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2015-2016學(xué)年福建省福州市長樂市八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共10小題，每小題2分，滿分20分） 1．點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。? A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 　 　 2．下列四個(gè)騰訊軟件圖標(biāo)中，屬于軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 　 3．下列根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 　 4．下列運(yùn)算正確的是（　　） A．x4+x4=x8 B．x6÷x2=x3 C．xx4=x5 D．（x2）3=x8 　 5．若分式有意義，則x的取值范圍是（　?。? A．x=3 B．x＜3 C．x≠0 D．x≠3 　 6．下列分解因式正確的是（　?。? A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2 D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 　 7．對式子a﹣b+c進(jìn)行添括號，正確的是（　?。? A．a(chǎn)﹣（b+c） B．a(chǎn)﹣（b﹣c） C．a(chǎn)+（b﹣c） D．a(chǎn)+（b+c） 　 8．計(jì)算2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8，結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　） A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣7 C．1×10﹣8 D．1×10﹣9 　 9．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，則圖中互余的角有（　　） A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 　 10．如圖，長度分別為3，4，5，7的四條線段首尾相接，相鄰兩線段的夾角可調(diào)整，則任意兩端點(diǎn)的距離最大值為（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 　 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 11．把分式與通分，其最簡公分母為　　　　　　． 　 12．如圖，△ABC≌△ADC，若∠B=80°，∠BAC=35°，則∠BCD的度數(shù)為　　　　　　度． 　 13．若x2+ax+4是完全平方式，則a=　　　　　?。? 　 14．已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為　　　　　?。? 　 15．兩個(gè)全等的正十二邊形按如圖所示的方式擺放，其中兩頂點(diǎn)重合，則∠α=　　　　　　度． 　 16．頂角是36°的等腰三角形稱為黃金三角形，設(shè)黃金三角形的底邊與腰之比為m．如圖，在黃金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二個(gè)黃金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三個(gè)黃金△CDE，以此類推，則第2016個(gè)黃金三角形的周長為　　　　　?。ㄓ煤琺的式子表示）． 　 　 三、解答題（共8小題，滿分62分） 17．計(jì)算： （1）（﹣）﹣1﹣（﹣）2015×（1.5）2016+20160 （2）． 　 18．化簡： （1）（2x+1）（x﹣3） （2）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2a） 　 19．先化簡，再求值：（），其中x=+1． 　 20．如圖，在△ABC中，AD=BD，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠C=55°，求∠BAC的度數(shù)． 　 21．如圖，C是AB的中點(diǎn)，∠A=∠B，∠BCD=∠ACE，求證：AD=BE． 　 22．某文具店老板第一次用1000元購進(jìn)一批文具，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批文具，所購進(jìn)文具的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢．兩批文具的售價(jià)均為每件15元． （1）問第二次購進(jìn)了多少件文具？ （2）文具店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？ 　 23．如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABO≌△ACD，連接OD． （1）求證：△AOD為等邊三角形； （2）如圖2，連接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α． ①求∠OCD的度數(shù)； ②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，求∠α的度數(shù)． 　 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，點(diǎn)C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，點(diǎn)F在線段OB上，OA=OF，AF的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)D，AB與CF交于點(diǎn)E． （1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：　　　　　?。ㄓ煤琣，b的式子表示）； （2）求證：∠BAF=∠BCE； （3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)為N．求證：M，N關(guān)于x軸對稱． 　 　 2015-2016學(xué)年福建省福州市長樂市八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共10小題，每小題2分，滿分20分） 1．