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第四節(jié) 平面向量應(yīng)用舉例,【知識梳理】 1.向量在平面幾何中的應(yīng)用 (1)平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、長度、夾角等問題.,(2)用向量解決常見平面幾何問題的技巧.,a=λb(b≠0),x1y2-x2y1=0,a·b=0,x1x2+y1y2=0,(3)用向量方法解決平面幾何問題的步驟. 平面幾何問題 向量問題 解決向量問題 解決幾何問題,2.平面向量在物理中的應(yīng)用 (1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解與合成和向量的減法和加法相似,可以用向量的知識來解決. (2)物理學中的功是一個標量,是力F與位移s的數(shù)量積,即W=_____=____________(θ為F與s的夾角).,F·s,|F||s|cosθ,【考點自測】 1.(思考)給出下列結(jié)論: ①若 與 共線,則A,B,C,D四點在一條直線上; ②若A(x1,y1),B(x2,y2),則 ③在△ABC中,若 0,則△ABC為鈍角三角形; ④物理中的力、速度、位移都是既有大小,又有方向的量,可用向量表示. 其中正確的是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.①④,【解析】選C.①錯誤,線段AB,CD所在的直線也有可能平行; ②正確,因為 所以 ③錯誤,由 得 可得角B為銳角,但三角形的形狀不能判定; ④正確,由物理學的知識知④正確.,2.已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,4),B(5,2), C(-1,-4),則這個三角形是( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】選B.由題意,得 =(2,-2), =(-4,-8), =(-6, -6),顯然 所以角A是銳 角, =(-6,-6)·(-2,2)=12-12=0,所以角B是直角,故 △ABC是直角三角形.,3.在△ABC中, 則△ABC的面積是 ( ) A.5 B.10 C.5 D.20 【解析】選C.由 得cosA= 所以 故S△ABC=,4.已知平面向量a=(1,cosθ),b=(1,3sinθ),若a與b共線,則tan2θ的值為( ) 【解析】選C.因為a與b共線,所以3sinθ-cosθ=0,即tanθ= 所以tan2θ=,5.一質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F2,F3(單位:牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分別為2和4,則F3的大小為 . 【解析】由題意得F3+F1+F2=0,所以|F3|= 答案:,考點1 向量在平面幾何中的應(yīng)用 【典例1】(1)(2013·福建高考)在四邊形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),則該四邊形的面積為( ) A. B. C.5 D.10 (2)(2013·天津高考)在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°, E為CD的中點.若 則AB的長為 .,【解題視點】(1)觀察向量 與 坐標的特點,由此通過計算判斷AC與BD的位置關(guān)系,再利用面積公式求解. (2)根據(jù)題意,選取 當基底,根據(jù)向量的加法及平面向量基本定理由 表示 由 列方程求AB的長,或建系用向量的坐標運算求AB的長.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為 所以AC,BD是互相垂直的對角線,所以S= |AC|·|BD|= (2)方法一: 因為 所以 所以 解得,方法二:如圖,以A為原點,AD所在直線為x軸 建立直角坐標系,則A(0,0),D(1,0),設(shè)AB的 長為a,則 因為E是 CD的中點,所以 所以 即2a2-a=0,解得a= 或a=0(舍去).故AB的長為 . 答案:,【易錯警示】關(guān)注四邊形面積的求法 本例(1)采用對角線互相垂直的四邊形面積的求法,解答本題易忽視向量 的關(guān)系,想不到該種方法,使問題陷入僵局而產(chǎn)生誤選.求四邊形面積的方法有:①特殊四邊形套公式法;②不規(guī)則四邊形常用分割法;③對角線互相垂直的四邊形,其面積是對角線長乘積的一半.,【互動探究】本例(2)中其他條件不變,若AB= ,試求 的值. 【解析】如圖, 令 則 |a|= ,|b|=1,a與b的夾角為60°, =a+b, 因為E是CD的中點, 所以 故,【規(guī)律方法】平面幾何問題的向量解法 (1)坐標法:把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?則有關(guān)點與向量就可以用坐標表示,這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決. (2)基向量法:適當選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進行求解. 提醒:用坐標法解題時,建立適當?shù)淖鴺讼凳墙忸}的關(guān)鍵,用基向量解題時要選擇適當?shù)幕?,【變式訓練】(2014·寧波模擬)已知空間向量a,b滿足|a|= |b|=1,且a,b的夾角為 ,O為空間直角坐標系的原點,點A,B滿足 =2a+b, =3a-b,則△OAB的面積為( ),【解析】選B.因為|a|=|b|=1，且a,b的夾角為 ，則a·b=|a|·|b|·cos = | |= 設(shè) 與 的夾角為α，則cos α= 又α∈［0,π］, 故 因此，S△OAB= ·sin α=,【加固訓練】 1.