用配置空間的方法對注塑模冷卻系統(tǒng)進行設(shè)計畢業(yè)課程設(shè)計外文文獻翻譯、中英文翻譯、外文翻譯,配置,空間,方法,法子,對于,注塑,冷卻系統(tǒng),進行,設(shè)計,畢業(yè),課程設(shè)計,外文,文獻,翻譯,中英文 用配置空間的方法對注塑模冷卻系統(tǒng)進行設(shè)計c.g.李， c.l.李* 香港城市大學(xué)制造工程及工程管理部，香港2007 年 5 月 3 日收到; 2007 年 11 月 18 日接納摘要注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。盡管已有各種針對冷卻系統(tǒng)的分析、優(yōu)化和制作的研究，但冷卻系統(tǒng)的布局設(shè)計方面并沒有得到很好的發(fā)展。在規(guī)劃設(shè)計階段，我們主要關(guān)注的是冷卻系統(tǒng)的可行性和其他模具組件插入是否發(fā)生干預(yù)。本文介紹了利用配置空間（C 空間）的方法來解決這一重要問題。然而高維配置空間方法一般需要處理一個如冷卻系統(tǒng)般復(fù)雜的系統(tǒng)，冷卻系統(tǒng)的特殊特點設(shè)計目前正在探索研究中，利用 C 空間在三維空間或更低維空間計算和存儲的特別技術(shù)也在發(fā)展中。這種新方法是由作者對以前啟發(fā)式方法的改善，因為 C 空間的代表性能使自動布局設(shè)計系統(tǒng)在所有可行的設(shè)計中進行更系統(tǒng)的搜索。自動生成候選布局設(shè)計的一個簡單的遺傳算法是 C 空間代表性的實施和綜合。遺傳算法所產(chǎn)生的設(shè)計實例，給這種方法提供了可行性證明。 c 2007 Elsevier 公司有限公司，保留所有權(quán)利。關(guān)鍵詞: 冷卻系統(tǒng)設(shè)計；注塑模具；配置空間的方法1.導(dǎo)言注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。大量涉及對冷卻系統(tǒng)分析[ 1,2 ] ，及商業(yè) CAE 系統(tǒng)，如 Moldflow [ 3 ]和 moldex3d [ 4 ] 的研究被廣泛應(yīng)用于工業(yè)。以優(yōu)化某一特定的冷卻系統(tǒng)的研究技術(shù)亦已報道[ 5-8 ] 。最近，通過使用新形式的制造技術(shù)以建立更好的冷卻系統(tǒng)的研究已被報告。徐等人[ 9 ]報道了他們的模具意念：保持一定距離的冷卻水道的設(shè)計和制作。孫等人[ 10,11 ]用數(shù)控銑床銑削生產(chǎn) U 形槽冷卻渠道和俞[ 12 ]提出了一個棚架形冷卻結(jié)構(gòu)的設(shè)計。盡管各種研究的重點主要集中在冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計過程中冷卻系統(tǒng)的功能實現(xiàn)問題，布局設(shè)計階段過程中沒有得到很好發(fā)展的冷卻系統(tǒng)的可行性和可制造性設(shè)計問題。關(guān)注的重點主要是：在初步設(shè)計階段冷卻系統(tǒng)的可行性且與其他的模具部件是否干預(yù)。如圖 1 所示 。從中可以看到注塑模的各子系統(tǒng)許多不同的組成部分，如噴射器的管腳，滑塊等等，都必須裝入模具中。為每個回路冷卻水道尋找最佳位置以優(yōu)化冷卻性能并避免與其他組件干擾不是一項簡單的任務(wù)。另一個讓規(guī)劃布局設(shè)計更復(fù)雜的問題是，單獨的冷卻水道需要和出水道和進水道連接而形成一條環(huán)形水道。因此，改變一條水道的位置，其他水道可能也需要改變。 在圖 2 所示 。優(yōu)化冷卻系統(tǒng)的每個水道的理想位置都如圖 2（a）所示 。假設(shè)當冷卻系統(tǒng)及其他模具組件都裝入模具內(nèi)部時，模具組件 O1 和水道 C1 是干擾的。因為 C1 與其他組件可能的干擾而無法移到附近的一個位置，它必須被縮短長度。因此， 通過移動 C2 和延長 C3 使他們保持連接，如圖 2（b）所示?；谄湫碌拈L度， C3 又與其他模具組件 O2 發(fā)生干擾，進一步修改是必要的，最后的設(shè)計結(jié)果如圖 2（c）所示 。鑒于一個典型的注塑模具可能有 10 條以上的冷卻水道，每個水道與其他模具組件都可能存在著潛在的干擾，手工找出一個優(yōu)化布置設(shè)計是非常繁瑣的。 本文介紹了一種在設(shè)計過程中支持自動布局的新技術(shù)。對于這種新技術(shù)，配置空間（C 空間）的方法是用來在所有可行的設(shè)計中提供一個簡潔的有代表性的布圖設(shè)計。C 空間的代表性是通過利用解決布局設(shè)計問題這個特殊特點的有效方法構(gòu)建的，而不是采用啟發(fā)式規(guī)則來生成的布局設(shè)計，這就就好比以前作者開發(fā)的自動布局設(shè)計系統(tǒng) [ 13,14 ] ，這個新的 C 空間方法能使自動布局設(shè)計系統(tǒng)在所有可行的布圖設(shè)計中進行更系統(tǒng)的搜索。2.配置空間的方法一般來說， 一個系統(tǒng)的 C 空間是當該系統(tǒng)的每個自由度被視為一個層面的結(jié)果而導(dǎo)致的空間。配置空間中的區(qū)域被標記為堵塞區(qū)域或自由區(qū)域。在自由地區(qū)的點對應(yīng)于組件間沒有相互干擾的系統(tǒng)的有效配置。在被堵塞區(qū)域的點對應(yīng)于組件間相互干擾的系統(tǒng)的無效配置。 C 空間最初被洛薩諾-佩雷斯定形 [ 15 ]以解決機器人路徑規(guī)劃的問題和關(guān)于這方面的研究一項調(diào)查已被明智和鮑耶 [ 16 ] 報道 。C 空間的方法也被用來解決定性推理方面的問題（例如，[ 17,18 ] ）和運動裝置的自動化分析與設(shè)計（例如， [ 19-21 ] ） 。作者在由多個國家組成的自動設(shè)計機構(gòu)做研究時[ 22 ， 23 日]研究了一種 C 空間的方法。 （a） 冷卻水道 C1 和模具組件 （b）c1 截短，c2 移動，c3 延長O1 干擾發(fā)生在理想的位置 （c）c3 移動，c2 截短從而效果最佳圖 3 冷卻系統(tǒng)的自由度2.1 一個冷卻系統(tǒng)的 C 空間一個高維 C 空間可以用來表示給定的某一冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計中所有可行的布圖設(shè)計。圖 3 給出了一個例子。冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計由 4 冷卻水道組成。從初步設(shè)計中生成一個布局設(shè)計，渠道的中心和長度需要被調(diào)整。正如圖 3 所示，該水道 c 1 的中心可沿著 X1 和 X 2 方向移動，其長度可以沿 X 3 方向調(diào)整。同樣地，C2 長度的可以沿 X 4 方向調(diào)整，而其中心可以按 X1 和 X 3 所描述的調(diào)整 ，因此必須與調(diào)整 C 1 保持連接性的情況相同。通過運用類似的觀點對其他水道，可以看出，冷卻系統(tǒng)有 5 個自由度，它們都是標注為 Xi，i= 1 ， 2 ，…… 5 。原則上， C 空間是一個五維空間而這個空間的自由區(qū)域中的任何一點都給定了一個對應(yīng)的坐標值在 X i 軸上，可以用來界定渠道的幾何位置且沒有與其他模具組件造成干擾。在一個冷卻系統(tǒng)的高維 C空間中確定一個自由區(qū)域，第一步是在獨立水道的 C 空間中構(gòu)建自由區(qū)域。2.2 獨立水道的 c 空間構(gòu)造當一個獨立的水道 c1 被確定為單獨時，它有三個自由度，則 X 1 和 X 2 為其中心位置而 X 3 是它的長度。因為理想的中心位置和長度已經(jīng)在初步設(shè)計中指明，因此假定一個固定的允許最大變化量 δ C 為 X1 ，X2 ，X3 是合理的。c1 水道的 C 空間中最初確定的自由區(qū)域，是一個尺寸為 δc×δc×δC 的三維立方體。為避免與模具組件 oi 發(fā)生任何可能的干擾當水道通過鉆孔插入模具內(nèi)部時，鉆頭直徑 D 和沿 X3 的鉆孔深度必須考慮。假設(shè)直徑 D ，Oi 開始時用 D/2 +M 對于 O "抵銷，其中 M 是水道內(nèi)壁和附近的一個組件間所允許的最短距離。Oi 的增長有效的減少了水道 Ci 的長度對于直線 Li 來說 。以圖 4 為例子 。圖 4（a）表明了水道 Ci 和三模具組件 O1、O2、O3 可能會與 Ci 發(fā)生干擾。圖 4（b）顯示了模具組件 O' , O ', O '和 O "的偏移及 Ci 相對于線段 Li 的減少量與 Ci 的 x 值相符情況。