時觀察員視線的仰角增加率是． 例2 平靜的水面由于石頭的落入而產(chǎn)生同心波紋，如果最外一圈波紋半徑的增大率總是，問在末水面擾動面積的增大率是多少？ 解 設(shè)時最外一圈波紋半徑為，此時水面擾動面積為，則 ． 上式兩邊對求導，可得 ． 當時，．又因為，所以， ． 即在末水面擾動面積的增大率是 5.2 經(jīng)濟學上的應(yīng)用 5.2.1 邊際與邊際分析 在經(jīng)濟學中，邊際概念是與導數(shù)密切相關(guān)的一個經(jīng)濟學概念，它反映的是一種經(jīng)濟變量相對于另一種經(jīng)濟變量的變化率． 定義2 設(shè)函數(shù)在可導，則稱導函數(shù)為的邊際函數(shù)．稱為邊際函數(shù)在處的邊際函數(shù)值． 下面介紹經(jīng)濟分析中幾個常用的邊際函數(shù)： 1. 邊際成本 定義3 總成本函數(shù)的導數(shù)稱為邊際成本． 邊際成本表示當已生產(chǎn)了個單位產(chǎn)品時，再增加一個單位產(chǎn)品使總成本增加的數(shù)量． 例3 設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位的總成本為，試求當時的總成本及邊際成本，并解釋邊際成本的經(jīng)濟意義． 解 由，可得邊際成本函數(shù)為 ． 當時，總成本為，邊際成本為． 經(jīng)濟意義：當產(chǎn)量為10個單位時，再增加一個單位產(chǎn)量，總成本需再增加5個單位． 2. 邊際收益 定義4 總收益函數(shù)的導數(shù)稱為邊際收益． 邊際收益表示銷售個單位產(chǎn)品后，再多銷售一個單位產(chǎn)品時所增加的總收益． 例4 某產(chǎn)品的價格與銷售量的關(guān)系為，求時的總收益及邊際收益，并解釋邊際收益的經(jīng)濟意義． 解 總收益函數(shù)為 ， 邊際收益函數(shù)為 ． 當時，總收益為，邊際收益為． 經(jīng)濟意義：當銷售量為30個單位時，再多銷售一個單位產(chǎn)品，總收益將減少2個單位（或者說，再少銷售一個單位產(chǎn)品，總收益將少損失2個單位）． 3. 邊際利潤 定義5 總利潤函數(shù)的導數(shù)稱為邊際利潤． 邊際利潤表示若已經(jīng)生產(chǎn)了個單位的產(chǎn)品，再多生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品時所增加的總利潤． 例5 某煤炭公司每天生產(chǎn)煤噸的總成本函數(shù)為 ， 如果每噸煤的銷售價為490元，求 （1）邊際成本； （2）總利潤函數(shù)以及邊際利潤； （3）當噸時的邊際利潤，并解釋其經(jīng)濟意義． 解 （1）由，可得邊際成本為 ． （2）因為總收入函數(shù)為，所以總利潤函數(shù)為 ， 故邊際利潤為 ． （3）當噸時，邊際利潤為． 經(jīng)濟意義：當每天煤的產(chǎn)量在1000噸的基礎(chǔ)上再增加一噸時，總利潤沒有增加． 5.2.2 彈性與彈性分析 彈性概念是經(jīng)濟學中的另一個重要概念，它是用來定量地描述一個經(jīng)濟變量對另一個經(jīng)濟變量變化的反應(yīng)程度． 定義6 設(shè)函數(shù)在點處可導，函數(shù)的相對改變量與自變量的相對改變量之比稱為函數(shù)在與兩點間的彈性，或兩點間的相對變化率． 當時，的極限 稱為函數(shù)在點處的彈性或相對變化率，記為或． 對于一般的，如果可導，且，則有 ， 它是的函數(shù)，稱之為的彈性函數(shù)，簡稱彈性． 注：表示在點處，當改變時，函數(shù)改變． 下面介紹經(jīng)濟分析中常見的彈性函數(shù)： 1. 需求的價格彈性 定義7 設(shè)某商品的需求函數(shù)（表示商品價格，表示需求量）在點處可導，，由于一般情形下單調(diào)減少，和符號相反，且為正數(shù)，故和均為非正數(shù)，為了用正數(shù)表示彈性，我們稱 為該商品在和兩點間的需求的價格彈性．稱 為該商品在點處的需求的價格彈性函數(shù)，簡稱為需求彈性． 根據(jù)需求彈性的大小，可分為下面三種情況： （1）當時，稱需求富有彈性，此時需求變動的幅度大于價格變動的幅度，價格變動對需求量的影響較大． （2）當時，稱需求有單位彈性，此時需求變動的幅度等于價格變動的幅度． （3）當時，稱需求缺乏彈性，此時需求變動的幅度小于價格變動的幅度，價格變動對需求量的影響不大． 例6 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1），并解釋其經(jīng)濟意義； （2）需求彈性函數(shù)； （3）時的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟意義． 解 （1）當時，有．當時，有，從而 ， 故 ． 其經(jīng)濟意義：當商品價格從30降到25時，在該區(qū)間內(nèi)，價格從30每降低1%，需求量從40平均增加1.2%． （2）因為，所以需求彈性函數(shù) ． （3）時的需求彈性為． 其經(jīng)濟意義：當時，價格每上漲（下跌）1%，需求量則減少（增加）1%． 2. 供給的價格彈性 定義8 設(shè)某商品的供給函數(shù)（表示商品價格，表示供給量）在點處可導，，則稱 為該商品在和兩點間的供給彈性．稱 為該商品在點處的供給的價格彈性函數(shù)，簡稱為供給彈性． 