點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（　?。? A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） 　 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】利用關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案即可． 【解答】解：點(diǎn)P（﹣2，3）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：（2，3）． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 　 2．下列四個(gè)騰訊軟件圖標(biāo)中，屬于軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 3．下列根式中，屬于最簡二次根式的是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】最簡二次根式． 【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是． 【解答】解：A、被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故A正確； B、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故B錯(cuò)誤； C、被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)或因式，故C錯(cuò)誤； D、被開方數(shù)含分母，故D錯(cuò)誤； 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式． 　 4．下列運(yùn)算正確的是（　　） A．x4+x4=x8 B．x6÷x2=x3 C．xx4=x5 D．（x2）3=x8 【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪的除法，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪的乘法，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘，對各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解． 【解答】解：A、合并同類項(xiàng)，系數(shù)相加字母和字母的指數(shù)不變，故A錯(cuò)誤； B、同底數(shù)冪的除法底數(shù)不變指數(shù)相減，故B錯(cuò)誤； C、同底數(shù)冪的乘法底數(shù)不變指數(shù)相加，故C正確； D、冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方很容易混淆，一定要記準(zhǔn)法則才能做題． 　 5．若分式有意義，則x的取值范圍是（　　） A．x=3 B．x＜3 C．x≠0 D．x≠3 【考點(diǎn)】分式有意義的條件． 【分析】由分式有意義的條件可知：3﹣x≠0，從而可求得x的范圍． 【解答】解：∵分式有意義， ∴3﹣x≠0． ∴x≠3． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題主要考查的是分式有意義的條件，明確分式的分母不為0是解題的關(guān)鍵． 　 6．下列分解因式正確的是（　　） A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．x2﹣1=（x+1）（x﹣1） C．x2﹣x+2=x（x﹣1）+2 D．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用． 【分析】根據(jù)提公因式法分解因式，公式法分解因式對各選項(xiàng)分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故本選項(xiàng)正確； C、x2﹣x+2=x（x﹣1）+2右邊不是整式積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、應(yīng)為x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止． 　 7．對式子a﹣b+c進(jìn)行添括號，正確的是（　?。? A．a(chǎn)﹣（b+c） B．a(chǎn)﹣（b﹣c） C．a(chǎn)+（b﹣c） D．a(chǎn)+（b+c） 【考點(diǎn)】去括號與添括號． 【分析】依據(jù)添括號法則進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：a﹣b+c=a﹣（b﹣c）． 故選：B． 【點(diǎn)評】本題主要考查的是添括號法則，掌握添括號法則是解題的關(guān)鍵． 　 8．計(jì)算2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8，結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。? A．0.1×10﹣8 B．0.1×10﹣7 C．1×10﹣8 D．1×10﹣9 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)． 【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定． 【解答】解：2.7×10﹣8﹣2.6×10﹣8=（2.7﹣2.6）×10﹣8=0.1×10﹣8=1×10﹣9， 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定． 　 9．如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，則圖中互余的角有（　　） A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 【考點(diǎn)】余角和補(bǔ)角． 【分析】根據(jù)余角的定義以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)解答即可． 