如果 Li 和模具其他組成部分沒有交匯點，那么，原來的水道 Ci 將不會與模具組件相交。（a） 水道 Ci 和模具的 （b）模具組件和 Ci 相對 Li 的偏移三個組件 （c） 模具組件和 Ci 相對 Pi 點的補償 （d）Ci 的自由度（e）Oi 相對 Pi 的減少量 （f）Ci 的自由點 Fri圖 4 在一個通道 CI 自由區(qū) FRi 施工的主要步驟水道是通過鉆孔從對模具的表面插入的，任何如 Oi 的障礙以及鉆孔深度將會影響水道的構(gòu)建。鉆孔深度及 Oi 的補償 O"沿鉆孔的方向延伸，直到鉆到模具對應(yīng)的另一面生成水道為止。Oi 相對 Pi 沿直線 Li 的減少至 Li 的終點。如圖 4（c）所示，如果點 Pi 位于 Oi"之外 ，沿 Li 鉆孔產(chǎn)生水道 Ci 是可行的。水道 Ci 的自由區(qū)域 Fri 用如下方法取得。首先，初始自由地區(qū) Bi 是用如圖4（d）所示的 Pi 點作為中心構(gòu)建的。然后插入與模具交叉取得 B 0 。 B 0 代表 Ci 所有可能的變化當僅考慮插入的模具幾何形狀時。然后 Fri 是從所有障礙的 Oi 中減去Bi 獲得。圖 4（e）和（f）顯示了這種減法以及這種例子的結(jié)果 FRi。2.3 基本接近法構(gòu)建冷卻系統(tǒng)的 C 空間在一個冷卻系統(tǒng)的 C 空間中確定自由區(qū)域 FRF，每個冷卻水道的自由區(qū)域必須以一個適當?shù)姆绞健敖徊妗保允拐系K的效果能恰當?shù)耐ㄟ^ FRF 描繪對于所有水道來說。然而在兩個不同水道之間的自由區(qū)域的標準布爾交叉口無法執(zhí)行，因為他們的 C 空間在一般跨距于不同的軸線。以圖 3 為例子 ，C1 和 C2 的 C 空間分別為（ X1 ， X2 ，X 3 ）和（X 1 ，X3 ，X4 ）。為了更方便在不同的 C 空間中的自由區(qū)域之間確定交叉口，從一個渠道和另一個渠道的 C 空間中推算一個地區(qū)是必要的。以下批注首先介紹了并將用于隨后的討論和其余的文件。標記法用于描述高維空間S n 是指一個通過坐標定義的 n 維空間= {X 1, X 2, . . . , X n}.Sn 是指一個通過坐標定義的 m 維空間= {X , X , . . . , X }.mPn 是指在 Sn 的一個點 p n = (x 1, x 2, . . . , x n) Rn 屬于區(qū)間 S n(R n S n) ?標記法用于描述冷卻系統(tǒng)n c 指在冷卻系統(tǒng)中水道的數(shù)目。 n f 指冷卻系統(tǒng)總的自由度。 ci 指冷卻系統(tǒng)第 i 個水道。 s i 指 Ci 的 C 空間。FRi 是指在 Si 中的自由地區(qū)。也就是說，它是獨立水道 Ci 的自由區(qū)域。 SF 指冷卻系統(tǒng)的 C 空間。 FRF 是指 SF 中的自由區(qū)域。也就是說，它是冷卻系統(tǒng)的自由區(qū)域。假設(shè) Pn 在 Sn 中，Pm 在 Sm 中，圖 5（a）用一唯和三唯的的空間點明了突出的例子(i) (ii) ；而(iii) ， 且mX?nn?mXm?nXmX?n??對(i)Pn 和 Pm 的坐標是一樣的如果 Sn 和 Sm 在同一區(qū)間時。對(ii)和(iii)Pn 在區(qū)間Rm 中。因為 Pm 在 Rm 中，當點位于 Sn 和 Sm 中時 Pn 等于 Pm。而對另一坐標 Pm 其可以是任意值；特別對(ii)和(iii)，假設(shè)水道 Cn 和 Cm，因為它們相近所以必須連接。這樣它們的 C 空間 Sn、Sm 有相同的坐標值。假設(shè)那是一個結(jié)論？對應(yīng)到在 S n 中一個點P n 已選定為 Cn。保持連通性，結(jié)論呢？ Cm 必須被選擇在以使 Sm 中的相應(yīng)點 Pm 與 P n 共用相同坐標在共同的軸線。這意味著 Pm 和 PN 可以是任何點在區(qū)間 Sm 中，該方法已經(jīng)在前面予以定義。在區(qū)域 Sn 和 Sm 中的一區(qū)域 Rn 是 Rn 和 Sm 中每一點的簡化。圖5（ b ）說明了相應(yīng)的區(qū)域。投影的正式定義如下面所示。定義 1 （投影）1.1.如果 Xˉ m? Xˉ n, PROJ Sm ( pn )是一個點 =(x ,x ,……,x ),因為 X = Xj, x mP‘1’2m‘i’i= xj因為 i [1,m]。為了在隨后的討論中簡化符號，這一投影是被視為單獨點 Pm 的區(qū)間。?也即是 PROJ Sm ( pn )={Pm} 。.1.2.如果 Xˉ m? Xˉ n， PROJ Sm ( pn )是一個區(qū)間 { pm |PROJ Sn ( pm ) = { pn }}.1.3.如果 Xˉ m Xˉn , Xˉ n Xˉm ,并且 Xˉ n∩ Xˉ m , PROJ Sm( pn )是一個區(qū)間 Rm = { ???pm|PROJ SI( pm ) = PROJ SI( pn )},其中 Si位于區(qū)間 Xˉ n∩ Xˉ m ，如果 n∩ Xˉ m = ， PROJ Sm( pn )則定義為 Sm。?1.4.ROJSm(Rn) 定義在區(qū)間 Rm={Pm|Pm PROJ (Pn),Pn Rn}.?mS正如在 2.1 節(jié)所討論的，在 FR 中的任意點 P 為冷卻系統(tǒng)的每個自由度給定了一個值，F(xiàn)F使水道與其他模具組件在幾何空間是不會發(fā)生任何干涉。另一方面， P 相對每個點 s Fi 的投影是，在 Ci 的每個自由區(qū)域 FR 中。因此，F(xiàn)R 定義如下。i定義 2 （一個冷卻系統(tǒng) C 空間的自由區(qū)域）FRF = { pF | P R O JSi ( pF ) FRi , i ∈ [1, nC ]}? 圖 5 點和區(qū)間在 Sn 至 Sm 區(qū)間中的投影。根據(jù)定義 1.1 知道， 從 到 的區(qū)間投影始終只包含一個單一的點，因為跨距 s iFPiS始終是 s n 一個子軸線. Ci 的每一個自由區(qū)域 FR 的構(gòu)造，已經(jīng)在第 2.2 節(jié)中解釋。i從 FR 中找出 FRF，下面的定理是很有用的。 i定理 1 . 這定理很直觀表明為找出 ，所有的 FR 首先投影到冷卻系統(tǒng) 的 C 空間. 可FRi FSFR以從投影的布爾交叉口得到。定理 1 的證明和所用的引理，都已在附錄中標出。2.4.C -空間的表示和計算為了表示自由區(qū)域 和便于在一個高維空間的區(qū)域布爾交叉口之間的計算，我們可FR以利用類似 [ 21,24 ]中的一種細胞枚舉法?；舅悸肥怯靡桓呔S立方體在 中逐漸FS靠近一高維區(qū)間 。每個立方體是通過對每個軸指定間隔來確定的。兩個區(qū)間的交匯點是通過兩個立方塊交匯點所取得的。兩個高維立方體的交叉點只不過是在每個軸的立方體之間間隔的普通交叉點。假設(shè)每個 FR 是近似由 m 個三維立方體組成，投影 PROJ S（FR ）便可近似由i i維立方體組成。使用定理 1 對 的構(gòu)建，需要 在 n -三維立方體中交叉，F(xiàn)mnFRcmF是用一個 n -三維立方體只中的最大值表示。雖然用來代表交叉點中間結(jié)果的立RF方體的數(shù)量和 可通過特殊技術(shù)減少，可以預(yù)料到記憶和計算的要求仍然是這種方法的主要問題。在下一節(jié)中將介紹一種更先進的方法。（二）在配置空間 Si 中每個水道的自由區(qū)域 。iFR（一）一個擁有四個水道和四個自由度的簡單冷卻系統(tǒng)3.C 空間構(gòu)建的一種有效率技術(shù)對 的表示和構(gòu)建時為了避免高的內(nèi)存和計算的要求，我們選擇不表示和不計算FR。相反，我們專注于對每一獨立水道的 C -空間計算過程是否有效的技術(shù)。首先，我們看顯示在圖 6 的簡化設(shè)計例子 。假設(shè)在這個例子中模具沿 z 方向插入時在 FR 中i不存在變異，那么冷卻系統(tǒng)有四個如圖 6（ a ）所示的自由度。每個水道 的 Si 是iC兩維和假設(shè)的 FR 如圖 6（ b ）所示。為水道 考慮一個簡單的設(shè)計方法。首先，點i i可以從 FR 中 選擇，以使 不會和任何障礙發(fā)生干涉。然而， 由 X 1 和 X 2 確定 1Pi iCS，而 X2 在 S 2 中 。因此那些在 S 2 中的障礙所施加的 約束，還必須考慮。為了找出設(shè)計 的所有可行點， 是與 “交叉” 。這個 “交叉點”結(jié)果如圖 6（ c ）所1C1FR示，這是通過移動區(qū)間 x 2 < 6 得到的 ，因為該自由區(qū)域 ，× 2 [ 6 ， 10 ] 2FR??