已知△ABC,點D在BC邊上,且 則m+n的值為( ) 【解析】選B.如圖, 因為 所以 又 不共線,所以 故m+n=0.,2.若等邊△ABC的邊長為 平面內(nèi)一點M滿足 則 = . 【解析】方法一:以BC的中點為原點,BC所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,根據(jù)題設(shè)條件可知A(0,3),B(- , 0),C( ,0). 設(shè)M(x,y),則 由 得,,所以x=0,y=2, 所以點M的坐標為(0,2). 所以 所以 方法二:由于 所以,因為△ABC是邊長為 的等邊三角形, 所以 所以 答案:-2,考點2 向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 【考情】向量的共線與垂直和向量的數(shù)量積之間的關(guān)系以其獨特的表現(xiàn)形式成為高考命題的亮點,作為一個重要載體,它常與三角函數(shù)相結(jié)合,在知識的交匯點處命題,常以解答題的形式出現(xiàn).,高頻考點 通 關(guān),【典例2】(1)(2012·陜西高考)設(shè)向量a=(1,cosθ)與b= (-1,2cosθ)垂直,則cos 2θ等于( ) (2)(2013·江蘇高考)已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0βαπ. ①若|a-b|= 求證:a⊥b; ②設(shè)c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.,【解題視點】(1)由向量a與b垂直列方程求解. (2)①利用模的運算證明a·b=0即可;②根據(jù)向量相等列關(guān)于α,β的方程組,由三角變換求解. 【規(guī)范解答】(1)選C.已知a=(1,cosθ),b=(-1,2cosθ), 因為a⊥b, 所以a·b=0, 所以-1+2cos2θ=cos 2θ=0,故選C.,(2)①由題意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因為a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b. ②因為a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),所以 由此得,cosα=cos(π-β),由0β,所以,【通關(guān)錦囊】,【特別提醒】解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想,即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.,【通關(guān)題組】 1.(2014·嘉興模擬)設(shè)向量a=(cosα,-1),b=(2,sinα),若a⊥b,則tan(α- )等于( ) 【解析】選B.因為a⊥b,所以a·b=2cosα-sinα=0,即tanα=2,所以tan(α- )=,2.(2014·湖州模擬)已知向量a=(sinα,2)與向量b=(cosα,1)平行,則tan2α的值為 . 【解析】因為向量a=(sinα,2)與b=(cosα,1)平行,所以sinα-2cosα=0,即tanα=2,故 答案:,3.(2014·合肥模擬)如圖,A,B是單位圓上的動點,C是單位圓與x軸的正半軸的交點,且∠AOB= ,記∠COA=θ,θ∈(0,π), △AOC的面積為S. (1)若f(θ)= +2S,試求f(θ)的最大值以及此時θ的值. (2)當A點坐標為 時,求| |2的值.,【解析】(1) 則 因為θ∈(0,π),故θ= 時,f(θ)max=1. (2)依題 在△BOC中,∠BOC=θ+ . 由余弦定理得:,【加固訓練】 1.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1),且a∥b,則2sinαcosα 等于( ) A.3 B.-3 C. D. 【解析】選D.由a∥b得cosα=-2sinα, 所以tanα= 所以2sinαcosα=,2.(2014·?？谀M)若向量 且a∥b,則銳角α的大小是 . 【解析】因為a∥b,所以 -sinαcosα=0, 所以sin2α=1,又α為銳角,故 答案:,3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB的值. (2)若 =2,且b= 求a和c的值.,【解析】(1)由正弦定理,得 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB(R為△ABC外接圓半徑), 所以sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 所以sin(B+C)=3sinAcosB, 又sin(B+C)=sin(π-A)=sinA. 所以sinA=3sinAcosB. 因為sinA≠0,所以cosB= .,(2)由 =2,得accosB=2, 由(1)知cosB= ,所以ac=6①. 又因為b2=a2+c2-2accosB,即8=a2+c2-4, 所以a2+c2=12②. 由①②式解得a=c=,考點3 向量在解析幾何中的應(yīng)用 【典例3】(1)已知兩點M(-3,0),N(3,0),點P為坐標平面內(nèi)一動點,且 則動點P(x,y)到點M(-3,0)的距離d的最小值為( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)(2014·吉林模擬)已知點A(-1,0),B(1,0),動點M的軌跡曲線C滿足∠AMB=2θ, 過點B的直線交曲線C于P,Q兩點. ①求 的值,并寫出曲線C的方程; ②設(shè)直線PQ的傾斜角是 試求△APQ的面積.,【解題視點】(1)先根據(jù)向量的運算判斷點P的軌跡,再由點M的特點求解. (2)①先根據(jù)向量的運算確定點M的軌跡,然后根據(jù)相關(guān)的值寫出曲線C的方程;②寫出直線PQ的方程,與曲線C的方程組成方程組,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求△APQ的面積.,【規(guī)范解答】(1)選B.