【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠A與∠B互余，∠ACD與∠DCB互余． ∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°，∠CDB=90°． ∴∠A與∠ACD互余，∠B與∠DCB互余． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題主要考查的是余角的定義，掌握余角的定義是解題的關(guān)鍵． 　 10．如圖，長度分別為3，4，5，7的四條線段首尾相接，相鄰兩線段的夾角可調(diào)整，則任意兩端點(diǎn)的距離最大值為（　　） A．7 B．9 C．10 D．12 【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系． 【分析】若兩個(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可． 【解答】解：已知4條木棍的四邊長為3、4、5、7； ①選3+4、5、6作為三角形，則三邊長7、5、7；7﹣5＜7＜7+5，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長距離為7； ②選3、4+5、7作為三角形，則三邊長為3、9、7；7﹣3＜9＜7+3，能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為9． 故選：B． 【點(diǎn)評】此題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方法是解答的關(guān)鍵． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分） 11．把分式與通分，其最簡公分母為　6x2y2?。? 【考點(diǎn)】最簡公分母． 【分析】根據(jù)確定最簡公分母的步驟找出最簡公分母即可． 【解答】解：分式與最簡公分母是6x2y2， 故答案為：6x2y2． 【點(diǎn)評】此題考查了最簡公分母，確定最簡公分母的方法是：（1）取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；（2）凡單獨(dú)出現(xiàn)的字母連同它的指數(shù)作為最簡公分母的一個(gè)因式； （3）同底數(shù)冪取次數(shù)最高的，得到的因式的積就是最簡公分母． 　 12．如圖，△ABC≌△ADC，若∠B=80°，∠BAC=35°，則∠BCD的度數(shù)為　130　度． 【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BCA，根據(jù)全等的性質(zhì)得出∠DCA=∠BCA=65°，即可求出答案． 【解答】解：∵∠B=80°，∠BAC=35°， ∴∠BCA=180°﹣∠B﹣∠BAC=65°， ∵△ABC≌△ADC， ∴∠DCA=∠BCA=65°， ∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=130°， 故答案為：130． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠BCA=∠DCA是解此題的關(guān)鍵． 　 13．若x2+ax+4是完全平方式，則a=　±4?。? 【考點(diǎn)】完全平方式． 【分析】這里首末兩項(xiàng)是x和2這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去a和2積的2倍，故a=±4． 【解答】解：中間一項(xiàng)為加上或減去a和2積的2倍， 故a=±4， 故答案為：±4． 【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解． 　 14．已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為　21?。? 【考點(diǎn)】二次根式的定義． 【分析】因?yàn)槭钦麛?shù)，且==，則21n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為21． 【解答】解：∵ ==，且是整數(shù)； ∴是整數(shù)，即21n是完全平方數(shù)； ∴n的最小正整數(shù)值為21． 故答案為：21 【點(diǎn)評】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．二次根式的運(yùn)算法則：乘法法則=．除法法則=．解題關(guān)鍵是分解成一個(gè)完全平方數(shù)和一個(gè)代數(shù)式的積的形式． 　 15．兩個(gè)全等的正十二邊形按如圖所示的方式擺放，其中兩頂點(diǎn)重合，則∠α=　60　度． 【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】由圖可知：重合的部分是一個(gè)六邊形，首先求正十二邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)和六邊形的內(nèi)角和，進(jìn)一步求得2∠α，再進(jìn)一步得出答案即可． 【解答】解：正十二邊形內(nèi)角為=150°， 六邊形的內(nèi)角和180°×（6﹣2）=720°， 則∠α=×（720°﹣150°×4）=60°． 故答案為：60． 【點(diǎn)評】此題考查多邊形的內(nèi)角和，掌握多邊形內(nèi)角和的求法是解決問題的關(guān)鍵． 　 16．頂角是36°的等腰三角形稱為黃金三角形，設(shè)黃金三角形的底邊與腰之比為m．如圖，在黃金△ABC中，AB=AC=1，BD平分底角ABC，得到第二個(gè)黃金△BCD，CE平分底角BCD，得到第三個(gè)黃金△CDE，以此類推，則第2016個(gè)黃金三角形的周長為　m2015（2+m）?。ㄓ煤琺的式子表示）． 【考點(diǎn)】黃金分割． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)三角形相似的判定定理得到△BCD∽△ABC，根據(jù)題意求出△BCD與△ABC的周長比，總結(jié)規(guī)律得到答案． 【解答】解：∵黃金三角形的底邊與腰之比為m，AB=AC=1， ∴BC=m， ∴△ABC的周長為：2+m， ∵△BCD與△ABC都是黃金三角形， ∴△BCD∽△ABC，又=m， ∴△BCD與△ABC的周長比為m， ∴第二個(gè)黃金△BCD的周長為m（2+m）， 同理，第三個(gè)黃金△CDE的周長為m2（2+m）， … ∴第2016個(gè)黃金三角形的周長為m2015（2+m）． 故答案為：m2015（2+m）． 