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第六節(jié) 簡單的三角恒等變換,【知識梳理】 1.半角公式,2sin2α,2cos2α,2α,α,2.輔助角公式 asin x+bcos x= sin(x+φ)， 其中sin φ= ,cos φ= .,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題： ①當α是第一象限角時， ； ②對任意角α， 都成立； ③半角的正余弦公式實質就是將倍角的余弦公式逆求而得來的； ④公式 中φ的取值與a,b的值無關； ⑤函數(shù)y=sin x+cos x的最大值為2. 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.③ D.④⑤,【解析】選C.①錯誤.α在第一象限時， 在第一或第三象限. 當 在第一象限時， ,當 在第三象限時， ②錯誤.此式子必須使tan 有意義且1+cos α≠0.即 ≠kπ + 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). ③正確.由半角公式推導過程可知正確. ④錯誤.由 可知φ的取值與a,b的 值有關. ⑤錯誤. 故其最大值為 .,2.已知 α∈(π，2π)，則cos 等于( ) 【解析】選B.因為 α∈(π，2π)，所以 所以,3.化簡 等于( ) A.－sin α B.－cos α C.sin α D.cos α 【解析】選C.,4．如果α∈ ，且sin α＝ 那么 【解析】選D.因為 所以cos α＝ ， 而,5.函數(shù)y＝ cos 4x＋sin 4x的最小正周期為_______． 【解析】y＝ cos 4x＋sin 4x＝ 答案：,6.(2014·湖州模擬)若 則 ＝ __________. 【解析】 答案：2 014,考點1 利用三角恒等變換化簡求值 【典例1】(1)已知450°α540°，則 的 值是( ) (2)化簡：sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β- cos 2α· cos 2β＝_________.,【解題視點】(1)利用倍角公式化簡. (2)從角、名、形、次數(shù)統(tǒng)一等幾個方面入手進行化簡.,【規(guī)范解答】(1)選A.原式＝ 因為450°α540°，所以225° 270°. 所以原式＝－sin .故選A.,(2)方法一:(從“角”入手，復角→單角) 原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos 2β- ·(2cos2α-1) ·(2cos2β-1) =sin 2α·sin 2β+cos 2α·cos 2β- (4cos 2α·cos2β -2cos 2α-2cos 2β+1) =sin 2α·sin 2β-cos 2α·cos 2β+cos 2α+cos 2β- =sin 2α·sin 2β+cos 2α·sin 2β+cos 2β- =sin 2β+cos 2β- =1- = .,方法二:(從“名”入手,異名化同名) 原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- cos2α·cos2β =cos2β-sin2α·cos2β- cos2α·cos2β =cos2β-cos2β·(sin2α+ cos 2α),方法三(從“冪”入手，利用降冪公式先降次) 原式=,方法四:(從“形”入手，利用配方法，先對二次項配方) 原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α· sin β·cos α·cos β- cos 2α·cos 2β =cos 2(α+β)+ sin 2α·sin 2β- cos 2α·cos 2β =cos 2(α+β)- ·cos(2α+2β) =cos2(α+β)- ·［2cos 2(α+β)-1］= . 答案：,【規(guī)律方法】 1.三角函數(shù)式的化簡遵循的三個原則 (1)一看“角”,這是最重要的一環(huán),通過看角之間的差別與聯(lián)系,把角進行合理的拆分,從而正確使用公式. (2)二看“函數(shù)名稱”,看函數(shù)名稱之間的差異,從而確定使用的公式,常見的有“切化弦”. (3)三看“結構特征”,分析結構特征,可以幫助我們找到變形的方向,常見的有“遇到分式要通分”等.,2.三角函數(shù)式化簡的方法 弦切互化,異名化同名,異角化同角;降冪或升冪. 提醒:在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律,根號中含有三角函數(shù)式時,一般需要升次.,三角函數(shù)式化簡的要求 (1)能求出值的應求出值. (2)盡量使函數(shù)種數(shù)最少. (3)盡量使項數(shù)最少. (4)盡量使分母不含三角函數(shù). (5)盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).,【變式訓練】化簡: 【解析】原式 因為0θπ,所以 ,所以 所以原式=-cos θ. 答案：-cos θ,【加固訓練】 1.化簡： 【解析】原式＝ 答案：,2.化簡： 【解析】原式＝ 答案：,考點2 三角恒等變換在實際問題中的應用 【典例2】如圖,現(xiàn)要在一塊半徑為1 m,圓心 角為 的扇形報紙AOB上剪出一個平行四邊 形MNPQ,使點P在弧AB上,點Q在OA上,點M，N 在OB上,設∠BOP＝θ,平行四邊形MNPQ的面積為S. (1)求S關于θ的函數(shù)關系式. (2)求S的最大值及相應的θ角.,【解題視點】雖然P點變化但OP不變，通過構造 與角θ所在 的直角三角形，將平行四邊形的底和高用角θ表示，從而求出 S關于θ的函數(shù)關系式，進而求解相關問題.,【規(guī)范解答】(1)分別過P，Q作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E， 則四邊形QEDP為矩形. 