巧用面積法妙解幾何題.ppt
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巧用面積法 妙解幾何題,人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 上冊(cè) 映山中學(xué) 嚴(yán)正霞,何謂面積法,在求解平面幾何問(wèn)題的時(shí)候,根據(jù)有關(guān)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系,用面積或面積之間的關(guān)系表示有關(guān)線段間的關(guān)系,從而把要論證的線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積的關(guān)系,并通過(guò)圖形面積的等積變換對(duì)所論問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解的方法,稱之為面積法。 抓住面積不但能把平面幾何知識(shí)變得更容易學(xué),而且使幾何問(wèn)題變得更簡(jiǎn)捷,更有趣味。,溫故知新,填空: 1.若△ABC≌△DEF,且△ABC的面積為25,則△DEF的面積為 。 2.已知AD為△ABC的中線,則S △ABD與S △ACD的大小關(guān)系為 。 3.(1)平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線AC把它分成兩個(gè)三角形△ABC 、△ADC,則S △ABC與S △ADC的大小關(guān)系為 。 (2)平行四邊形ABCD的邊AD上有一點(diǎn)E,連結(jié)EB、EC,則S △EBC與S平行四邊形ABCD的關(guān)系為 。 4.已知直線a ∥b,點(diǎn)M、N為b上兩點(diǎn),點(diǎn)A、B為a上兩點(diǎn),連結(jié)AM、AN、BM、BN,則S △AMN 與S △BMN的大小關(guān)系為 。,25,S△ABD=S△ACD,S△ABC=S△ADC,S△ABD=1/2S平行四邊形ABCD,S△AMN=S△BMN,用面積法解幾何問(wèn)題常用到下列性質(zhì):,全等三角形的面積相等; 三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分; 平行四邊形的對(duì)角線把其分成面積相等的兩部分; 三角形的面積等于同底(或等底)等高的平行四邊形的面積的一半; 同底(或等底)等高的三角形面積相等。,例題講解,證線段相等 例1.已知:△ABC中,∠A為銳角,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,求證:BD=CE.,分析:此題運(yùn)用三角形全等可以解決,但考慮到有“高” ,不妨用面積法來(lái)試試,可用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD來(lái)完成。,證明: ∵ △ABC中,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E ∴ S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD 又AB=AC ∴BD=CE,變式訓(xùn)練,1.已知:等腰△ABC中,AB=AC,D為底邊BC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E、F.求證:DE=DF.,分析:此題用三角形全等可完成,但題中出現(xiàn)兩條“垂線段”,可考慮面積法,連接AD,則S△ABD=S△ACD,由AB=AC,可得DE=DF.,2.平行四邊形ABCD中,BE⊥AC于E,DF⊥AC于F,求證:BE=DF,變式訓(xùn)練,分析:此題可以用平行四邊形和全等三角形的知識(shí)解決,但出現(xiàn)兩條“垂線段”,且都垂直于同一條線段,可考慮面積法,根據(jù)S平行四邊形ABCD=2S △ABC=2S△ADC可得證。,證線段的和差關(guān)系 例2.(1)已知: △ABC中,AB=AC,P為底邊BC上一點(diǎn),PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,BF⊥AC于F,求證:PD+PE=BF.,分析:此題可構(gòu)造矩形來(lái)證明,但較麻煩??紤]到題中有三條“垂線段”,可嘗試面積法。連接AP,根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP,結(jié)合AB=AC,可得證。,證明:∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D,PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD, S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP+ S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD+PE=BF,(2)若P為 △ABC的底邊BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),其他條件不變,則(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論,并證明。,分析:雖然題目條件發(fā)生了變化,但思路不變,方法不變,還是用面積法。連接AP,根據(jù)S△ABC=S△ABP-S△ACP,結(jié)合AB=AC,可得到正確的結(jié)論:PD-PE=BF。