，F(xiàn)在，如圖 6（ c ）所以示給定一個與任何障礙不發(fā)生干涉的水道 ，并在其自由1C區(qū)間的任何一點的選定，始終為 C 2 存在著這樣一種設(shè)計：例如，它可以連接到（他們都有一個共同的× 2 值）并和任何障礙不發(fā)生干涉。然而，這個簡單方法的1一個主要問題是在為 C 1 和 C 2 進行有效的設(shè)計時并不保證冷卻系統(tǒng)其他水道存在有效的設(shè)計。例如，如果一個點 選定如圖 6（d）所示，則× 2 ∈[ 8 ,10 ] ,那么由P，× 3 ∈ [6 ，8 ] ，在 并沒有有效點和 在這個區(qū)間。2FR4FR3X上述例證表明，在為水道 設(shè)計時，只考慮與 相鄰并有一個共同軸的 的自由區(qū)11C2C域 和 是不恰當?shù)?。事實上，其他所有?都必須加以考慮，盡管他們的 C 空12 iFR間并沒有共同軸和 （且他們也不和 C 1 相鄰 ），因為組成冷卻系統(tǒng)的冷卻水道是相1C接的。一個自由度的選擇會影響冷卻系統(tǒng)另一自由度的選擇。為每一個獨立水道的 C 空間發(fā)展一個設(shè)計的過程，主要關(guān)注的是：在一個水道 C 的空間選擇一個點后，必須始終存在和所有其他 s i 相應(yīng)的點，以使所有的水道可以連接到一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。為解決這一問題， 到每個量 s i 的投影是必FR要的。 （c）在與 相交以后的自由區(qū)間 （d）為 C1 和 C2 設(shè)計的一個有效點 P1 使 C4 成2FR為無效的設(shè)計。圖 6定義 3 。 定義為 到 投影iPRFiS= PRO ( )iiSJ顯然，對在 選定的任何點 ，始終存在著相應(yīng)的點 在 中 ，因為 和 都是i iPjPiRiPj點 在 的投影，在 中選中的任何點，很明顯總是有一些相應(yīng)的設(shè)計對應(yīng)其他F所有的渠道以使這些水道可以連接在一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。因此，為了保證冷卻系統(tǒng)能有效的設(shè)計， 的構(gòu)建是很重要的。根據(jù)定理 3， 為 到 投影。iRiFiS然而，如在第 2.4 節(jié)所討論的，我們并不想構(gòu)建 基于大容量空間和繁瑣計算要求。FR另一種可供選擇的更有效的方法是直接構(gòu)建 。而不是作用在高維空間 ，這個方iP法通過一個工作在空間三維或更少維數(shù)的序列運行來建構(gòu) 。i該方法正式介紹之前，在圖 6 所舉的例子再次被使用來說明這種方法的基本概念。為了開始一個設(shè)計過程，在 的點 P 1 =（× 1，× 2 ）首先被選擇如圖 7 所示 。1FR因為 有一點 在 中 ， 必須有一個值，以使我們可以找到 =（× 2 ，× 3 1P2xX2x P）在 。又 有一個坐標 在 ，坐標 必須有一個值，以使我們可以找到2FR33x=（× 3 ，× 4 ）在 。此外，因為在 有 和 ， =（ ， ）必須4FR3X43x4在 。圖 7 顯示了為水道 構(gòu)建一個有效設(shè)計的點 、 、 和 的順序。4 1C1234上述例子顯示，為了在代表 所有的有效設(shè)計的 中確定有效的區(qū)間，自由區(qū)域S應(yīng)首先考慮。 的影響應(yīng)該可以 “促使” 以確定有效的區(qū)間在 中，然后4FR4FR3 3FR是 ，最后是 。在 的有效區(qū)域產(chǎn)生的結(jié)果包括 、 、 、 的所有影2S1S1FR234響。為達到這一目的，組合的運作正式被界定。定義 4 （組成）對于在一個冷卻系統(tǒng)里的兩個相鄰水道 和 ，他們從 到 的自由區(qū)域的組iC1i?iC1i?合，標注為 ，而他們從 到 自由區(qū)域的組合，標注為 ，定義如下：i1，?CR1i?i ，R(b)FRi 每個通道的自由地區(qū) Si 的配置空間圖 6 冷卻系統(tǒng)設(shè)計的一個簡化的例子對于冷卻系統(tǒng)一個水道{Ci}序列的構(gòu)成， 從 到 自由區(qū)域的組成，標注為 ，iCj ij，CR定義如下文。如果如果如果圖 8 顯示了促使 構(gòu)建的組合序列。第一步是要構(gòu)建 ，就像圖 8（a）所示這4,1CR4,3CR已被給定在 =PROJ (FR ) FR ， 。然后如在圖 8（b）所示 CR 的構(gòu)建由公式,33S4?3 4,2CR =PROJ ( ) FR 得。最后，CR ，由 CR =PROJ ( CR ) FR 。如圖4,22S4,3CR?24,14,11S4,2?18（c）所示。從圖 8（c）很明顯的得出，CR 對組成冷卻系統(tǒng)的所有水道的自由區(qū)域,存在著影響。因此，對于 CR 中的任意一點，可以保證冷卻系統(tǒng)的一個有效設(shè)計可以4,1被構(gòu)造。通過組合序列的運用，一個有效的設(shè)計可以通過在每個 中選擇點獲得。在其他所iS有水道的自由區(qū)域已經(jīng)組合到 中時。不過，我們也想確保沒有將有效的設(shè)計從自由iS區(qū)域中排除，當組合序列被應(yīng)用以后。否則，有些可能提供更佳的冷卻性能的有效設(shè)計將不能用這個方法得到。以 C 的設(shè)計為例，圖 8（c）的 CR 不僅僅代表著 C 一部1 4,11份有效設(shè)計，而且代表著 C 所有的有效設(shè)計，這對 C 來說尤為重要。為了解決這一問1題，我們提出以下定理：應(yīng)用水道{C }的一個序列{C },i [1, ]到冷卻系統(tǒng)。i i?cn定理 2 定理 2 說明代表水道 C 所有有效的設(shè)計 PR ，可以通過 和 之間的一個布1i 1，iCRCin，爾交點得到。這定理的一個重要特點是 PR 可以在三維立體空間中計算得到，因i和 都在 S 中，所以交點在 S 中。此外 和 也可以通過在 中的1，iCRCin， i 1，iCin， jS區(qū)間相交得到。這樣，PR 可以通過在三維立體空間的序列得到。如果在第 2.4 節(jié)中的i假設(shè)說明再次被使用，即是說如果每個 通過 M 個三維立方體近似得到，那么iFR和 PR 也可以用 M 個三維立方體表示。所以， n m 所有的三維立方體需要代表所j，ii c有的 PR 。因此可以證明三維立方體之間的交點 O 需要產(chǎn)生所有的 PR 。因此，使用定i理 2 可以防止在高維空間存儲區(qū)域的需要，并可以避免高容量和繁瑣計算的要求如在定理 1 所證明的。圖 8 CR 構(gòu)建所用的序列4,1以下給出了定理 2 的證明 。它由兩部分組成：該引理中所使用的證明如附錄所示。 3.1 定理 2 證明（1） 為了證明：（i） 由 pi?1i，CR因為 p ii， 和 有相同的坐標在 和iP1-i iS1-i用同樣的方法，我們可以確定一點 以使 和 具有相同的坐標在 和2-iP?2-iFR1-iP2-i 1-iS。 使用這種方法，我們也可以確定一系列點 ，k [1,i -1],以使 ，2-iS p?kp?FR那么 和kp1?具有相同的坐標在軸線 和 。kS1?（ ii） iP?CRni， （ b） 由 PROJ ( ) 構(gòu)建 4,2CR2S4,3R?2F用類似的方法，我們可以確定另一系列點 ，k [i+1, ],以使 ，那么 和p?Cnkp?FRkp1kp?具有相同的坐標在軸線 和 。kS1?由（i）及（ii）知，我們確定了一系列的點 ，k [1, ],以使 ，在連續(xù)pCnkp的任何兩個相鄰的點具有相同的坐標在他們的共同軸線。對于由一系列冷卻水道{ }構(gòu)成的冷卻系統(tǒng)，在兩相鄰水道 和 的 C 空間 和iCi1i?iS總是存在著一些共同的軸線由于它們之間的空間聯(lián)系。此外，如果在 和 的 C1?iS ij空間有一個公共軸 ， 也必須存在于 和 間所有水道的 C 空間。所以，由上述cXij方法構(gòu)建的一系列點 ，k [1, ]將為 的每個軸提供唯一的坐標。令 為由坐標p?CnFSFp構(gòu)建的點。很明顯： （ c） 由 PROJ ( ) 構(gòu)建4,1CR1S4,2R?1F用類似的方法，可以得到：初始設(shè)計給定一個為冷卻系統(tǒng)指定一系列水道和他們理想幾何尺寸的初步設(shè)計，第一步是為每個水道建構(gòu)一個 。然后，每個水道的 可以通過應(yīng)用定理 2 的組合操作得到。為iFRiPR冷卻系統(tǒng)產(chǎn)生初始設(shè)計的一個方法是，是要從 中選出一套坐標。為了簡化解釋，假i設(shè)每個水道 詞擁有自由度 和 ，而 和相鄰的水道 有著相同的坐標。為iCiX1?i1?i 1i?C了生成一個設(shè)計，在 的點（ ， ）必須被選擇。然后，點 被選擇為了讓（iP2 3X， ）在 中。