由扇形半徑為1 m，得PD=sin θ,OD=cos θ. 在Rt△OEQ中, OE= QE= PD, MN=QP=DE＝OD－OE ＝cos θ－ sin θ, S=MN·PD=(cos θ－ sin θ)·sin θ =sin θcos θ－ sin 2θ,θ∈(0, ).,(2)S= sin 2θ－ (1－cos 2θ) = sin 2θ+ cos 2θ－ = sin(2θ+ )－ , 因為θ∈ 所以 當θ= 時，Smax= (m2).,【互動探究】在本例中若點M與O重合，圖形變?yōu)橄聢D，記平行四邊形ONPQ的面積為S.求S的最大值.,【解析】如圖，過P作PD⊥OB于D，則 由扇形半徑為1 m，得PD=sin θ，OD=cos θ, 在Rt△PND中, 因為∠PND=∠AOB= , 所以 ON＝OD－ND＝cos θ－ sin θ,,S=ON·PD=(cos θ－ sin θ)·sin θ =sin θcos θ－ sin 2θ= sin 2θ－ (1－cos 2θ) = sin 2θ+ cos 2θ－ = sin(2θ+ )－ ， 因為θ∈(0, )， 所以2θ+ ∈( )，sin(2θ+ )∈( ,1]. 當θ= 時,Smax= (m2).,【易錯警示】關注變量的范圍 本例在求解時容易忽略θ的范圍而直接求最值，導致錯解，在解決實際問題時，要關注變量的范圍，否則容易出錯.,【規(guī)律方法】三角函數(shù)應用題的處理方法 (1)引進角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關公式進行推理，解決最優(yōu)化問題. (2)解決三角函數(shù)應用問題和解決一般應用性問題一樣，先建模，再討論變量的性質，最后作出結論并回答問題.,【變式訓練】(2014·吉安模擬)已知直線l1∥l2,A是l1,l2之間的一定點,并且A點到l1,l2的距離分別為h1,h2,B是直線l2上一動點,作AC⊥AB,且使AC與直線l1交于點C,則△ABC面積的最小值為 .,【解析】如圖，設∠ABD＝α，則 ∠CAE＝α， 所以S△ABC＝ ·AB·AC＝ (0＜α＜ ). 當2α＝ ，即α＝ 時，S△ABC的最小值為h1h2. 答案：h1h2,【加固訓練】 1.(2014·臺州模擬)如圖，已知四邊形ABCD 中AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP=PC，CD＞AB， 則經(jīng)過某種翻折后以下線段可能會相互重合 的是( ) A.AB與AD B.AB與BC C.BD與BC D.AD與AP,【解析】選D.設AB=a,∠CAB=θ,則AP=acos θ,PC=BP=asin θ, AC=a(cos θ+sin θ),AD=ACsin θ=a(cos θ+sin θ)sin θ, CD=ACcos θ=a(cos θ+sin θ)cos θ，因為CD＞AB,故 cos2θ+sin θcos θ＞1，即sin（2θ+ ）＞ , 即 ，故0＜θ＜ . A選項：假設AB=AD，則有sin2θ+sin θcos θ=1, 即 ，無解.,B選項：假設AB=BC，則有 sin θ=1,則sin θ= ，無解. C選項：假設BD=BC，則有 sin 即1+2sin3θcos θ=sin2θ，無解. D選項：假設AD=AP，則有sin2θ+sin θcos θ=cos θ,令 f(θ)=sin2θ+sin θcos θ-cos θ= 則f(0)=-1＜0, 故必存在θ0使得:f(θ0)=0， 故AD與AP可能重合.D選項正確.,2.(2013·三亞模擬)如圖所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為 的扇形，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，B,C兩點在圓弧上，OE是 ∠POQ的平分線，連接OC，記∠COE=α，問：角α為何值時矩 形ABCD面積最大，并求最大面積.,【解析】設OE交AD于M，交BC于N，顯然矩形ABCD關于OE對稱，而M，N均為AD，BC的中點，在 Rt△ONC中，CN=sin α,ON=cos α. 所以MN=ON－OM=cos α－ sin α， 即AB=cos α－ sin α,所以BC=2CN=2sin α,,故S矩形=AB·BC=(cos α－ sin α)·2sin α =2sin αcos α－2 sin 2α=sin 2α－ (1－cos 2α) =sin 2α+ cos 2α－ =2sin（2α+ ）－ . 因為0α ,所以02α , 2α+ , 故當2α+ = ,即α= 時，S矩形取得最大值，此時S矩形= 2－ .,考點3 三角恒等變換在研究圖象性質中的應用 【考情】利用三角恒等變換將三角函數(shù)化簡后研究圖象及性質是高考的熱點.在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，考查三角函數(shù)的值域、最值、單調性、周期、奇偶性、對稱性等問題.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2013·湖北高考)將函數(shù)y= cos x+sin x(x∈R) 的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對 稱，則m的最小值是( ) (2)(2014·杭州模擬)若函數(shù)f(x)= 則函數(shù)f(x)是( ) A.周期為π的偶函數(shù) B.周期為2π的偶函數(shù) C.周期為2π的奇函數(shù) D.