注：由于供給函數(shù)一般為價格的遞增函數(shù)，故當價格上漲時，供給量相應(yīng)增加；當價格下跌時，供給量相應(yīng)減少． 例7 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求： （1）供給彈性函數(shù)； （2）當時的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟意義． 解 （1）因為，所以供給彈性函數(shù)為 ． （2）時的供給彈性為． 其經(jīng)濟意義：當時，價格再上漲（下跌）1%，供應(yīng)量將增加（減少）6%． 3. 收益的價格彈性 定義9 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導函數(shù)（表示商品價格，表示需求量），則收益關(guān)于價格的函數(shù)為，稱 為該商品在點處的收益的價格彈性函數(shù)，簡稱為收益彈性． 例8 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1）該商品的收益彈性函數(shù)； （2）時的收益彈性，并解釋其經(jīng)濟意義． 解 （1）商品的收益函數(shù)為，從而收益彈性函數(shù)為 ． （2）時的收益彈性為． 其經(jīng)濟意義：當時，價格再上漲（下跌）1%，總收益將減少（增加）0.5%． 習題2-5 1. 氣球充氣時，其半徑以的速度增大，假設(shè)在充氣過程中氣球始終保持球形，求時氣球體積的變化率. 2. 注水入深上頂直徑的正圓錐形容器中，其速率為，當水深為時，其表面上升的速率為多少？ 3. 已知某商品的成本函數(shù)為，求當時的總成本及邊際成本. 4. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其中為價格，為銷售量，求銷售量為15個單位時的總收益和邊際收益. 5. 已知某商品的需求函數(shù)為，求： （1），并解釋其經(jīng)濟意義； （2）需求彈性函數(shù)； （3）、和，并解釋其經(jīng)濟意義． 6. 設(shè)某商品的供給函數(shù)為，求： （1）供給彈性函數(shù)； （2）當時的供給彈性，并解釋其經(jīng)濟意義． 7. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為可導函數(shù)（表示商品價格，表示需求量），收益函數(shù)為，證明 ． 8. 已知某公司生產(chǎn)經(jīng)營的某種電器的需求彈性在之間，如果該公司計劃在下一年度內(nèi)將價格降低，試求這種電器的銷售量將會增加多少？總收益將會增加多少？ 第6節(jié) MATLAB軟件應(yīng)用 MATLAB符號工具箱中提供的函數(shù)diff可以求取一般函數(shù)的導數(shù)及高階導數(shù)，也可求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù)． 函數(shù)diff的調(diào)用格式如下： D= diff(fun,x,n) 參數(shù)說明：D是求得的導數(shù)， fun是函數(shù)的符號表達式，x是符號變量，n是求導階數(shù)，若n缺省，其默認值為1． 在MATLAB中還可以使用函數(shù)subs來計算函數(shù)在某一點的導數(shù)值． 函數(shù)subs的調(diào)用格式如下： Z=subs(fun,old,new) 參數(shù)說明：fun 是函數(shù)的符號表達式，old是符號變量，Z是在函數(shù)fun中用變量new替換old后所求得的導數(shù)值． 例1 求的導數(shù). 解 輸入命令： syms a x; daoshu=diff(log(x+sqrt(a^2+x^2)), 'x' ); daoshu=simplify(daoshu) % 使輸出的結(jié)果簡單化 輸出結(jié)果： daoshu=1/(a^2+x^2)^(1/2) 例2 求的5階導數(shù). 解 輸入命令： syms x; daoshu5=diff(exp(2*x),x,5) 輸出結(jié)果： daoshu5=32*exp(2*x) 例3 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù). 解 輸入命令： syms x y; z=exp(y)+x*y-exp(1); dydx=-diff(z,x)/diff(z,y) 輸出結(jié)果： dydx=-y/(x+exp(y)) 例4 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù). 解 輸入命令： syms t x=exp(t)*cos(t); y=exp(t)*sin(t); daoshu=diff(y,t)/diff(x,t); daoshu=simplify(daoshu) 輸出結(jié)果： daoshu=(cos(t)+sin(t))/(cos(t)-sin(t)) 例5 求的微分. 解 輸入命令： syms x; y=cos(3*x+2); dy=[char(diff(y)),'dx'] 輸出結(jié)果： dy=-3*sin(3*x+2)dx 例6 求函數(shù)在處的導數(shù)值. 解 輸入命令： syms x f=x^3+4*sin(x); dfdx=diff(f,x); f_pi=subs(dfdx,x,pi) 輸出結(jié)果： f_pi=3*pi^2-4 總習題2 （A） 1. 