此選擇2X32R4． 候 選 設(shè) 計 產(chǎn) 生由于冷卻系統(tǒng)初始設(shè)計對水道系列和它們的理想幾何結(jié)構(gòu)進行了具體化，第一步要做的是為每個水道建立 FRi，然后通過將復(fù)合應(yīng)用應(yīng)用到定理 2 中得到每個水道的PRi。一個產(chǎn)生冷卻系統(tǒng)候選設(shè)計的方法是從如后 PRi 系列中選出坐標系。為簡化闡述，假設(shè)每個水道 C 的自由度為 和 ， 被鄰近水道 共用。為得到一個設(shè)計，i iX1?ii 1?iX選擇了 PR1 中的一個點（X1，X2），然后，選擇一個 X3 使（X3，X2）在 PR2 內(nèi)。這個選擇過程在下一個水道 PR 坐標中重復(fù)，直到確定所有的自由度時停止。此方法的一個重要的特點是在一個步進中無論坐標值如何選取，后續(xù)步驟中總存在一個下一坐標可選有效值。5．應(yīng)用源運算法則的自動化設(shè)計過程為測試 C-空間方法在支持自動化布局設(shè)計過程時的可行性，在 C-空間建立項目中插入與應(yīng)用了一個簡單源運算法則（GA）[25]。在實施 GA 時候用到了一個簡單的染色體結(jié)構(gòu)，它由一系列 nF 真值[g1g2…gnF]組成，其中 gi 的真值在 0～1 之間，nF 冷卻系統(tǒng)的自由度。為得帶一個形狀設(shè)計，用到了前面部分提到的方法和應(yīng)用 g 作為一個百分比值來選擇坐標。例如， 中坐標 的有效值的在區(qū)間 和 ，其中，就得 的選取值為 ，（也就是 在第一區(qū)間）否則 就設(shè)置為（也就是 在第二區(qū)間內(nèi)）一個單點交叉操作，一個轉(zhuǎn)化操作和轉(zhuǎn)跡線輪選擇方法[26]被用于 GA 過程中。之前研究中提到的模糊記值方法[13,14]對相對于機構(gòu)的候選設(shè)計的適合性進行快速評定。必須注意的是在在 GA 過程開始之前，建立起每個水道的 ， 經(jīng)過一次建立得到，因此不會影響 GA 演變過程的計算時間。下一部分給出了一些由 GA 過程得到的布局設(shè)計實例。6.實例研究圖 9（a）顯示出了實例部分的 2 個觀察結(jié)果。圖 9（b）顯示了當只考慮系統(tǒng)冷卻效果時，具體給出每個冷卻水道的理想位置的冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計。（為了便于表征，只給出了行腔部分冷卻系統(tǒng)的圖示）。在理想位置上，水稻 C5 和模具組成 發(fā)生干涉現(xiàn)象。用提出的方法進行布局設(shè)計， 自動化，就建立起了每個水道的 。例如，圖 9（g）和（h）顯示了水道 的 和 。值得注意的是 是通過將 和其他復(fù)合得到，因此 是 亞設(shè)置，如數(shù)據(jù)明顯指出。在所有的 計算完成之后，GA 過程開始調(diào)用，圖 9（j）顯示了演變過程中得到的初始設(shè)計最大適合值。最大適合值在產(chǎn)生值接近 600 時開始收斂。如圖 9（c）所示，冷卻系統(tǒng)由 15 個 自由度組成，他們的值在表 1 中列出。叫“初始設(shè)計”的行顯示初始設(shè)計 的值。下一行顯示設(shè)計1 的值，它是 GA 過程在 1000 生產(chǎn)后得到最好的設(shè)計。如表中明顯之處，涉及 1 通過減小 1.21mm 得到。圖 9（d）顯示設(shè)計 1，這個調(diào)整對應(yīng)于 沿著 Z 方向減小以消除和 之間的干涉。這個調(diào)整對水道 和 到 也適用。表 1 也顯示設(shè)計 1 中所有其它的 值都保持在規(guī)定初始至 0.2mm 誤差以內(nèi)。為更好的表征 C-空間方法，模成分 沿著 Y 方向移動同 相截，如圖 9（e）所示。這個新障礙增加了自由區(qū)域 的約束以至于 方向體移動性受到很大限制。這個效應(yīng)在更新 中顯示出來，如圖 9（i）所示，其中只有 的上部分在圖 9（h）中顯示出來。以所有水道新的 再次調(diào)用 GA 過程以獲得設(shè)計 2。適合值在圖 9（k）中顯示。值得注意的是最佳適合值比設(shè)計 1 中獲得的要小。這很合理，因為約束的增加，偏移量與真實值的差距很大。又 GA 過程獲得的 值在表 1 的最后一行中顯示出來。如表中所示， 調(diào)整 5mm 以清除同 的干涉。這同沿 Z 方向移動水道 到 相對應(yīng)?，F(xiàn)在 和 截面不能通過調(diào)整 使其光亮。而調(diào)整 和 ，相應(yīng)地將 沿-Y 方向移動2.94mm， 沿-X 方向移動 6.22mm 如圖 9（e）所示。為保持連結(jié)性， 和 也作相應(yīng)的調(diào)整。設(shè)計 2 顯示，當一個水道的約束數(shù)（如 ）變化時，提出 C-空間方法很好的將這個效應(yīng)傳播到其它水道（如 和 ）中去，以至于所有這些水道的可行設(shè)計組得到相應(yīng)的調(diào)整。C-模型冷卻分析用于分析設(shè)計得到的布局圖。從圖 10（a）到（d）可見，兩個設(shè)計中，冷卻時間為 20s 時，最高模-壁溫度在 以上。它們的最大溫度偏差小于 ，這表明兩種情形下，提出的方法能夠得到滿意的設(shè)計布局。從圖 10（c）和（d）觀察得到，同設(shè)計 2 比較，涉及 1 中工件大部分沒有產(chǎn)生變色。這表明在設(shè)計 1 中很多工件的溫度偏差在 以內(nèi)。這是因為在設(shè)計 2 中，隨著空腔中的水道向模壓移動了5mm，冷卻效果變得不均勻，這表示當施加很多約束時，保持初始理想冷卻效果很困難。它也解釋了為什么設(shè)計 2 的最大適切性稍微小于設(shè)計 1 的最大適切性。（a）示例零件（b）冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計（a）冷卻系統(tǒng)的 15 個自由度（b）設(shè)計 1（b）移動 和 相交2O13C（b） 設(shè)計 2圖 9 分層設(shè)計表 1.冷卻系統(tǒng)的自由度7． 討論與結(jié)論在執(zhí)行 C-空間方法中，一個單元列舉方案被用于簡化這個方法的執(zhí)行，在目前的執(zhí)行中，C-空間一維分辨率為 0.15mm。對冷卻系統(tǒng)設(shè)這個分辨率是足夠的，因為對一個好的調(diào)整，如 0.01mm，冷卻系統(tǒng)的功能變化是很難發(fā)現(xiàn)的，然而，該研究中所發(fā)展的理論與方法并不局限于相應(yīng)的表現(xiàn)項目。實際上，基于理論 2 的方法，所有 C-空間計算和存儲都在 3 維空間內(nèi)完成，因此標準校核模型技巧可以應(yīng)用。 該研究的一個主要貢獻是發(fā)展了一個特別的支持布局設(shè)計的 C-空間方法。應(yīng)用這個 C-空間方法，所有的可行布局設(shè)計很好的被顯示出來。同時我們得出了該方法不僅可以用于冷卻系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)化設(shè)計支持，還可以用于生產(chǎn)制造。該方法克服特殊啟發(fā)產(chǎn)生布局設(shè)計的局限，如前面的方法[13，14]。這個 C-空間方法能夠獨立作為一個系統(tǒng)去支持互動布局設(shè)計。它使設(shè)計者在不用檢查冷卻系統(tǒng)截面和其它模型插件能夠開發(fā)出設(shè)計方法。該研究主要目的集中在冷卻系統(tǒng)設(shè)計的幾何形狀構(gòu)成方面。在設(shè)計冷卻系統(tǒng)時，其它參數(shù)如冷流率，冷卻時間，包裝時間，擠出時間都需要被考慮進來。一個可行的方法就是將這些所有參數(shù)進行考慮插入配備更復(fù)雜的 GA 的 C-空間方法，如[8]報道所示。需要對該方法進一步研究，其他研究方向包括 C-空間方法處理冷卻系統(tǒng)拓撲變化和具體設(shè)計約束，如初始設(shè)計選擇水道之間的變化幾何形狀和拓撲約束扽。鳴謝該文章中所完成的工作得到香港城市大學(xué)戰(zhàn)略研究部（項目 No.7001775）的大力支持。（a）設(shè)計 1 的模具溫度 （b）設(shè)計 2 的模具溫度（c）設(shè)計 1 零件的不同溫度 （d）設(shè)計 2 零件的不同溫度圖 10。用 CAE 模具冷卻分析系統(tǒng)比較這兩個布圖設(shè)計引理 2在 中給定兩個區(qū)間 和 。如果 ，那么nSnR‘nR?引理 3 在 中給定 ，那么nS引理 4 在 中給定任意兩個 和 。如果 ，則它們對 的投影滿足：mSmR'?mX?nnS引理 5 給定兩個區(qū)間 和 滿足 。