【點(diǎn)評】本題考查的是化簡三角形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比等于相似比是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題（共8小題，滿分62分） 17．計(jì)算： （1）（﹣）﹣1﹣（﹣）2015×（1.5）2016+20160 （2）． 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪． 【分析】（1）分別根據(jù)0指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可； （2）先去絕對值符號，再把各根式化為最減二次根式，由實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可． 【解答】解：（1）原式=﹣2﹣[（﹣）×1.5]2015×1.5+1 =﹣2++1 =； （2）原式=﹣﹣（﹣1） =﹣﹣+1 =4﹣3﹣+1 =1． 【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知0指數(shù)冪及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．化簡： （1）（2x+1）（x﹣3） （2）（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）+b（b﹣2a） 【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算． 【專題】計(jì)算題；整式． 【分析】（1）原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果； （2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號合并即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）原式=2x2﹣6x+x﹣3=2x2﹣5x﹣3； （2）原式=a2+2ab+b2﹣a2+b2+b2﹣2ab=3b2． 【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 　 19．先化簡，再求值：（），其中x=+1． 【考點(diǎn)】分式的化簡求值． 【專題】計(jì)算題；分式． 【分析】首先根據(jù)分式化簡的方法，把（）化簡；然后把x=+1代入化簡后的算式，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（） =（+） =× =x﹣1 當(dāng)x=+1時(shí)， 原式=+1﹣1=． 【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的化簡求值問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：分式的化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡時(shí)不能跨度太大，而缺少必要的步驟． 　 20．如圖，在△ABC中，AD=BD，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠C=55°，求∠BAC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)垂直的定義可得∠ADB=∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠CAD，然后求出∠BAD，再求解即可． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠C=55°， ∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣55°=35°， ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B=45°， ∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+35°=80°． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，C是AB的中點(diǎn)，∠A=∠B，∠BCD=∠ACE，求證：AD=BE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)題意得出∠ACD=∠BCE，AC=BC，進(jìn)而得出△ADC≌△BEC即可得出答案． 【解答】證明：∵C是線段AB的中點(diǎn)， ∴AC=BC． ∵∠ACE=∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ADC和△BEC中， ， ∴△ADC≌△BEC（ASA）． ∴AD=BE． 【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)．判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件． 　 22．某文具店老板第一次用1000元購進(jìn)一批文具，很快銷售完畢；第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元．老板用2500元購進(jìn)了第二批文具，所購進(jìn)文具的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，同樣很快銷售完畢．兩批文具的售價(jià)均為每件15元． （1）問第二次購進(jìn)了多少件文具？ （2）文具店老板在這兩筆生意中共盈利多少元？ 【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用． 【分析】（1）設(shè)第一次購進(jìn)x件文具，則第二次就購進(jìn)2x件，根據(jù)第二次購進(jìn)時(shí)發(fā)現(xiàn)每件文具進(jìn)價(jià)比第一次上漲了2.5元，所購進(jìn)文具的數(shù)量是第一次購進(jìn)數(shù)量的2倍，可列方程求解． （2）利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，根據(jù)（1）算出件數(shù)，然后算出總售價(jià)減去成本即為所求． 