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第二節(jié) 平面向量的基本定理及向量坐標運算,【知識梳理】 1.平面向量基本定理 (1)基底:平面內(nèi)_______的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)的所 有向量的一組基底. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向 量,那么對于這個平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1, λ2,使a=__________.,不共線,λ1e1+λ2e2,2.平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位 向量i,j作為基底,由平面向量基本定理知,該平面內(nèi)的任一向量 a可表示成a=xi+yj,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應的,把有序數(shù) 對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=______,其中a在x軸上的坐標 是x,a在y軸上的坐標是y.,(x,y),3.平面向量的坐標運算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(λx,λy),(x2-x1,y2-y1),x1y2-x2y1=0,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底; ②在△ABC中,向量 的夾角為∠ABC; ③同一向量在不同基底下的表示是相同的; ④設a,b是平面內(nèi)的一組基底,若實數(shù)λ1,μ1,λ2,μ2滿足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2. 其中正確的是( ) A.① B.② C.③ D.④,【解析】選D.平面內(nèi)不共線的兩個向量可以組成一組基底,平面內(nèi)同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,故①③不正確;向量是有方向的,故在△ABC中, 與 的夾角應是∠ABC的補角,故②不正確;根據(jù)平面向量基本定理,同一向量在基底a,b下的表現(xiàn)形式是唯一的,故④正確.,2.已知A(x,1),B(2,y), =(3,4),則x+y=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 【解析】選C.由題意,得 解得 所以x+y=4.,3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c=( ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 【解析】選B.設c=xa+yb,則 所以 故c=3a-b.,4.下列各組向量中,能作為基底的是( ) ①a=(1,2),b=(2,4); ②a=(1,1),b=(-1,-1); ③a=(2,-3),b=(-3,2); ④a=(5,6),b=(7,8). A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】選C.對于①,顯然b=2a,對于②,b=-a,故①②不能作為基底;對于③,因為2×2-(-3)×(-3)≠0,所以a,b不共線,故③能作為基底;對于④,因為5×8-6×7≠0,所以a,b不共線,故④能作為基底.綜上應選C.,5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則實數(shù)m= . 【解析】a+b=(1,m-1). 因為(a+b)∥c, 所以2-(-1)(m-1)=0,所以m=-1. 答案:-1,考點1 平面向量基本定理及其應用 【典例1】(1)(2014·紹興模擬)若a與b不共線,已知下列各組向量 ①a與-2b; ②a+b與a-b; ③a+b與a+2b; ④ 其中可以作為基底的是 (只填序號即可).,(2)(2014·萊蕪模擬)如圖,已知△OCB中,A是CB的中點,D是將 分成2∶1的一個內(nèi)分點,DC和OA交于點E,設 ①用a和b表示向量 ②若 求實數(shù)λ的值.,【解題視點】(1)由共線向量定理及基底的定義進行判斷. (2)①由向量加法的平行四邊形法則及三角形法則求解; ②由平面向量基本定理及共線向量定理求解.,【規(guī)范解答】(1)因為a與b不共線,所以,對于①,顯然a與-2b不共線;對于②,假設a+b與a-b共線,則存在實數(shù)λ,使a+b=λ(a-b),則λ=1且-λ=1,由此得λ=1且λ=-1矛盾,故假設不成立,即a+b與a-b不共線;同理,對于③,a+b與a+2b也不共線;對于④ 故 與 共線.由基向量的定義知,①②③都可以作為基底,④不可以. 答案:①②③,(2)①由題意知,A是BC的中點,且 由平行四邊形法則,得 所以 ②由題意知, 故設 因為 所以,因為a與b不共線,由平面向量基本定理, 得 解得 故,【互動探究】本例(1)中,若將條件a與b不共線省去,則情況如何? 【解析】若a與b共線,不妨令a≠0,b=0,則所給4組向量都共線,故4組向量都不能作為基底.,【規(guī)律方法】 1.構(gòu)成平面一組基底的條件 (1)一組基底有兩個向量. (2)這兩個向量不共線(其中沒有零向量). 2.