則在 中的區(qū)間 滿足：nSm?X?nmSmR引理 6 給定三個區(qū)間 、 和 滿足 和 。則在 中的區(qū)間 滿足：nSml?mX?n?lnXlSlR引理 7 引理 8 給定兩個區(qū)間 和 滿足 ，其中點 在 中，點 在 中，如果nSm?X?nnpSmRS那么： 定理 1參考文獻： 用配置空間的方法對注塑模冷卻系統(tǒng)進行設(shè)計c.g.李， c.l.李* 香港城市大學(xué)制造工程及工程管理部，香港2007 年 5 月 3 日收到; 2007 年 11 月 18 日接納摘要注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。盡管已有各種針對冷卻系統(tǒng)的分析、優(yōu)化和制作的研究，但冷卻系統(tǒng)的布局設(shè)計方面并沒有得到很好的發(fā)展。在規(guī)劃設(shè)計階段，我們主要關(guān)注的是冷卻系統(tǒng)的可行性和其他模具組件插入是否發(fā)生干預(yù)。本文介紹了利用配置空間（C 空間）的方法來解決這一重要問題。然而高維配置空間方法一般需要處理一個如冷卻系統(tǒng)般復(fù)雜的系統(tǒng)，冷卻系統(tǒng)的特殊特點設(shè)計目前正在探索研究中，利用 C 空間在三維空間或更低維空間計算和存儲的特別技術(shù)也在發(fā)展中。這種新方法是由作者對以前啟發(fā)式方法的改善，因為 C 空間的代表性能使自動布局設(shè)計系統(tǒng)在所有可行的設(shè)計中進行更系統(tǒng)的搜索。自動生成候選布局設(shè)計的一個簡單的遺傳算法是 C 空間代表性的實施和綜合。遺傳算法所產(chǎn)生的設(shè)計實例，給這種方法提供了可行性證明。 c 2007 Elsevier 公司有限公司，保留所有權(quán)利。關(guān)鍵詞: 冷卻系統(tǒng)設(shè)計；注塑模具；配置空間的方法1.導(dǎo)言注塑模的冷卻系統(tǒng)對注射模具的成型過程和塑料零件質(zhì)量影響是非常重要的。大量涉及對冷卻系統(tǒng)分析[ 1,2 ] ，及商業(yè) CAE 系統(tǒng)，如 Moldflow [ 3 ]和 moldex3d [ 4 ] 的研究被廣泛應(yīng)用于工業(yè)。以優(yōu)化某一特定的冷卻系統(tǒng)的研究技術(shù)亦已報道[ 5-8 ] 。最近，通過使用新形式的制造技術(shù)以建立更好的冷卻系統(tǒng)的研究已被報告。徐等人[ 9 ]報道了他們的模具意念：保持一定距離的冷卻水道的設(shè)計和制作。孫等人[ 10,11 ]用數(shù)控銑床銑削生產(chǎn) U 形槽冷卻渠道和俞[ 12 ]提出了一個棚架形冷卻結(jié)構(gòu)的設(shè)計。盡管各種研究的重點主要集中在冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計過程中冷卻系統(tǒng)的功能實現(xiàn)問題，布局設(shè)計階段過程中沒有得到很好發(fā)展的冷卻系統(tǒng)的可行性和可制造性設(shè)計問題。關(guān)注的重點主要是：在初步設(shè)計階段冷卻系統(tǒng)的可行性且與其他的模具部件是否干預(yù)。如圖 1 所示 。從中可以看到注塑模的各子系統(tǒng)許多不同的組成部分，如噴射器的管腳，滑塊等等，都必須裝入模具中。為每個回路冷卻水道尋找最佳位置以優(yōu)化冷卻性能并避免與其他組件干擾不是一項簡單的任務(wù)。另一個讓規(guī)劃布局設(shè)計更復(fù)雜的問題是，單獨的冷卻水道需要和出水道和進水道連接而形成一條環(huán)形水道。因此，改變一條水道的位置，其他水道可能也需要改變。 在圖 2 所示 。優(yōu)化冷卻系統(tǒng)的每個水道的理想位置都如圖 2（a）所示 。假設(shè)當冷卻系統(tǒng)及其他模具組件都裝入模具內(nèi)部時，模具組件 O1 和水道 C1 是干擾的。因為 C1 與其他組件可能的干擾而無法移到附近的一個位置，它必須被縮短長度。因此， 通過移動 C2 和延長 C3 使他們保持連接，如圖 2（b）所示。基于其新的長度， C3 又與其他模具組件 O2 發(fā)生干擾，進一步修改是必要的，最后的設(shè)計結(jié)果如圖 2（c）所示 。鑒于一個典型的注塑模具可能有 10 條以上的冷卻水道，每個水道與其他模具組件都可能存在著潛在的干擾，手工找出一個優(yōu)化布置設(shè)計是非常繁瑣的。 本文介紹了一種在設(shè)計過程中支持自動布局的新技術(shù)。對于這種新技術(shù)，配置空間（C 空間）的方法是用來在所有可行的設(shè)計中提供一個簡潔的有代表性的布圖設(shè)計。C 空間的代表性是通過利用解決布局設(shè)計問題這個特殊特點的有效方法構(gòu)建的，而不是采用啟發(fā)式規(guī)則來生成的布局設(shè)計，這就就好比以前作者開發(fā)的自動布局設(shè)計系統(tǒng) [ 13,14 ] ，這個新的 C 空間方法能使自動布局設(shè)計系統(tǒng)在所有可行的布圖設(shè)計中進行更系統(tǒng)的搜索。2.配置空間的方法一般來說， 一個系統(tǒng)的 C 空間是當該系統(tǒng)的每個自由度被視為一個層面的結(jié)果而導(dǎo)致的空間。配置空間中的區(qū)域被標記為堵塞區(qū)域或自由區(qū)域。在自由地區(qū)的點對應(yīng)于組件間沒有相互干擾的系統(tǒng)的有效配置。在被堵塞區(qū)域的點對應(yīng)于組件間相互干擾的系統(tǒng)的無效配置。 C 空間最初被洛薩諾-佩雷斯定形 [ 15 ]以解決機器人路徑規(guī)劃的問題和關(guān)于這方面的研究一項調(diào)查已被明智和鮑耶 [ 16 ] 報道 。C 空間的方法也被用來解決定性推理方面的問題（例如，[ 17,18 ] ）和運動裝置的自動化分析與設(shè)計（例如， [ 19-21 ] ） 。作者在由多個國家組成的自動設(shè)計機構(gòu)做研究時[ 22 ， 23 日]研究了一種 C 空間的方法。 （a） 冷卻水道 C1 和模具組件 （b）c1 截短，c2 移動，c3 延長O1 干擾發(fā)生在理想的位置 （c）c3 移動，c2 截短從而效果最佳圖 3 冷卻系統(tǒng)的自由度2.1 一個冷卻系統(tǒng)的 C 空間一個高維 C 空間可以用來表示給定的某一冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計中所有可行的布圖設(shè)計。圖 3 給出了一個例子。冷卻系統(tǒng)的初步設(shè)計由 4 冷卻水道組成。從初步設(shè)計中生成一個布局設(shè)計，渠道的中心和長度需要被調(diào)整。正如圖 3 所示，該水道 c 1 的中心可沿著 X1 和 X 2 方向移動，其長度可以沿 X 3 方向調(diào)整。同樣地，C2 長度的可以沿 X 4 方向調(diào)整，而其中心可以按 X1 和 X 3 所描述的調(diào)整 ，因此必須與調(diào)整 C 1 保持連接性的情況相同。通過運用類似的觀點對其他水道，可以看出，冷卻系統(tǒng)有 5 個自由度，它們都是標注為 Xi，i= 1 ， 2 ，…… 5 。原則上， C 空間是一個五維空間而這個空間的自由區(qū)域中的任何一點都給定了一個對應(yīng)的坐標值在 X i 軸上，可以用來界定渠道的幾何位置且沒有與其他模具組件造成干擾。在一個冷卻系統(tǒng)的高維 C空間中確定一個自由區(qū)域，第一步是在獨立水道的 C 空間中構(gòu)建自由區(qū)域。2.2 獨立水道的 c 空間構(gòu)造當一個獨立的水道 c1 被確定為單獨時，它有三個自由度，則 X 1 和 X 2 為其中心位置而 X 3 是它的長度。因為理想的中心位置和長度已經(jīng)在初步設(shè)計中指明，因此假定一個固定的允許最大變化量 δ C 為 X1 ，X2 ，X3 是合理的。c1 水道的 C 空間中最初確定的自由區(qū)域，是一個尺寸為 δc×δc×δC 的三維立方體。為避免與模具組件 oi 發(fā)生任何可能的干擾當水道通過鉆孔插入模具內(nèi)部時，鉆頭直徑 D 和沿 X3 的鉆孔深度必須考慮。假設(shè)直徑 D ，Oi 開始時用 D/2 +M 對于 O "抵銷，其中 M 是水道內(nèi)壁和附近的一個組件間所允許的最短距離。Oi 的增長有效的減少了水道 Ci 的長度對于直線 Li 來說 。以圖 4 為例子 。圖 4（a）表明了水道 Ci 和三模具組件 O1、O2、O3 可能會與 Ci 發(fā)生干擾。圖 4（b）顯示了模具組件 O' , O ', O '和 O "的偏移及 Ci 相對于線段 Li 的減少量與 Ci 的 x 值相符情況。