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第二章 平 面 向 量 §1 從位移、速度、力到向量,1.向量及有向線段的概念 (1)向量的概念：把既有_____，又有_____的量統(tǒng)稱為向量. (2)有向線段：如圖，這種具有_____和_____的線段叫作有向 線段，記作____.,大小,方向,方向,長度,2.向量的表示,箭,頭,3.與向量相關(guān)的概念及向量間的關(guān)系 (1)與向量相關(guān)的概念：,長度,0,單位1,(2)向量間的關(guān)系： ①相等向量： 定義：長度相等且方向相同的向量，記作____ 規(guī)定：_____且_____的有向線段都表示同一向量 ②向量平行或共線： 定義：表示兩個向量的有向線段所在的直線___________. 表示：a與b平行或共線，記作_____. 規(guī)定：零向量與任一向量_____.,,,a=b,同向,等長,平行或重合,a∥b,平行,1．判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量就是有向線段，有向線段就是向量.( ) (2)向量可以比較大小.( ) (3)單位向量都是相等向量.( ) 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在質(zhì)量、加速度、功三個物理量中是向量的是_______. (2)與 模相等，方向相反的向量表示為_______. (3)點D是△ABC邊BC的中點,則向量 與 的關(guān)系是_______.,【解析】1.(1)錯誤.向量與有向線段都有大小、方向，有向線段可以表示向量，但是不能說向量就是有向線段，有向線段就是向量. (2)錯誤.向量既有大小，又有方向，因此不能比較大小，但是向量的?？梢员容^大小. (3)錯誤.單位向量的模相等，但是方向不一定相同，不一定是相等向量. 答案：(1)× (2)× (3)×,2.(1)質(zhì)量,功只有大小沒有方向,不是向量;加速度既有大小，又有方向,是向量. 答案:加速度 (2)與 模相等，方向相反的向量表示為 答案: (3)向量 與 大小相等,方向相同，是相等向量. 答案:相等(平行或共線),【要點探究】 知識點1 向量的概念 1.向量和有向線段的區(qū)別與聯(lián)系 (1)區(qū)別: ①向量是可以自由移動的,故當用有向線段來表示向量時,有向線段的起點是任意的.,②有向線段是不能自由移動的,有向線段平移后就不是原來的有向線段了.有向線段僅僅是向量的直觀體現(xiàn),是向量的一種表現(xiàn)形式,不能等同于向量.有向線段有平行和共線之分,而向量的平行和共線是相同的,是同一個概念. (2)聯(lián)系：向量可以用有向線段來表示，這條有向線段的長度就是向量的長度，有向線段的方向就是向量的方向.,2.關(guān)于零向量與單位向量的方向 (1)零向量：零向量的方向是任意的，雖然規(guī)定零向量與任意向量平行，但一般不能說零向量與某一向量的方向相同或相反，只能用“任意”來描述零向量的方向. (2)單位向量：長度為1的向量為單位向量，單位向量的方向不確定，但對某一個確定的單位向量來說方向是確定的.,【微思考】 (1)由平面內(nèi)的兩個點分別作為起點、終點，可以確定幾個向 量？ 提示：可以確定兩個，如由平面內(nèi)的兩個點A，B可以確定兩個 向量 (2)0與0的區(qū)別是什么？ 提示：0是數(shù)量，只有大小，沒有方向；0是向量，模是0，方向是任意的.,【即時練】 1.下列物理量：①速度；②位移；③力；④密度；⑤路程.其中不是向量的有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2.判斷下列說法正確與否,并說明理由. (1)溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量. (2)方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小. (3)一個向量的方向不確定當且僅當模為0.,【解析】1.選B.是數(shù)量的有：路程、密度. 是向量的有：速度、位移、力. 2.(1)不正確.雖然溫度有零上和零下之分,但這指的不是方向,故不是向量. (2)錯誤.向量沒有大小之分，與它們的方向無關(guān). (3)正確.只有零向量的方向不定,大小為零.,知識點2 向量間的關(guān)系 1.