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昌平區(qū)2012—2013年第一學期初三年級期末質量抽測 　　　 數(shù)　學　試　卷 2013．1 學校 姓名 考試編號 考生須知 1．本試卷共6頁，共五道大題，25個小題，滿分120分．考試時間120分鐘． 2．在試卷和答題卡上認真填寫學校名稱、姓名和考試編號． 3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效． 4．考試結束，請將答題卡交回． 一、選擇題（共8道小題，每小題4分，共32分） 下列各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的． 1．在Rt△ABC中，，，，則sin的值為 A． B． C． D． 2．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A = 50°，則∠BOC的度數(shù)為 A．40° B．50° C．80° D．100° 3．在不透明的布袋中裝有1個紅球，2個白球，3個黑球，它們除顏色外完全相同，從袋中任意摸出一個球，摸出的球是紅球的概率是 A． B. C. D. 4．⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和5cm，若O1O2= 8cm，則⊙O1和⊙O2的位置關系是 　　A．外切 B. 相交 C. 內切 D. 內含 5．若一個三角形三邊之比為3:5:7，與它相似的三角形的最長邊的長為21，則最短邊的長為 A. 15 B. 10 C. 9 D. 3 6．將二次函數(shù)化為的形式，結果為 A． B． C． D． 7．如圖，這是圓桌正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射到圓桌后在地面上形成圓形的示意圖. 已知桌面直徑為1.2m，桌面離地面1m. 若燈泡離地面3m，則地面上陰影部分的面積為 A.m2 B.m2 C.m2 D.m2 8．如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，以B為圓心，AB為半徑作， 在扇形BAC內作⊙O與AB、BC、都相切，則⊙O的周長等于 A. B. C. D. 二、填空題（共4道小題，每小題4分，共16分） 9．已知圓錐的底面半徑為3，母線長為4，則圓錐的側面積為　　 . 10．當　　 時，二次函數(shù)有最小值． 11．如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ADC= 90°，若sinA=，則cos∠BCD的值為　　 ． 12．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8cm，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°. 當EF=8cm時，△AEF的面積是　　 cm2； 當EF=7cm時，△EFC的面積是　　 cm2． 三、解答題（共6道小題，第13、14題各4分，第15 -18題各5分，共28分） 13.計算：． 14.如圖，小聰用一塊有一個銳角為的直角三角板測量樹高，已知小聰和樹都與地面垂直，且相距米，小聰身高AB為1.7米，求這棵樹的高度. 15.已知二次函數(shù)的圖象與x軸有交點，求k的取值范圍. 16. 如圖，△ABC的頂點在格點上，且點A（-5，-1），點C（-1，-2）. （1）以原點O為旋轉中心，將△ABC繞點O逆時針旋轉90°得到△. 請在圖中畫出△，并寫出點A的對稱點的坐標； （2）以原點O為位似中心，位似比為2，在第一象限內將△ABC放大，畫出放大后的圖形△. 17.如圖，甲、乙用4張撲克牌玩游戲，他倆將撲克牌洗勻后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一張，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回.甲、乙約定：只有甲抽到的牌面數(shù)字比乙大時甲勝；否則乙勝. 請你用樹狀圖或列表法說明甲、乙獲勝的機會是否相同 . 18. 二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為A，另一個交點為B，與軸交于點C. （1）求的值及點B、點C的坐標； （2）直接寫出當時，的取值范圍； （3）直接寫出當時，的取值范圍． 四、解答題（共４道小題，每小題5分，共20分） 19. 如圖，AB為⊙O的直徑，直線DT切⊙O于T，AD⊥DT于D，交⊙O于點C, AC=2，DT =，求∠ABT的度數(shù). 20. 如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分線，tanB=，求的值． 21. 在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以OD為半徑的⊙O與AD、BD分別交于點E、F，且∠ABE =∠DBC. （1）求證：BE與⊙O相切； （2）若，CD =2，求⊙O的半徑. 22. 閱讀下面材料： 小偉遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求∠APB的度數(shù). 小偉是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造△，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決． 