一物體的運動方程為，求下列各值： （1）物體在到這段時間的平均速度； （2）物體在時的速度. 2. 已知函數(shù)，，求. 3. 討論下列函數(shù)在點的連續(xù)性和可導性. （1）； （2）. 4. 設(shè)在點處可導，求的值. 5. 求曲線在點處的切線方程和法線方程. 6. 求下列函數(shù)的導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）； （19）； （20）. 7. 求下列函數(shù)的二階導數(shù). （1）； （2）； （3）； （4）. 8. 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導數(shù)． 9. 求曲線在的相應(yīng)點處的切線方程和法線方程． 10. 求下列函數(shù)的微分. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 11. 半徑為的金屬圓片加熱后，其半徑伸長了，求其面積增大的精確值和近似值？ 12. 一長度為的梯子斜靠在墻上順墻下滑．當梯子下端在離墻時沿著地面以的速率離墻時，問此時梯子上端下降的速率是多少？ 13. 溶液從深，頂直徑為的正圓錐形漏斗中漏入一直徑為的圓柱形筒中．已知開始時漏斗中盛滿了溶液，且當溶液在漏斗中深為時，其表面下降的速率為．問此時圓柱形筒中溶液表面上升的速率為多少？ 14. 設(shè)某廠每月生產(chǎn)產(chǎn)品的固定成本為元，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的可變成本為元，如果每單位產(chǎn)品的售價為元，求: （1）邊際成本； （2）總利潤函數(shù)以及邊際利潤； （3）邊際利潤為零的產(chǎn)量. 15. 設(shè)某商品的需求函數(shù)為（其中為價格），求： （1）需求彈性函數(shù)； （2）時的需求彈性，并解釋其經(jīng)濟意義． （B） 一、選擇題． 1.（2007、數(shù)學一）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯誤的是（ ）． （A）若存在，則 （B）若存在，則 （C）若存在，則存在 （D）若存在，則存在 2.（2012、數(shù)學一）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 3.（2011、數(shù)學二）設(shè)函數(shù)在處可導，且，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 4. （2006、數(shù)學二）設(shè)函數(shù)可微，，則（ ）. （A） （B） （C） （D） 5.（2007、數(shù)學三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中分別表示需求量和價格，如果該商品需求彈性的絕對值等于1，那么商品的價格是（ ）． （A）10 （B）20 （C）30 （D）40 二、填空題． 1.（2006、數(shù)學三）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導，且，則_______. 2.（2010、數(shù)學二）函數(shù)在處的階導數(shù)_______. 3.（2011、數(shù)學三）曲線在點處的切線方程為_______. 4.（2008、數(shù)學一）曲線在點處的切線方程為_______. 5.（2013、數(shù)學二）設(shè)上對應(yīng)于的點處的法線方程為______. 6.（2007、數(shù)學二）曲線上對應(yīng)于的點處的法線斜率為_______. 7. （2014、數(shù)學二）曲線的極坐標方程為，則在點處的切線的直角坐標方程為______. 8.（2013、數(shù)學一）設(shè)，為參數(shù)，則_______. 9.（2012、數(shù)學二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 10. （2012、數(shù)學三）設(shè)函數(shù)，則_______. 11.（2009、數(shù)學二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 12.（2006、數(shù)學二）設(shè)是方程所確定的隱函數(shù)，則_______. 13.（2010、數(shù)學二）已知一個長方形的長以的速率增加，寬以的速率增加，則當時，它的對角線增加的速率為_______. 14.（2014、數(shù)學三）設(shè)某商品的需求函數(shù)為，其中為商品價格，則該商品的邊際收益為______. 15.（2009、數(shù)學三）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為，其對價格的彈性為，則當需求量為件時，價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加______元． 三、解答題． 1.（2007、數(shù)學二）已知函數(shù)具有二階導數(shù)，且，函數(shù)由方程確定，設(shè)，求. 50