關(guān)于相等向量的關(guān)注點 (1)兩個向量相等必須滿足兩個條件：模相等，方向相同，二者缺一不可.例如，單位向量不一定是相等向量； (2)相等向量是平行(共線)向量，但是平行(共線)向量不一定是相等向量.,2.關(guān)于共線、平行向量的兩點說明 (1)共線向量也就是平行向量，其要求是幾個非零向量的方向相同或相反，但向量所在的直線可以平行，也可以重合，其中“共線”的含義不同于平面幾何中“共線”的含義. (2)共線向量和平行向量是一個問題的兩種說法，是指向量所在直線互相平行或重合，所以共線的兩個向量可能在兩條平行直線上，平行的兩個向量也可能在同一條直線上.故此處的兩種說法均不正確.,【知識拓展】數(shù)學中的向量是自由向量的原因 根據(jù)相等向量的定義來分析,兩個非零向量只有當它們的模相等,同時方向相同時,才能稱它們相等.任意兩個相等的非零向量都可以用同一條有向線段表示, 并且與有向線段的起點無關(guān),所以向量只有大小和方向兩個要素,是自由向量.,【微思考】 (1)若兩個向量的位置不同，那么這兩個向量可能是相等向量嗎？ 提示：兩個向量是否相等主要看兩個向量的模是否相等，方向是否相同，與兩個向量的位置無關(guān)，故這兩個向量也可能是相等向量. (2)向量a與0平行，能不能說0與向量a的方向相同或相反？ 提示：不能，對0的規(guī)定是與任意向量平行，方向是任意的.,【即時練】 (1)把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的起點，那么這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是________. (2)分別位于兩條平行直線上的向量間的關(guān)系是________.,【解析】(1)把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的起點，那么這些向量的終點到起點的距離都等于1，所以，由圓的定義得，這些向量的終點所構(gòu)成的圖形是半徑為1的圓． 答案：半徑為1的圓 (2)分別位于兩條平行直線上的向量，方向相同或相反,是平行(共線)關(guān)系. 答案:平行(共線),【題型示范】 類型一 向量的表示 【典例1】 (1)如圖所示，已知AD=3，B，C是線段AD的兩個三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，長度大于1的向量有______.,(2)如圖，以1 cm×3 cm方格紙中的格點為起點和終點的所有向量中，請寫出以A為起點的不同向量？,【解題探究】1.題(1)圖中長度大于1的線段有多少條? 2.題(2)中確定不同向量的依據(jù)是什么? 【探究提示】 1.圖中長度大于1的線段有AC,AD,BD三條. 2.長度和方向中只要有一個不同,即為不同向量.,【自主解答】(1)根據(jù)題意可得：模等于2的向量有 模等于3的向量有 答案： (2)由圖可知，以A為起點的不同向量有,【延伸探究】題(2)中，條件不變，若問題改為“請寫出模為2的向量”，結(jié)果如何？ 【解析】模為2的向量有,【方法技巧】向量表示法中的三個注意點 (1)書寫時不要忘記“→”. (2)向量 表示向量的起點為A,終點為B,由A指向B. (3)向量表示時要注意小寫字母和大寫字母的用法,不要混合使用.,【變式訓練】在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1. (1)試以B為起點畫一個向量b,使b=a. (2)在圖中畫一個以A為起點的向量c,使|c|= ,并說出向量c的終點的軌跡是什么?,【解析】(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行， 且長度相等，如圖中的b即為所作. (2)c向量如圖.(答案不唯一) 由平面幾何知識可知，所有滿足條件的向量c的終點的軌跡 是以A為圓心，半徑為 的圓.,【誤區(qū)警示】作圖時容易弄錯長度的關(guān)系,應(yīng)借助圖中的方格數(shù)確定向量的模.,【補償訓練】如圖，已知正方形ABCD邊長為2，O為其中心， 則向量| |=______． 