如果 Li 和模具其他組成部分沒有交匯點，那么，原來的水道 Ci 將不會與模具組件相交。（a） 水道 Ci 和模具的 （b）模具組件和 Ci 相對 Li 的偏移三個組件 （c） 模具組件和 Ci 相對 Pi 點的補償 （d）Ci 的自由度（e）Oi 相對 Pi 的減少量 （f）Ci 的自由點 Fri圖 4 在一個通道 CI 自由區(qū) FRi 施工的主要步驟水道是通過鉆孔從對模具的表面插入的，任何如 Oi 的障礙以及鉆孔深度將會影響水道的構(gòu)建。鉆孔深度及 Oi 的補償 O"沿鉆孔的方向延伸，直到鉆到模具對應(yīng)的另一面生成水道為止。Oi 相對 Pi 沿直線 Li 的減少至 Li 的終點。如圖 4（c）所示，如果點 Pi 位于 Oi"之外 ，沿 Li 鉆孔產(chǎn)生水道 Ci 是可行的。水道 Ci 的自由區(qū)域 Fri 用如下方法取得。首先，初始自由地區(qū) Bi 是用如圖4（d）所示的 Pi 點作為中心構(gòu)建的。然后插入與模具交叉取得 B 0 。 B 0 代表 Ci 所有可能的變化當僅考慮插入的模具幾何形狀時。然后 Fri 是從所有障礙的 Oi 中減去Bi 獲得。圖 4（e）和（f）顯示了這種減法以及這種例子的結(jié)果 FRi。2.3 基本接近法構(gòu)建冷卻系統(tǒng)的 C 空間在一個冷卻系統(tǒng)的 C 空間中確定自由區(qū)域 FRF，每個冷卻水道的自由區(qū)域必須以一個適當?shù)姆绞健敖徊妗保允拐系K的效果能恰當?shù)耐ㄟ^ FRF 描繪對于所有水道來說。然而在兩個不同水道之間的自由區(qū)域的標準布爾交叉口無法執(zhí)行，因為他們的 C 空間在一般跨距于不同的軸線。以圖 3 為例子 ，C1 和 C2 的 C 空間分別為（ X1 ， X2 ，X 3 ）和（X 1 ，X3 ，X4 ）。為了更方便在不同的 C 空間中的自由區(qū)域之間確定交叉口，從一個渠道和另一個渠道的 C 空間中推算一個地區(qū)是必要的。以下批注首先介紹了并將用于隨后的討論和其余的文件。標記法用于描述高維空間S n 是指一個通過坐標定義的 n 維空間= {X 1, X 2, . . . , X n}.Sn 是指一個通過坐標定義的 m 維空間= {X , X , . . . , X }.mPn 是指在 Sn 的一個點 p n = (x 1, x 2, . . . , x n) Rn 屬于區(qū)間 S n(R n S n) ?標記法用于描述冷卻系統(tǒng)n c 指在冷卻系統(tǒng)中水道的數(shù)目。 n f 指冷卻系統(tǒng)總的自由度。 ci 指冷卻系統(tǒng)第 i 個水道。 s i 指 Ci 的 C 空間。FRi 是指在 Si 中的自由地區(qū)。也就是說，它是獨立水道 Ci 的自由區(qū)域。 SF 指冷卻系統(tǒng)的 C 空間。 FRF 是指 SF 中的自由區(qū)域。也就是說，它是冷卻系統(tǒng)的自由區(qū)域。假設(shè) Pn 在 Sn 中，Pm 在 Sm 中，圖 5（a）用一唯和三唯的的空間點明了突出的例子(i) (ii) ；而(iii) ， 且mX?nn?mXm?nXmX?n??對(i)Pn 和 Pm 的坐標是一樣的如果 Sn 和 Sm 在同一區(qū)間時。對(ii)和(iii)Pn 在區(qū)間Rm 中。因為 Pm 在 Rm 中，當點位于 Sn 和 Sm 中時 Pn 等于 Pm。而對另一坐標 Pm 其可以是任意值；特別對(ii)和(iii)，假設(shè)水道 Cn 和 Cm，因為它們相近所以必須連接。這樣它們的 C 空間 Sn、Sm 有相同的坐標值。假設(shè)那是一個結(jié)論？對應(yīng)到在 S n 中一個點P n 已選定為 Cn。保持連通性，結(jié)論呢？ Cm 必須被選擇在以使 Sm 中的相應(yīng)點 Pm 與 P n 共用相同坐標在共同的軸線。這意味著 Pm 和 PN 可以是任何點在區(qū)間 Sm 中，該方法已經(jīng)在前面予以定義。在區(qū)域 Sn 和 Sm 中的一區(qū)域 Rn 是 Rn 和 Sm 中每一點的簡化。圖5（ b ）說明了相應(yīng)的區(qū)域。投影的正式定義如下面所示。定義 1 （投影）1.1.如果 Xˉ m? Xˉ n, PROJ Sm ( pn )是一個點 =(x ,x ,……,x ),因為 X = Xj, x mP‘1’2m‘i’i= xj因為 i [1,m]。為了在隨后的討論中簡化符號，這一投影是被視為單獨點 Pm 的區(qū)間。?也即是 PROJ Sm ( pn )={Pm} 。.1.2.如果 Xˉ m? Xˉ n， PROJ Sm ( pn )是一個區(qū)間 { pm |PROJ Sn ( pm ) = { pn }}.1.3.如果 Xˉ m Xˉn , Xˉ n Xˉm ,并且 Xˉ n∩ Xˉ m , PROJ Sm( pn )是一個區(qū)間 Rm = { ???pm|PROJ SI( pm ) = PROJ SI( pn )},其中 Si位于區(qū)間 Xˉ n∩ Xˉ m ，如果 n∩ Xˉ m = ， PROJ Sm( pn )則定義為 Sm。?1.4.ROJSm(Rn) 定義在區(qū)間 Rm={Pm|Pm PROJ (Pn),Pn Rn}.?mS正如在 2.1 節(jié)所討論的，在 FR 中的任意點 P 為冷卻系統(tǒng)的每個自由度給定了一個值，F(xiàn)F使水道與其他模具組件在幾何空間是不會發(fā)生任何干涉。另一方面， P 相對每個點 s Fi 的投影是，在 Ci 的每個自由區(qū)域 FR 中。因此，F(xiàn)R 定義如下。i定義 2 （一個冷卻系統(tǒng) C 空間的自由區(qū)域）FRF = { pF | P R O JSi ( pF ) FRi , i ∈ [1, nC ]}? 圖 5 點和區(qū)間在 Sn 至 Sm 區(qū)間中的投影。根據(jù)定義 1.1 知道， 從 到 的區(qū)間投影始終只包含一個單一的點，因為跨距 s iFPiS始終是 s n 一個子軸線. Ci 的每一個自由區(qū)域 FR 的構(gòu)造，已經(jīng)在第 2.2 節(jié)中解釋。i從 FR 中找出 FRF，下面的定理是很有用的。 i定理 1 . 這定理很直觀表明為找出 ，所有的 FR 首先投影到冷卻系統(tǒng) 的 C 空間. 可FRi FSFR以從投影的布爾交叉口得到。定理 1 的證明和所用的引理，都已在附錄中標出。2.4.C -空間的表示和計算為了表示自由區(qū)域 和便于在一個高維空間的區(qū)域布爾交叉口之間的計算，我們可FR以利用類似 [ 21,24 ]中的一種細胞枚舉法?；舅悸肥怯靡桓呔S立方體在 中逐漸FS靠近一高維區(qū)間 。每個立方體是通過對每個軸指定間隔來確定的。兩個區(qū)間的交匯點是通過兩個立方塊交匯點所取得的。兩個高維立方體的交叉點只不過是在每個軸的立方體之間間隔的普通交叉點。假設(shè)每個 FR 是近似由 m 個三維立方體組成，投影 PROJ S（FR ）便可近似由i i維立方體組成。使用定理 1 對 的構(gòu)建，需要 在 n -三維立方體中交叉，F(xiàn)mnFRcmF是用一個 n -三維立方體只中的最大值表示。雖然用來代表交叉點中間結(jié)果的立RF方體的數(shù)量和 可通過特殊技術(shù)減少，可以預(yù)料到記憶和計算的要求仍然是這種方法的主要問題。在下一節(jié)中將介紹一種更先進的方法。（二）在配置空間 Si 中每個水道的自由區(qū)域 。iFR（一）一個擁有四個水道和四個自由度的簡單冷卻系統(tǒng)3.C 空間構(gòu)建的一種有效率技術(shù)對 的表示和構(gòu)建時為了避免高的內(nèi)存和計算的要求，我們選擇不表示和不計算FR。相反，我們專注于對每一獨立水道的 C -空間計算過程是否有效的技術(shù)。首先，我們看顯示在圖 6 的簡化設(shè)計例子 。假設(shè)在這個例子中模具沿 z 方向插入時在 FR 中i不存在變異，那么冷卻系統(tǒng)有四個如圖 6（ a ）所示的自由度。每個水道 的 Si 是iC兩維和假設(shè)的 FR 如圖 6（ b ）所示。為水道 考慮一個簡單的設(shè)計方法。首先，點i i可以從 FR 中 選擇，以使 不會和任何障礙發(fā)生干涉。然而， 由 X 1 和 X 2 確定 1Pi iCS，而 X2 在 S 2 中 。因此那些在 S 2 中的障礙所施加的 約束，還必須考慮。為了找出設(shè)計 的所有可行點， 是與 “交叉” 。這個 “交叉點”結(jié)果如圖 6（ c ）所1C1FR示，這是通過移動區(qū)間 x 2 < 6 得到的 ，因為該自由區(qū)域 ，× 2 [ 6 ， 10 ] 2FR??