【解答】解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)x件文具，則第二次就購進(jìn)2x件文具，由題意得： =﹣2.5 解之得x=100， 經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原方程的解， 2x=2×100=200 答：第二次購進(jìn)200件文具． （2）（100+200）×15﹣1000﹣2500=1000（元）． 答：盈利1000元． 【點(diǎn)評】本題考查理解題意的能力，關(guān)鍵是設(shè)出數(shù)量，以價(jià)格做為等量關(guān)系列方程求解，然后根據(jù)利潤=售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，求出利潤即可． 　 23．如圖1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△ABO≌△ACD，連接OD． （1）求證：△AOD為等邊三角形； （2）如圖2，連接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α． ①求∠OCD的度數(shù)； ②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，求∠α的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形得到AO=AD，∠BAO=∠CAD，由∠BAC=60°，求得∠OAD=60°，即可得到結(jié)論； （2）①根據(jù)△AOD為等邊三角形，求得∠AOD=∠ADO=60°，求得∠DOC=360°﹣α﹣130°﹣60°=170°﹣α，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADC=∠AOB=α，于是得到∠OCD=180°﹣∠DOC﹣∠ODC=70°；②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，（Ⅰ）當(dāng)OD=OC，由∠DOC=170°﹣α，得到∠OCD=∠ODC==，列方程得到α=130°（Ⅱ）當(dāng)OD=CD，于是得到∠OCD=∠COD=170°﹣α；求得∠ODC=180°﹣2×170°+2α=2α﹣160°，列方程即可得到α=100°；（Ⅲ）當(dāng)OC=CD，于是得到∠ODC=∠COD=170°﹣α，列方程即可得到α=115°． 【解答】解：（1）∵△ABO≌△ACD， ∴AO=AD，∠BAO=∠CAD， ∵∠BAC=60°， ∴∠OAD=60°， ∴△AOD為等邊三角形； （2）①∵△AOD為等邊三角形， ∴∠AOD=∠ADO=60°， ∵∠BOC=130°，∠AOB=∠α， ∴∠DOC=360°﹣α﹣130°﹣60°=170°﹣α， ∵△ABO≌△ACD， ∴∠ADC=∠AOB=α， ∴∠ODC=α﹣60°， ∴∠OCD=180°﹣∠DOC﹣∠ODC=70°； ②當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)， （Ⅰ）當(dāng)OD=OC，∵∠DOC=170°﹣α， ∴∠OCD=∠ODC==， ∴60°+=α， 解得：α=130° （Ⅱ）當(dāng)OD=CD，∴∠OCD=∠COD=170°﹣α； ∴∠ODC=180°﹣2×170°+2α=2α﹣160°， ∴60°+2α﹣160°=α， 解得：α=100°； （Ⅲ）當(dāng)OC=CD，∴∠ODC=∠COD=170°﹣α， ∴170°﹣α+60°=α， 解得：α=115°． 綜上所述：當(dāng)△OCD是等腰三角形時(shí)，∠α的度數(shù)為：130°，100°，115°． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵． 　 24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），其中b＞a＞0，點(diǎn)C在第一象限，BA⊥BC，BA=BC，點(diǎn)F在線段OB上，OA=OF，AF的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)D，AB與CF交于點(diǎn)E． （1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：　（b，a+b）?。ㄓ煤琣，b的式子表示）； （2）求證：∠BAF=∠BCE； （3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)為N．求證：M，N關(guān)于x軸對稱． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)． 【分析】（1）過C點(diǎn)作CP⊥y軸于點(diǎn)P，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BPC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)的性質(zhì)和等量代換即可得到結(jié)論； （3）根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】（1）解：如圖1，過C點(diǎn)作CP⊥y軸于點(diǎn)P， ∵CP⊥y軸， ∴∠BPC=90°， ∴∠BPC=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBP=90°， ∵∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠CBP=∠BAO， 在△AOB與△BEC中，， ∴△AOB≌△BPC（AAS）， ∴CE=OB=b，BE=OA=a， ∴OP=OB+BP=a+b， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（b，a+b）， 故答案為：（b，a+b）； （2）證明：∵△AOB≌△BPC， ∴BP=OA=OF，CP=BO， ∴FP=OB=CP， ∴∠PFC=45°，∠AFC=90°， ∴∠BAF=∠BCE； （3）證明：如圖2，∵點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為M，點(diǎn)C關(guān)于直線AF的對稱點(diǎn)為N， ∴AM=AC，AN=AC， ∴AM=AN， ∵∠1=∠5，∠1=∠6， ∴∠5=∠6， 在△MAH與△NAH中， ∴， ∴△MAH≌△NAH（SAS）， ∴MH=NH， ∴M，N關(guān)于x軸對稱． 【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)于直線對稱的性質(zhì)．關(guān)鍵是AAS證明△AOB≌△BEC，SAS證明△DAH≌△GAH．