應用平面向量基本定理的注意事項 (1)選定基底后,通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關向量用這一組基底表示出來.,(2)強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用,用基底表示未知向量,常借助圖形的幾何性質(zhì),如平行、相似等. (3)強化共線向量定理的應用 提醒:在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便.,【變式訓練】如圖所示,在△ABC中,點M是AB的中點,且 BN與CM相交于點E,設 試用基底a,b表示向量,【解析】易得 由N,E,B三點共線知,存在實數(shù)m,滿足 由C,E,M三點共線知存在實數(shù)n, 滿足 所以 由于a,b為基底, 所以 解得 所以,【加固訓練】 1.下列各組向量:①e1=(-1,2),e2=(5,7); ②e1=(3,5),e2=(6,10); ③e1=(2,-3),e2= 能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的一組基底的是( ) A.① B.①③ C.②③ D.①②,2.如圖,在△ABC中, DE∥BC交AC于E,BC邊上的中線AM 交DE于N.設 用a,b表示向量,【解析】1.選A.①中的兩向量不共線;②中e1= e2,故兩向量共 線;③中e2= e1,故兩向量共線.綜上,只有①中的兩向量可作為 平面的一組基底. 2.因為 DE∥BC, 所以 由△ADE∽△ABC,得 又AM是△ABC的中線,DE∥BC, 所以 又,因為△ADN∽△ABM, 所以,考點2 平面向量的坐標運算 【典例2】(1)(2014·杭州模擬)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對角線, =(2,4), =(1,3),則 =( ) A.(2,4) B.(1,1) C.(-1,-1) D.(-2,-4) (2)(2013·北京高考)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則 = .,【解題視點】(1)先將 用 表示,再利用向量坐標運 算法則求解. (2)結(jié)合圖形建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?利用平面向量的坐標 運算及平面向量基本定理列方程組求解.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為四邊形ABCD為平行四邊形,所以 因此 =(1,3)-(2,4)=(-1,-1). (2)以向量a,b的交點為原點,原點向右的方向為x軸正方向,正 方形網(wǎng)格的邊長為單位長度建立直角坐標系,則a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),根據(jù)c=λa+μb得(-1,-3)=λ(-1,1)+ μ(6,2),即 解得λ=-2,μ=- ,所以 =4. 答案:4,【互動探究】在本例(2)中,試用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)規(guī)范解答中的平面直角坐標系,則 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3), 設b=xa+yc, 則(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【規(guī)律方法】平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標. (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)來進行求解,并注意方程思想的應用.,【變式訓練】已知點A(-1,2),B(2,8)以及 求點C,D的坐標和 的坐標. 【解析】設點C,D的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6). 因為 所以有 和 解得 和 所以點C,D的坐標分別是(0,4),(-2,0),從而 =(-2,-4).,【加固訓練】 1.設平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則a-2b=( ) A.(6,3) B.(7,3) C.(2,1) D.(7,2) 【解析】選B.a-2b=(3,5)-2×(-2,1)=(7,3).,2.已知點A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),給出下面的結(jié)論: ①直線OC與直線BA平行;② 其中正確結(jié)論的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個,【解析】選C.由題意得 =(-2,1), =(2,-1),故 又 無公共點,故OC∥BA,①正確; 因為 故②錯誤; 因為 =(0,2)= 故③正確; 因為 =(-4,0), =(-4,0),故④正確.所以選C.,3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 則向量 = . 【解析】因為A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 所以 =(1,8), =(6,3). 所以 =3(1,8)=(3,24), 2(6,3)=(12,6). 所以 (12,6)-(3,24)=(9,-18). 答案:(9,-18),考點3 平面向量共線的坐標表示及運算 【考情】平面向量共線的坐標表示以其承前啟后的連接形式成為高考命題的亮點.作為一種重要的坐標運算,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),作為載體有時也在解答題的某一步中出現(xiàn),考查解方程、函數(shù)式化簡等問題.,高頻考點 通 關,【典例3】(1)(2013·陜西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若a∥b,則實數(shù)m等于( ) A. B. C. D.0 (2)(2014·金華模擬)已知向量 =(1,3), =(3,-1),且 則點P的坐標為( ) A.