，F(xiàn)在，如圖 6（ c ）所以示給定一個與任何障礙不發(fā)生干涉的水道 ，并在其自由1C區(qū)間的任何一點的選定，始終為 C 2 存在著這樣一種設(shè)計：例如，它可以連接到（他們都有一個共同的× 2 值）并和任何障礙不發(fā)生干涉。然而，這個簡單方法的1一個主要問題是在為 C 1 和 C 2 進行有效的設(shè)計時并不保證冷卻系統(tǒng)其他水道存在有效的設(shè)計。例如，如果一個點 選定如圖 6（d）所示，則× 2 ∈[ 8 ,10 ] ,那么由P，× 3 ∈ [6 ，8 ] ，在 并沒有有效點和 在這個區(qū)間。2FR4FR3X上述例證表明，在為水道 設(shè)計時，只考慮與 相鄰并有一個共同軸的 的自由區(qū)11C2C域 和 是不恰當?shù)摹Ｊ聦嵣?，其他所有?都必須加以考慮，盡管他們的 C 空12 iFR間并沒有共同軸和 （且他們也不和 C 1 相鄰 ），因為組成冷卻系統(tǒng)的冷卻水道是相1C接的。一個自由度的選擇會影響冷卻系統(tǒng)另一自由度的選擇。為每一個獨立水道的 C 空間發(fā)展一個設(shè)計的過程，主要關(guān)注的是：在一個水道 C 的空間選擇一個點后，必須始終存在和所有其他 s i 相應(yīng)的點，以使所有的水道可以連接到一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。為解決這一問題， 到每個量 s i 的投影是必FR要的。 （c）在與 相交以后的自由區(qū)間 （d）為 C1 和 C2 設(shè)計的一個有效點 P1 使 C4 成2FR為無效的設(shè)計。圖 6定義 3 。 定義為 到 投影iPRFiS= PRO ( )iiSJ顯然，對在 選定的任何點 ，始終存在著相應(yīng)的點 在 中 ，因為 和 都是i iPjPiRiPj點 在 的投影，在 中選中的任何點，很明顯總是有一些相應(yīng)的設(shè)計對應(yīng)其他F所有的渠道以使這些水道可以連接在一起形成一個有效的冷卻系統(tǒng)。因此，為了保證冷卻系統(tǒng)能有效的設(shè)計， 的構(gòu)建是很重要的。根據(jù)定理 3， 為 到 投影。iRiFiS然而，如在第 2.4 節(jié)所討論的，我們并不想構(gòu)建 基于大容量空間和繁瑣計算要求。FR另一種可供選擇的更有效的方法是直接構(gòu)建 。而不是作用在高維空間 ，這個方iP法通過一個工作在空間三維或更少維數(shù)的序列運行來建構(gòu) 。i該方法正式介紹之前，在圖 6 所舉的例子再次被使用來說明這種方法的基本概念。為了開始一個設(shè)計過程，在 的點 P 1 =（× 1，× 2 ）首先被選擇如圖 7 所示 。1FR因為 有一點 在 中 ， 必須有一個值，以使我們可以找到 =（× 2 ，× 3 1P2xX2x P）在 。又 有一個坐標 在 ，坐標 必須有一個值，以使我們可以找到2FR33x=（× 3 ，× 4 ）在 。此外，因為在 有 和 ， =（ ， ）必須4FR3X43x4在 。圖 7 顯示了為水道 構(gòu)建一個有效設(shè)計的點 、 、 和 的順序。4 1C1234上述例子顯示，為了在代表 所有的有效設(shè)計的 中確定有效的區(qū)間，自由區(qū)域S應(yīng)首先考慮。 的影響應(yīng)該可以 “促使” 以確定有效的區(qū)間在 中，然后4FR4FR3 3FR是 ，最后是 。在 的有效區(qū)域產(chǎn)生的結(jié)果包括 、 、 、 的所有影2S1S1FR234響。為達到這一目的，組合的運作正式被界定。定義 4 （組成）對于在一個冷卻系統(tǒng)里的兩個相鄰水道 和 ，他們從 到 的自由區(qū)域的組iC1i?iC1i?合，標注為 ，而他們從 到 自由區(qū)域的組合，標注為 ，定義如下：i1，?CR1i?i ，R(b)FRi 每個通道的自由地區(qū) Si 的配置空間圖 6 冷卻系統(tǒng)設(shè)計的一個簡化的例子對于冷卻系統(tǒng)一個水道{Ci}序列的構(gòu)成， 從 到 自由區(qū)域的組成，標注為 ，iCj ij，CR定義如下文。如果如果如果圖 8 顯示了促使 構(gòu)建的組合序列。第一步是要構(gòu)建 ，就像圖 8（a）所示這4,1CR4,3CR已被給定在 =PROJ (FR ) FR ， 。然后如在圖 8（b）所示 CR 的構(gòu)建由公式,33S4?3 4,2CR =PROJ ( ) FR 得。最后，CR ，由 CR =PROJ ( CR ) FR 。如圖4,22S4,3CR?24,14,11S4,2?18（c）所示。從圖 8（c）很明顯的得出，CR 對組成冷卻系統(tǒng)的所有水道的自由區(qū)域,存在著影響。因此，對于 CR 中的任意一點，可以保證冷卻系統(tǒng)的一個有效設(shè)計可以4,1被構(gòu)造。通過組合序列的運用，一個有效的設(shè)計可以通過在每個 中選擇點獲得。在其他所iS有水道的自由區(qū)域已經(jīng)組合到 中時。不過，我們也想確保沒有將有效的設(shè)計從自由iS區(qū)域中排除，當組合序列被應(yīng)用以后。否則，有些可能提供更佳的冷卻性能的有效設(shè)計將不能用這個方法得到。以 C 的設(shè)計為例，圖 8（c）的 CR 不僅僅代表著 C 一部1 4,11份有效設(shè)計，而且代表著 C 所有的有效設(shè)計，這對 C 來說尤為重要。為了解決這一問1題，我們提出以下定理：應(yīng)用水道{C }的一個序列{C },i [1, ]到冷卻系統(tǒng)。i i?cn定理 2 定理 2 說明代表水道 C 所有有效的設(shè)計 PR ，可以通過 和 之間的一個布1i 1，iCRCin，爾交點得到。這定理的一個重要特點是 PR 可以在三維立體空間中計算得到，因i和 都在 S 中，所以交點在 S 中。此外 和 也可以通過在 中的1，iCRCin， i 1，iCin， jS區(qū)間相交得到。這樣，PR 可以通過在三維立體空間的序列得到。如果在第 2.4 節(jié)中的i假設(shè)說明再次被使用，即是說如果每個 通過 M 個三維立方體近似得到，那么iFR和 PR 也可以用 M 個三維立方體表示。所以， n m 所有的三維立方體需要代表所j，ii c有的 PR 。因此可以證明三維立方體之間的交點 O 需要產(chǎn)生所有的 PR 。因此，使用定i理 2 可以防止在高維空間存儲區(qū)域的需要，并可以避免高容量和繁瑣計算的要求如在定理 1 所證明的。圖 8 CR 構(gòu)建所用的序列4,1以下給出了定理 2 的證明 。它由兩部分組成：該引理中所使用的證明如附錄所示。 3.1 定理 2 證明（1） 為了證明：（i） 由 pi?1i，CR因為 p ii， 和 有相同的坐標在 和iP1-i iS1-i用同樣的方法，我們可以確定一點 以使 和 具有相同的坐標在 和2-iP?2-iFR1-iP2-i 1-iS。 使用這種方法，我們也可以確定一系列點 ，k [1,i -1],以使 ，2-iS p?kp?FR那么 和kp1?具有相同的坐標在軸線 和 。kS1?（ ii） iP?CRni， （ b） 由 PROJ ( ) 構(gòu)建 4,2CR2S4,3R?2F用類似的方法，我們可以確定另一系列點 ，k [i+1, ],以使 ，那么 和p?Cnkp?FRkp1kp?具有相同的坐標在軸線 和 。kS1?由（i）及（ii）知，我們確定了一系列的點 ，k [1, ],以使 ，在連續(xù)pCnkp的任何兩個相鄰的點具有相同的坐標在他們的共同軸線。對于由一系列冷卻水道{ }構(gòu)成的冷卻系統(tǒng)，在兩相鄰水道 和 的 C 空間 和iCi1i?iS總是存在著一些共同的軸線由于它們之間的空間聯(lián)系。此外，如果在 和 的 C1?iS ij空間有一個公共軸 ， 也必須存在于 和 間所有水道的 C 空間。所以，由上述cXij方法構(gòu)建的一系列點 ，k [1, ]將為 的每個軸提供唯一的坐標。令 為由坐標p?CnFSFp構(gòu)建的點。很明顯： （ c） 由 PROJ ( ) 構(gòu)建4,1CR1S4,2R?1F用類似的方法，可以得到：初始設(shè)計給定一個為冷卻系統(tǒng)指定一系列水道和他們理想幾何尺寸的初步設(shè)計，第一步是為每個水道建構(gòu)一個 。然后，每個水道的 可以通過應(yīng)用定理 2 的組合操作得到。為iFRiPR冷卻系統(tǒng)產(chǎn)生初始設(shè)計的一個方法是，是要從 中選出一套坐標。為了簡化解釋，假i設(shè)每個水道 詞擁有自由度 和 ，而 和相鄰的水道 有著相同的坐標。為iCiX1?i1?i 1i?C了生成一個設(shè)計，在 的點（ ， ）必須被選擇。然后，點 被選擇為了讓（iP2 3X， ）在 中。此選擇2X32R4． 