因為M(-3,0),N(3,0),所以 由 得 化簡得y2=-12x,所以點M是拋物線y2=-12x的焦點,所以點P到點M的距離的最小值就是原點到M(-3,0)的距離,所以dmin=3.,(2)①設(shè)M(x,y),在△MAB中,|AB|=2,∠AMB=2θ,根據(jù)余弦定理得 即 而 cos2θ=3,所以 所以 又 因此點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓(點M在x軸上也符合題意), a=2,c=1.所以曲線C的方程為,②由題意得直線PQ的方程為:y=x-1. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得 7x2-8x-8=0, 所以x1+x2= ,x1x2=- , y1+y2=x1+x2-2= y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1= 因為A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2. 所以S△APQ=S△ABP+S△ABQ= |AB||y1|+ |AB||y2|=|y1-y2|,即△APQ的面積是,【規(guī)律方法】向量在解析幾何中的兩個作用 (1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用a⊥b?a·b=0(a,b為非零向量),a∥b? a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優(yōu)越的方法.,提醒:用向量法解決解析幾何中的平行與垂直問題,比用斜率解決優(yōu)越,因為用斜率解決問題時,易忽視斜率不存在的情況,常出現(xiàn)使問題漏解的錯誤.,【變式訓練】已知平面上一定點C(2,0)和直線l:x=8,P為該平面上一動點,作PQ⊥l,垂足為Q,且 則點P到點C的距離的最大值是 .,【解析】設(shè)P(x,y),則Q(8,y), 由 得 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 化簡得 所以點P的軌跡是焦點在x軸的橢圓,且a=4, c=2,點C是其右焦點. 故|PC|max=a+c=4+2=6. 答案:6,【加固訓練】 1.(2014·銀川模擬)在平面直角坐標系xOy中,若定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足 =4,則點P的軌跡方程是 . 【解析】因為定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足 =4,所以(x,y)·(1,2)=4,即x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,2.在平行四邊形ABCD中,A(1,1), =(6,0),點M是線段AB的 中點,線段CM與BD交于點P. (1)若 =(3,5),求點C的坐標. (2)當 時,求點P的軌跡. 【解析】(1)設(shè)點C的坐標為(x0,y0), 又 =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), 所以x0=10,y0=6,即點C(10,6).,(2)設(shè)P(x,y), 則 =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1), =(3(x-1),3(y-1))-(6,0)=(3x-9,3y-3). 因為 所以平行四邊形ABCD為菱形.所以 所以(x-7,y-1)·(3x-9,3y-3)=0,,即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. 所以x2+y2-10x-2y+22=0. 即(x-5)2+(y-1)2=4. 又當y=1時,點P在AB上,與題意不符, 故點P的軌跡是以(5,1)為圓心,2為半徑的圓且去掉與直線y=1的兩個交點.,【規(guī)范解答6】向量與三角函數(shù)相結(jié)合的綜合問題 【典例】(14分)(2013·遼寧高考)設(shè)向量a=( sinx,sinx), b=(cosx,sinx), (1)若|a|=|b|,求x的值. (2)設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值.,【審題】分析信息,形成思路,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 (1)因為 b=(cos x，sin x)，|a|=|b|， 所以 …………………… 3分 即4sin2x=1, ………………………………5分 因為 ①, 所以 ………………………………7分,(2)因為 b=(cos x，sin x), 所以 …………………………………… 12分 因為 ①,所以 所以當 時， ……………………………………………… 14分,【點題】失分警示,規(guī)避誤區(qū),【變題】變式訓練,能力遷移 (2014·重慶模擬)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且m⊥n. (1)求角C的大小. (2)若向量s=(0,-1),t= 試求|s+t|的取值范圍.,【解析】(1)由題意得m·n=(a+c,b-a)·(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab. 由余弦定理得cosC= 因為0Cπ,所以C= (2)因為s+t= =(cosA,cosB), 所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2( -A) 因為0A ,所以 所以 所以 故,