,證明:∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D,PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD, S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP﹣S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD﹣PE=BF,3.(1)已知等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分別為D、E、F,又AH為△ABC的高,求證:PD+PE+PF=AH.,變式訓(xùn)練,分析:考慮到題中出現(xiàn)了三條“垂線段”和一條“高”,可嘗試面積法。連結(jié)PA、PB、PC,根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP,由AB=BC=AC,可得證PD+PE+PF=AH,(2)若P是等邊△ABC外部一點(diǎn),其他條件不變,(1)中的結(jié)論仍然成立嗎?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論,并說(shuō)明理由。,分析:此題的條件雖然發(fā)生了變化,但是思路、方法不變,還是應(yīng)用面積法。連結(jié)PA、PB、PC,根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP-S△BCP,由AB=BC=AC,可得正確結(jié)論:PD+PF-PE=AH,證角相等 例3.點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn),分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE,連接BD、AE交于O點(diǎn),再連接OC,求證:∠AOC=∠BOC.,分析:要證∠AOC=∠BOC,可證點(diǎn)C到AO、BO的距離相等,如此就要過(guò)C點(diǎn)作CP⊥AE于P,CQ⊥BD于Q,證CP=CQ,可考慮面積法,證△ACE≌△DCB,則有 S△ACE =S△DCB 且AE=BD,可得CP=CQ。,,P,,Q,證明:過(guò)點(diǎn)C作CP⊥AE于P,CQ⊥BD于Q, ∵△ACD、△BCE是等邊三角形 ∴AC=DC,EC=BC, ∠ACD=∠ECB=60° ∴∠ACE=∠DCB=120° ∴△ACE≌△DCB ∴S△ACE =S△DCB ,AE=BD ∴CP=CQ ∴OC平分∠AOB, 即∠AOC=∠BOC.,變式訓(xùn)練,4.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點(diǎn)E、F,使AF=CE,且AF與CE交于點(diǎn)P,連接BP,求證:BP平分∠APC,分析:要證BP平分∠APC,可證點(diǎn)B到AP、CP的距離相等,故過(guò)B作BG⊥AF于G,BH⊥CE于H,連接BF、BE。由于AF=CE,只要S△ABF=S△BCE即可,而S△ABF=S△BCE=1/2S平行四邊形ABCD,所以BG=BH,命題得證。,,,,,課堂小結(jié),面積法是平面幾何中論證線段關(guān)系的一種較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方法; 使用面積法的前提是:題中要有“垂線段”,若沒(méi)有“垂線段”,則要結(jié)合角平分線的性質(zhì)或判定構(gòu)造“垂線段”; 使用面積法解題的關(guān)鍵在于:抓住圖形之間的面積關(guān)系,進(jìn)而利用面積公式轉(zhuǎn)化為線段關(guān)系。,課后練習(xí),1.Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M為邊BC上一點(diǎn),連接AM,若將△ABM沿直線AM翻折后,點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)B′處,那么點(diǎn)M到AC的距離是 。 2. △ABC中,AB=AC,∠A=120°,BC=6,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,則PE+PF= 。,3. △ABC中,AB>AC,BD和CE分別為AC、AB上的高,求證:BD>CE. 4.以△ABC的邊AB、AC為邊長(zhǎng),在BC的同側(cè)作正方形ABEF和正方形ACGH,連接FH,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D,延長(zhǎng)DA交FH于點(diǎn)M,求證:FM=HM.,※5.設(shè)E是△ABC的角平分線AD上一點(diǎn),連接EB、EC,過(guò)C作CF∥BE交AB的延長(zhǎng)線于F,過(guò)B作BG∥EC交AC的延長(zhǎng)線于G,求證:BF=CG.(提示:S△BEF=S△BEC=S△CEG),※6.在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,求證:AB︰AC=BD︰CD. (提示:AB︰AC=S△ABD︰S△ACD) ※7.Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,求證:1/a2+1/b2=1/h2(提示:a2+b2=c2),- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 面積 法妙解 幾何
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