圖1 圖2 圖3 圖4 請你回答：圖1中∠APB的度數(shù)等于　　 . 參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題： （1）如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，PB=1，PD=，則∠APB的度數(shù)等于 ，正方形的邊長為 ； （2）如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，且PA=，PB=1，PF=，則∠APB的度數(shù)等于 ，正六邊形的邊長為 ． 五、解答題（共3道小題，第23題7分，第24題8分，第25題9分，共24分） 23. 如圖，小明在一次高爾夫球訓練中，從山坡下P點打出一球向球洞A點飛去，球的飛行路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球達到最大高度BD為12米時，球移動的水平距離PD為9米 ．已知山坡PA與水平方向PC的夾角為30o，AC⊥PC于點C， P、A兩點相距米．請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼到鉀Q下列問題. （1）求水平距離PC的長； （2）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式； （3）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從P點直接打入球洞A． 24．如圖，菱形ABCD的邊長為48cm，∠A=60°，動點P從點A出發(fā)，沿著線路AB—BD做勻速運動，動點Q從點D同時出發(fā)，沿著線路DC—CB—BA做勻速運動. （1）求BD的長； （2）已知動點P、Q運動的速度分別為8cm/s、10cm/s. 經過12秒后，P、Q分別到達M、N兩點，若按角的大小進行分類，請問△AMN是哪一類三角形，并說明理由； （3）設問題（2）中的動點P、Q分別從M、N同時沿原路返回，動點P的速度不變，動點Q的速度改變?yōu)閏m/s，經過3秒后，P、Q分別到達E、F兩點，若△BEF與問題（2）中的△AMN相似，試求的值. 25. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（- 4，），且在x軸上截得的線段AB的長為6. （1）求二次函數(shù)的解析式； （2）在y軸上確定一點M，使MA+MC的值最小，求出點M的坐標； （3）在x軸下方的拋物線上，是否存在點N，使得以N、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由. 備用圖 昌平區(qū)2012—2013學年第一學期初三年級期末質量抽測 數(shù)學試卷參考答案及評分標準 2013．1 一、選擇題（共8個小題，每小題4分，共32分） 題 號 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B D A A C D B C 二、填空題（共4個小題，每小題4分，共16分） 題 號 9 10 11 12 答 案 32 , 8（各2分） 三、解答題（共6道小題，第13、14題各4分，第15-18題各5分，共28分） 13．解：原式= ……………… 3分 =． …………………………… 4分 14．解：由題意，易知 . ………………………… 1分 ∴， …………………… 2分 ∴． ………………………… 3分 ∴． ………………………… 4分 答：這棵樹的高度為米． 15．解：依題意，得 ……………… 2分 解之，得 ……………………… 4分 ∴ 且． ………………………… 5分 16．解：（1）點坐標為 （1，-5） . ……………………… 1分 如圖所示. ………………………3分 （2）如圖所示. ……………………………………5分 17．解： . …………… 3分 ∴ . …………………………… 4分 ∴甲、乙獲勝的機會不相同. ………………… 5分 18．解：（1）依題意得：0 = - 9 + 6 + m , ∴m = 3. …………………… 1分 ∴. ∴ 拋物線與x軸的另一交點B(-1，0), ………… 2分 與y軸交點C(0,3). ………………………… 3分 （2）當y﹥0 時，-1 < x < 3. …………………… 4分 （3）當-1≤x≤2時，0≤y≤4. ……………………………………5分 四、解答題（共４道小題，每小題5分，共20分） 19． 解：連接OT、BC，相交于點E． ∵直線DT切⊙O于T ， ∴∠OTD = 90°．…………………………… 1分 ∵AD⊥DT于D， ∴∠ADT = 90°． ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB = 90°． ……………………………… 2分 ∴∠DCB = 90°． ∴四邊形CDTE是矩形． ……………………… 3分 ∴∠CET = 90°, . ∴. ∵， ∴∠ABC = 30°． …………………………………… 4分 ∴∠BOT = 60°． ∵OB = OT , ∴△OBT為等邊三角形． ∴∠ABT = 60°． …………………………………… 5分 20．