候 選 設(shè) 計 產(chǎn) 生由于冷卻系統(tǒng)初始設(shè)計對水道系列和它們的理想幾何結(jié)構(gòu)進行了具體化，第一步要做的是為每個水道建立 FRi，然后通過將復(fù)合應(yīng)用應(yīng)用到定理 2 中得到每個水道的PRi。一個產(chǎn)生冷卻系統(tǒng)候選設(shè)計的方法是從如后 PRi 系列中選出坐標系。為簡化闡述，假設(shè)每個水道 C 的自由度為 和 ， 被鄰近水道 共用。為得到一個設(shè)計，i iX1?ii 1?iX選擇了 PR1 中的一個點（X1，X2），然后，選擇一個 X3 使（X3，X2）在 PR2 內(nèi)。這個選擇過程在下一個水道 PR 坐標中重復(fù)，直到確定所有的自由度時停止。此方法的一個重要的特點是在一個步進中無論坐標值如何選取，后續(xù)步驟中總存在一個下一坐標可選有效值。5．應(yīng)用源運算法則的自動化設(shè)計過程為測試 C-空間方法在支持自動化布局設(shè)計過程時的可行性，在 C-空間建立項目中插入與應(yīng)用了一個簡單源運算法則（GA）[25]。在實施 GA 時候用到了一個簡單的染色體結(jié)構(gòu)，它由一系列 nF 真值[g1g2…gnF]組成，其中 gi 的真值在 0～1 之間，nF 冷卻系統(tǒng)的自由度。為得帶一個形狀設(shè)計，用到了前面部分提到的方法和應(yīng)用 g 作為一個百分比值來選擇坐標。例如， 中坐標 的有效值的在區(qū)間 和 ，其中，就得 的選取值為 ，（也就是 在第一區(qū)間）否則 就設(shè)置為（也就是 在第二區(qū)間內(nèi)）一個單點交叉操作，一個轉(zhuǎn)化操作和轉(zhuǎn)跡線輪選擇方法[26]被用于 GA 過程中。之前研究中提到的模糊記值方法[13,14]對相對于機構(gòu)的候選設(shè)計的適合性進行快速評定。必須注意的是在在 GA 過程開始之前，建立起每個水道的 ， 經(jīng)過一次建立得到，因此不會影響 GA 演變過程的計算時間。下一部分給出了一些由 GA 過程得到的布局設(shè)計實例。6.實例研究圖 9（a）顯示出了實例部分的 2 個觀察結(jié)果。圖 9（b）顯示了當只考慮系統(tǒng)冷卻效果時，具體給出每個冷卻水道的理想位置的冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計。（為了便于表征，只給出了行腔部分冷卻系統(tǒng)的圖示）。在理想位置上，水稻 C5 和模具組成 發(fā)生干涉現(xiàn)象。用提出的方法進行布局設(shè)計， 自動化，就建立起了每個水道的 。例如，圖 9（g）和（h）顯示了水道 的 和 。值得注意的是 是通過將 和其他復(fù)合得到，因此 是 亞設(shè)置，如數(shù)據(jù)明顯指出。在所有的 計算完成之后，GA 過程開始調(diào)用，圖 9（j）顯示了演變過程中得到的初始設(shè)計最大適合值。最大適合值在產(chǎn)生值接近 600 時開始收斂。如圖 9（c）所示，冷卻系統(tǒng)由 15 個 自由度組成，他們的值在表 1 中列出。叫“初始設(shè)計”的行顯示初始設(shè)計 的值。下一行顯示設(shè)計1 的值，它是 GA 過程在 1000 生產(chǎn)后得到最好的設(shè)計。如表中明顯之處，涉及 1 通過減小 1.21mm 得到。圖 9（d）顯示設(shè)計 1，這個調(diào)整對應(yīng)于 沿著 Z 方向減小以消除和 之間的干涉。這個調(diào)整對水道 和 到 也適用。表 1 也顯示設(shè)計 1 中所有其它的 值都保持在規(guī)定初始至 0.2mm 誤差以內(nèi)。為更好的表征 C-空間方法，模成分 沿著 Y 方向移動同 相截，如圖 9（e）所示。這個新障礙增加了自由區(qū)域 的約束以至于 方向體移動性受到很大限制。這個效應(yīng)在更新 中顯示出來，如圖 9（i）所示，其中只有 的上部分在圖 9（h）中顯示出來。以所有水道新的 再次調(diào)用 GA 過程以獲得設(shè)計 2。適合值在圖 9（k）中顯示。值得注意的是最佳適合值比設(shè)計 1 中獲得的要小。這很合理，因為約束的增加，偏移量與真實值的差距很大。又 GA 過程獲得的 值在表 1 的最后一行中顯示出來。如表中所示， 調(diào)整 5mm 以清除同 的干涉。這同沿 Z 方向移動水道 到 相對應(yīng)?，F(xiàn)在 和 截面不能通過調(diào)整 使其光亮。而調(diào)整 和 ，相應(yīng)地將 沿-Y 方向移動2.94mm， 沿-X 方向移動 6.22mm 如圖 9（e）所示。為保持連結(jié)性， 和 也作相應(yīng)的調(diào)整。設(shè)計 2 顯示，當一個水道的約束數(shù)（如 ）變化時，提出 C-空間方法很好的將這個效應(yīng)傳播到其它水道（如 和 ）中去，以至于所有這些水道的可行設(shè)計組得到相應(yīng)的調(diào)整。C-模型冷卻分析用于分析設(shè)計得到的布局圖。從圖 10（a）到（d）可見，兩個設(shè)計中，冷卻時間為 20s 時，最高模-壁溫度在 以上。它們的最大溫度偏差小于 ，這表明兩種情形下，提出的方法能夠得到滿意的設(shè)計布局。從圖 10（c）和（d）觀察得到，同設(shè)計 2 比較，涉及 1 中工件大部分沒有產(chǎn)生變色。這表明在設(shè)計 1 中很多工件的溫度偏差在 以內(nèi)。這是因為在設(shè)計 2 中，隨著空腔中的水道向模壓移動了5mm，冷卻效果變得不均勻，這表示當施加很多約束時，保持初始理想冷卻效果很困難。它也解釋了為什么設(shè)計 2 的最大適切性稍微小于設(shè)計 1 的最大適切性。（a）示例零件（b）冷卻系統(tǒng)的初始設(shè)計（a）冷卻系統(tǒng)的 15 個自由度（b）設(shè)計 1（b）移動 和 相交2O13C（b） 設(shè)計 2圖 9 分層設(shè)計表 1.冷卻系統(tǒng)的自由度7． 討論與結(jié)論在執(zhí)行 C-空間方法中，一個單元列舉方案被用于簡化這個方法的執(zhí)行，在目前的執(zhí)行中，C-空間一維分辨率為 0.15mm。對冷卻系統(tǒng)設(shè)這個分辨率是足夠的，因為對一個好的調(diào)整，如 0.01mm，冷卻系統(tǒng)的功能變化是很難發(fā)現(xiàn)的，然而，該研究中所發(fā)展的理論與方法并不局限于相應(yīng)的表現(xiàn)項目。實際上，基于理論 2 的方法，所有 C-空間計算和存儲都在 3 維空間內(nèi)完成，因此標準校核模型技巧可以應(yīng)用。 該研究的一個主要貢獻是發(fā)展了一個特別的支持布局設(shè)計的 C-空間方法。應(yīng)用這個 C-空間方法，所有的可行布局設(shè)計很好的被顯示出來。同時我們得出了該方法不僅可以用于冷卻系統(tǒng)設(shè)計的優(yōu)化設(shè)計支持，還可以用于生產(chǎn)制造。該方法克服特殊啟發(fā)產(chǎn)生布局設(shè)計的局限，如前面的方法[13，14]。這個 C-空間方法能夠獨立作為一個系統(tǒng)去支持互動布局設(shè)計。它使設(shè)計者在不用檢查冷卻系統(tǒng)截面和其它模型插件能夠開發(fā)出設(shè)計方法。該研究主要目的集中在冷卻系統(tǒng)設(shè)計的幾何形狀構(gòu)成方面。在設(shè)計冷卻系統(tǒng)時，其它參數(shù)如冷流率，冷卻時間，包裝時間，擠出時間都需要被考慮進來。一個可行的方法就是將這些所有參數(shù)進行考慮插入配備更復(fù)雜的 GA 的 C-空間方法，如[8]報道所示。需要對該方法進一步研究，其他研究方向包括 C-空間方法處理冷卻系統(tǒng)拓撲變化和具體設(shè)計約束，如初始設(shè)計選擇水道之間的變化幾何形狀和拓撲約束扽。鳴謝該文章中所完成的工作得到香港城市大學(xué)戰(zhàn)略研究部（項目 No.7001775）的大力支持。（a）設(shè)計 1 的模具溫度 （b）設(shè)計 2 的模具溫度（c）設(shè)計 1 零件的不同溫度 （d）設(shè)計 2 零件的不同溫度圖 10。用 CAE 模具冷卻分析系統(tǒng)比較這兩個布圖設(shè)計引理 2在 中給定兩個區(qū)間 和 。如果 ，那么nSnR‘nR?引理 3 在 中給定 ，那么nS引理 4 在 中給定任意兩個 和 。如果 ，則它們對 的投影滿足：mSmR'?mX?nnS引理 5 給定兩個區(qū)間 和 滿足 。則在 中的區(qū)間 滿足：nSm?X?nmSmR引理 6 給定三個區(qū)間 、 和 滿足 和 。則在 中的區(qū)間 滿足：nSml?mX?n?lnXlSlR引理 7 引理 8 給定兩個區(qū)間 和 滿足 ，其中點 在 中，點 在 中，如果nSm?X?nnpSmRS那么： 定理 1參考文獻：