周期為π的奇函數(shù),【解題視點】(1)將函數(shù)化為y=Asin(ωx＋φ)的形式再求解. (2)降冪將角統(tǒng)一再化為y=Asin(ωx＋φ)的形式后進行判斷．,【規(guī)范解答】(1)選B.由已知 當m= 時，平移后函數(shù)為y=2sin(x+ )=2cos x，其圖象關于 y軸對稱，且此時m最小. (2)選D.f(x)= = 因此f(x)的周期T= =π，且f(x)是 奇函數(shù).,【通關錦囊】,【關注題型】,【通關題組】 1.(2014·舟山模擬)函數(shù)f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(x∈R)的 最小正周期為( ) 【解析】選C.f(x)=sin 2x-4sin3xcos x=2sin xcos x- 4sin3xcos x=2sin xcos x(1-2sin2x)=sin 2xcos 2x= sin 4x， 所以函數(shù)f(x)的最小正周期,2.(2014·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)= 則f(x)( ) A.周期為π,且圖象關于點( ,0)對稱 B.最大值為2，且圖象關于點( ,0)對稱 C.周期為2π,且圖象關于點(- ,0)對稱 D.最大值為2，且圖象關于x= 對稱,【解析】選B.f(x)=,因為x∈R,所以 所以-1≤sin(x- )≤1,則f(x)的最大值為2. 因為ω=1,所以周期T= =2π. 當x- =kπ(k∈Z)時，f(x)圖象關于某一點對稱， 所以當k=0時，求出x= ,即f(x)圖象關于( ,0)中心對稱， 故選B.,3.(2013·新課標全國卷Ⅰ)設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-2cosx 取得最大值,則cosθ= . 【解析】f(x)=sin x-2cos x= sin(x+φ)，其中tan φ= -2，當x+φ=2kπ+ 時，函數(shù)f(x)取得最大值，即θ=2kπ+ -φ.所以cos θ=cos( -φ)=sin φ，又因為tan φ=-2， φ在第四象限，所以sin φ=- ，即cos θ=- . 答案：-,4.(2013·溫州模擬)函數(shù)y=(acos x+bsin x)cos x有最大值 2，最小值-1，則實數(shù)(ab)2的值為___________. 【解析】y=acos2x+bsin xcos x 所以 所以a=1,b2=8，所以(ab)2=8. 答案：8,【加固訓練】 1.(2014·泰安模擬)已知函數(shù)f(x)= sin x-cos x，x∈R， 若f(x)≥1，則x的取值范圍為( ),【解析】選B.根據(jù)題意，得f(x)＝2sin (x- )，f(x)≥1，所 以2sin (x- )≥1，即sin (x- )≥ ，由圖象可知滿足 解得 ＋2kπ≤x≤π＋2kπ (k∈Z)．,2.(2013·南寧模擬)設a=sin 14°+cos 14°，b=sin 16° +cos 16°，c= .則a，b，c按從小到大的順序排列為 ． 【解析】a=sin 14°+cos 14°= sin 59°， b=sin 16°+cos 16° ＝ sin 61°，c＝ ＝ sin 60°. 因為59°60°61°，所以sin 59°sin 60°sin 61°， 所以acb. 答案：acb,3.(2011·上海高考)函數(shù) 的最大值 為 . 【解析】 故函數(shù)的最大值是 答案：,4.(2012·北京高考)已知函數(shù)f(x)= (1)求f(x)的定義域及最小正周期. (2)求f(x)的單調遞減區(qū)間.,【解析】(1)由sin x≠0，得x≠kπ,k∈Z，所以定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}. f(x)= =2sin xcos x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1= 所以最小正周期T= =π.,【規(guī)范解答3】三角變換在研究三角函數(shù)中的應用 【典例】(14分)(2013·陜西高考)已知向量a=(cos x, ), b=( sin x,cos 2x),x∈R,設函數(shù)f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在 上的最大值和最小值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟,水到渠成 (1)f(x)=a·b=cos x· sin x － cos 2x…………………………2分 = =sin（2x－ ）,①……………………………………5分 最小正周期T= =π. 所以f(x)=sin（2x－ ）的最小正周 期為π.………………………………7分,(2) ②,……………………9分 由正弦曲線y=sin x在 上的圖象知， ③,即x= 時，f(x)取得最大值1; 當 ,即x=0時，f(x)取得最小值- .…………13分 所以，f(x)在 上的 最大值和最小值分別為1,－ .④ ………………………………14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓練，能力遷移 已知函數(shù)f(x)= (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間. (2)求函數(shù)f(x)在 上的最小值.,【解析】(1) 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π. 由 得 則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是,(2)由 ，得 則當 即x= 時，f(x)取得最小值－ .,