【解析】正方形的對角線長為 所以 答案：,類型二 向量的關(guān)系及其應(yīng)用 【典例2】 (1)等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于 點P，點E，F(xiàn)分別在兩腰AD，BC上，EF過 點P，且EF∥AB，則( ),(2)如圖,D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊上 的中點，四邊形BCMF是平行四邊形， 請分別寫出： ①與 模相等且共線的向量. ②與 相等的向量.,【解題探究】1.題(1)中判斷向量是否相等的依據(jù)是什么？ 2.題(2)中判斷向量共線的依據(jù)是什么？ 【探究提示】1.判斷向量是否相等的依據(jù)是兩個向量的模是否相等，方向是否相同. 2.判斷向量共線的依據(jù)是兩個向量的方向是否相同或相反.,【自主解答】(1)選D.根據(jù)相等向量的定義， 分析可得，A. 與 方向不同，A錯誤， B. 與 方向不同，B也錯誤， C. 與 方向相反，C也錯誤， D. 與 方向相同，且大小都等于線段EF長度的一半， D正確．,(2)①因為BCMF是平行四邊形，所以CM∥BF. 因為D，E分別是BC，AC的中點，所以BF∥DE. 又因為F是AB的中點，所以與向量 模相等且共線的向量 有 ②由①的分析可知，與向量 相等的向量有,【延伸探究】本例(1)中，相等的向量共有多少組？ 【解析】依據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可知AD=BC,AC=BD,EP=PF,AE=BF, DE=CF,DP=CP,AP=BP每一條線段可以表示方向不同的兩組相等 向量，故共有14組相等向量.,【方法技巧】相等向量與共線向量需注意的幾個問題 (1)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向量. (2)兩個向量平行與兩條直線平行是兩個不同的概念；兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合. (3)平行(共線)向量無傳遞性(因為有0). (4)共線向量一般在一條直線上或分別在兩條平行直線上.,【變式訓練】如圖，在正六邊形ABCDEF中， 點O為其中心，則下列判斷錯誤的是( ),【解題指南】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)及相等向量的定義可得答案. 【解析】選D.由圖可知， 但 不共線，故 故選D．,【補償訓練】如圖所示，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形， (1)找出圖中與 共線的向量. (2)找出圖中與 相等的向量. (3)找出圖中模與| |相等的向量. (4)找出圖中與 相等的向量.,【解析】(1)與 共線的向量有 (2)與 相等的向量有 (3)模與| |相等的向量有 (4)與 相等的向量有,【易錯誤區(qū)】特殊向量在應(yīng)用中的誤區(qū) 【典例】下列命題中，正確的是( ) A.若a∥b，則a與b的方向相同或相反 B.若a∥b，b∥c，則a∥c C.若兩個單位向量互相平行，則這兩個單位向量相等 D.若a=b，b=c，則a=c,【解析】選D.由于零向量的方向是任意的，且規(guī)定與任一向量平行，故取a=0，則對于任意向量b，都有a∥b，知A錯；取b=0，則對于任意向量a，c都有a∥b，b∥c，但得不到a∥c，知B錯；兩個單位向量互相平行，方向可能相反，知C錯；由兩向量相等的概念知D正確．,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 重視特殊向量在解題中的應(yīng)用 特殊向量的性質(zhì)往往與一般向量有所不同，在解題過程中應(yīng)單獨加以驗證，不能混淆，否則在解決相關(guān)問題過程中容易出錯.如本例中涉及零向量的性質(zhì)，即零向量與任意向量平行.解題時要驗證取零向量時是否成立.,【類題試解】下列四個命題：①若|a|=0，則a=0；②若|a|= |b|，則a=b；③若a與b是平行向量,則|a|=|b|；④若a與b 滿足|a|＞|b|且a與b同向，則a＞b．其中正確命題的個數(shù)是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4,【解析】選A.因為若|a|=0，則a為零向量，即a=0，故①正確； 若|a|=|b|，則兩個向量大小相等，但方向不確定，故a=b不一定成立，故②錯誤； 若a與b是平行向量，則向量a與b的方向相同或相反，但大小關(guān)系不確定，故③錯誤； 向量不能比較大小，故④錯誤， 故正確命題的個數(shù)是1.,