解：過點D作. ∵∠BAC=90°，AD平分∠CAB , ∴∠1=∠CAB=45°. ∵， ∴DE∥AC，∠2=45° . ∴DE=AE， ． …………………………… 2分 ∵, ∴． ………………………………………… 3分 ∴ . …………………………………… 4分 ∴ . …………………………… 5分 21． （1）證明：連接OE. ………………………………… 1分 ∵四邊形ABC D是矩形， ∴AD∥BC, ∠C=∠A = 90°． ∴∠3 =∠DBC，∠A BE +∠1 = 90°． ∵OD=OE，∠ABE =∠DBC, ∴∠2=∠3=∠ABE． ∴∠2 +∠1 = 90°． ∴∠BEO=90° ． ∵點E在⊙O上， ∴BE與⊙O相切． ………………………… 2分 （2）解：∵∠ABE =∠DBC， ∴． ∵DC =2 ，∠C = 90°， ∴DB= 6． ………………… 3分 ∵∠A = 90°， ∴BE=3AE. ∵AB = CD =2 ， 利用勾股定理，得，. ∴. 連接EF. ∵DF是⊙O的直徑， ∴∠DEF=∠A = 90°． ∴AB∥EF． ∴∽． …………………… 4分 ∴ . ∴. ∴. ∴⊙O的半徑為. …………………………………5分 22．解： . …………………………………………… 1分 （1）135°，. ……………………………………… 3分 （2）120°，. …………………………………… 5分 五、解答題（共3道小題，第23題7分，第24題8分，第25題各9分，共24分） 23．解：（1）依題意得：, ∵， ………………………………… 1分 ∴ . ………………………… 2分 ∴PC的長為12m . （2）以P為原點，PC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系，可知： 頂點B(9，12), 拋物線經過原點. …………………… 3分 ∴設拋物線的解析式為. …4分 ∴，求得. ∴. …………… 5分 （3）由（1）知C (12 , 0) , 易求得. ∴ . ……………………………… 6分 當x =12時，. ……………… 7分 ∴小明不能一桿把高爾夫球從P點直接打入球洞A . 24．解：（1）∵ 四邊形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=48 . ………………………………… 1分 又∵， ∴△ABD是等邊三角形. ∴BD=AB=48. ∴BD的長為48cm . ………………………… 2分 （2）如圖1，12秒后，點P走過的路程為8×12=96， ∴12秒后點P到達點D（M）. 又∵ 12秒后，點Q走過的路程為10×12=120， ∴12秒后點Q到達AB的中點N. …………… 3分 連結MN，由（1）知△ABD（M）是等邊三角形， ∴MN⊥AB于點N. ∴. ∴△AMN是直角三角形. ……………………………4分 （3）依題意得，3秒時點P走過的路程為24cm，點Q走過的路程為3cm. ∴ 點E是BD的中點. ∴ DE = BE = 24. ……………………………5分 ① 當點Q在NB上時（如圖1），， ∴. ∵點E是BD的中點， 若EF1⊥DB，則點F1與點A重合，這種情況不成立. ∴EF1⊥AB時，∠EF1B=∠ANM = 90°. 由（1）知∠ABD =∠A = 60°, ∴△EF1B∽△MAN. ∴. ∴. ∴，. ………………………… 6分 ② 如圖2，由菱形的軸對稱性，當點Q在BC上時，. ∴點Q走過的路程為36cm. ∴. …………… 7分 ③ 如圖3，當點Q與點C重合時，即點F與點C重合. 由（1）知，△BCD是等邊三角形， ∴EF3⊥BD于點E，∠E B F3 =∠A = 60°. ∴△F3EB∽△MNA. 此時，BF3 = 48， ∴點Q走過的路程為72cm. ∴ . …………………………… 8分 綜上所述，若△BEF∽△ANM ，則的值為4cm/s或12cm/s或24cm/s. 25．解：（1）∵拋物線的頂點坐標為， ∴拋物線的對稱軸為直線. ∵拋物線在x軸上截得的線段AB的長為6， ∴ A(-1 , 0 )，B( -7 , 0 ) . ………………………1分 設拋物線解析式為， ∴. 解得，. ∴ 二次函數(shù)的解析式為 . ……………2分 （2）作點A關于軸的對稱點，可得 （1.0）. 連接C交軸于一點即點M，此時MC + MA的值最小. 由作法可知，MA = M. ∴MC + MA = MC + M=C. ∴當點M在線段C上時，MA + MC取得最小值. ……………3分 ∴線段C與軸的交點即為所求點M. 設直線C的解析式為(k≠0)，　 ∴ ∴. ……………4分 ∴直線C的解析式為. ∴點M的坐標為( 0，). …………………5分 （3）由（1）可知，C(－4，)，設對稱軸交x軸于點D， ∴AD = 3. ∴在Rt△ADC中，. ∴∠CAD = 30o， ∵AC = BC， ∴∠ABC = ∠CAB = 30o. ∴∠ACB = 120°. …………………………………6分 ①如果AB = A N1= 6，過N1作E N1⊥x軸于E. 由△ABC∽△BA N1得∠BA N1 = 120o， 則∠EA N1 = 60o . ∴N1E = 3，AE =3. ∵A(-1 , 0 )， ∴OE = 2. ∵點N在x軸下方， ∴點N2(2，). ………………………………………7分 ②如果AB = B N2，由對稱性可知N2(-10，). ……………………8分 ③如果N3A = N3B，那么點N必在線段AB的中垂線即拋物線的對稱軸上，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點N. 經檢驗，點N1 (2，)與N2 (-10，)都在拋物線上 . …………9分 綜上所述，存在這樣的點N，使△NAB∽△ABC，點N的坐標為(2，)或(-10，).