(2,-4) B. C. D.(-2,4),【解題視點】(1)根據(jù)平面向量共線的坐標表示直接列方程 求解. (2)設點P的坐標為(x,y),由 可得(x-1,y-3)=2(3-x, -1-y),解出x,y的值,即可得到點P的坐標.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為a=(1,m),b=(m,2),a∥b,所以1×2-m2=0,即m2=2,故 (2)選C.設點P的坐標為(x,y), 由 可得(x-1,y-3)=2(3-x,-1-y), 故有x-1=6-2x,且y-3=-2-2y, 解得 故點P的坐標為,【通關錦囊】,【通關題組】 1.(2014·舟山模擬)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,則2a+3b等于( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 【解析】選B.因為a∥b,a=(1,2),b=(-2,m), 所以m-2×(-2)=0,得m=-4, 所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).,2.(2011·廣東高考)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ為實數(shù),(a+λb)∥c,則λ=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選B.因為a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),c=(3,4),又(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0.解得λ= .,3.(2014·棗莊模擬)已知平面向量a=(1,x),b= 若a與b共線,則y=f(x)的最小值是( ) A. B.-4 C. D.-3 【解析】選C.因為a與b共線, 所以 即y= x2-3x+1= (x-3)2- , 所以當x=3時,ymin=,【加固訓練】 1.(2013·鄭州模擬)已知向量 =(k,12), =(4,5), = (-k,10),且A,B,C三點共線,則k的值是( ) 【解析】選A. (4-k,-7), =(-2k,-2). 因為A,B,C三點共線, 所以 共線, 所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得,2.(2014·濟寧模擬)已知向量a=(1-sinθ,1),b=( ,1+sin θ), 若a∥b,則銳角θ等于( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【解析】選B.由a∥b得, (1-sinθ)(1+sinθ)-1× =0,解得sinθ= 又θ為銳角,所以θ=45°.,3.(2011·北京高考)已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若a-2b與c共線,則k= . 【解析】因為a=( ,1),b=(0,-1), 所以a-2b=( ,1)-2(0,-1)=( ,3), 又c=(k, ),所以 × -3k=0,解得k=1. 答案:1,【易錯誤區(qū)11】平面向量基本定理應用的易錯點 【典例】(2013·廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0,關于向量a的分解,有如下四個命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實數(shù)λ和μ,使a=λb+μc; ③給定單位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實數(shù)λ,使a=λb+μc;,④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】選B.對于① 因為a與b給定，所以a-b一定存在，可表示為c，即c=a-b，① 故a=b+c成立，①正確； 對于②，因為b與c不共線， 由平面向量基本定理可知②正確； 對于③,以a的終點為圓心，以μ為半徑作圓，② 這個圓必須和向量λb有交點， 這個不一定滿足，故③錯誤；,對于④由向量加法的三角形法則(不共線兩邊的和大于第三邊)，② 即必有|λb|+|μc|=λ+μ＞|a|，而給定的λ和μ不一定滿足此條件， 所以④是假命題.,【誤區(qū)警示】 1.①處想不到用a-b表示c,而直接根據(jù)平面向量基本定理判斷該結(jié)論錯誤. 2.②處忽略平面向量基本定理成立的條件,而直觀認為③④正確.,【規(guī)避策略】 1.明確給定和存在的關系,另外,注意向量加法三角形法則的應用. 2.明確平面向量基本定理成立的條件,即(1)給定的向量a與b不共線.(2)對平面內(nèi)任一向量c存在唯一確定的有序?qū)崝?shù)對(λ,μ)使c=λa+μb,其中λ,μ的正負及是否為0不確定.,【類題試解】在平面直角坐標系中,若O為坐標原點,則A,B,C三 點在同一直線上的充要條件為存在唯一的實數(shù)λ,使得 成立,此時稱實數(shù)λ為“向量 關于 和 的終點共線分解系數(shù)”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三 點共線且向量 與向量a=(1,1)垂直,則“ 向量關于 和 的終點共線分解系數(shù)”為( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】選D.由 與向量a=(1,1)垂直,可設 =(t,-t)(t≠0), 由 得 (t,-t)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ), 所以 兩式相加得2λ+2=0,所以λ=-1.,