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§2 從位移的合成到向量的加法 2.1 向量的加法,1.向量加法的運算法則 (1)三角形法則 ①圖示：,②幾何意義：已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點A,作 =a, =b,再作向量 ，則向量____叫作向量a與b的和,記作 ____,即a+b=,a+b,(2)平行四邊形法則 ①圖示：,②幾何意義：已知向量a,b，作 =a， =b，再作平行于 的 =b，連接DC，則四邊形ABCD為平行四邊形，向量____叫 作向量a與b的和,表示為_________.,2.向量加法的運算律 (1)交換律：a+b=____. (2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+______.,b+a,(b+c),1．判一判 (正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量的加法就是向量的模相加.( ) (2)向量相加其結(jié)果仍然是一個向量.( ) (3)任何向量與零向量的和都等于其本身.( ) 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)△ABC中， =_______. (2)在平行四邊形ABCD中， =a, =b,則 等于______. (3)化簡 =_______.,【解析】1.(1)錯誤.向量有大小和方向，其和不是單純模相加. (2)正確.由三角形法則可知，其和是從起點指向終點的向量. (3)正確.由向量加法的三角形法則可得任何向量與零向量的和都是其本身. 答案：(1)× (2)√ (3)√,2.(1) 答案：0 (2) 答案：b (3) 答案：,【要點探究】 知識點 向量的加法法則及其運算律 1.對向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的理解 (1)兩個法則的使用條件不同 三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和. 當(dāng)兩個向量不共線時，兩個法則是一致的.,如圖所示： (平行四邊形法則)， 又因為 所以 (三角形法則). (2)在使用三角形法則時,應(yīng)注意“首尾連接”;在使用平行四邊形法則時相加向量共起點.,2.向量加法運算律的推廣 向量加法的交換律和結(jié)合律對多個向量仍然成立，恰當(dāng)?shù)厥?用運算律可以實現(xiàn)簡化運算的目的.如在進(jìn)行多個向量的加法 運算時，可以按照任意的次序和任意的組合進(jìn)行.如(a+b)+ (c+d)=(a+d)+(b+c).,【微思考】 (1)當(dāng)多個向量相加時，一般應(yīng)選擇哪個運算法則？ 提示：當(dāng)多個向量相加時，一般采用三角形法則，首尾相連比較方便. (2)進(jìn)行多向量的化簡時應(yīng)注意什么問題？ 提示：進(jìn)行多向量的化簡時要靈活運用向量運算的交換律、結(jié)合律簡化運算.,【即時練】 在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點， DE∥BC,AB∥CF，連接CD，EF，那么(在 橫線上只填上一個向量) ① =_______; ② =_______; ③ =_______.,【解析】① ② ③ 答案：① ② ③,【題型示范】 類型一 向量的加法法則的簡單應(yīng)用 【典例1】 (1)在四邊形ABCD中，如圖所示， 用一個向量填空: ①a+b=_______. ②b+c=_______. ③a+b+c+d=_______.,(2)如圖①、②，已知向量a和b，試作出a與b的和向量a+b.,【解題探究】1.題(1)中用到了向量加法的哪個法則？ 2.題(2)中設(shè)兩個不共線的向量a,b,如何作出它們的和向量？ 【探究提示】1.三角形法則. 2.作法： ①在平面內(nèi)任取一點O. ②作 ③,【自主解答】(1)利用三角形法則解答即可. 答案:①e ②f ③0 (2)先作 再作 得,【延伸探究】把題(2)中向量a,b的圖示換成如圖①②所示，結(jié)果會如何？ 【解題指南】結(jié)合三角形法則及平行四邊形法則求解.,【解析】(1)如圖①所示,設(shè) 因為a與b有公共點A,故過A 點作 連接OB， 即為a+b. (2)如圖②所示,設(shè) 過O點作 則以O(shè)A,OB為鄰邊作 ?OACB,連接OC,則,【方法技巧】利用向量的加法法則作圖的方法 (1)使用三角形法則的具體方法是： ①把用小寫字母表示的向量，用兩個大寫字母表示(其中后面向量的起點與其前一個向量的終點重合即用同一個字母來表示); ②由第一個向量的起點指向第二個向量終點的有向線段就表示這兩個向量的和.,(2)使用平行四邊形法則的具體方法是: ①把兩個已知向量的起點平移到同一點; ②以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形; ③則以公共點為起點的對角線所在向量就是這兩個已知向量的和.,【變式訓(xùn)練】已知向量a,b，求作向量a+b. 【解析】在平面內(nèi)取一點O， 作 則,【誤區(qū)警示】作向量相等時要注意使向量所在直線平行，模相等，即方向相同、模相等.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】若正方形ABCD的邊長為1， 試作出向量a+b+c，并求出其模的大小.,【解析】根據(jù)平行四邊形法則 可知， 根據(jù)三角形法則，延長AC， 在AC的延長線上作 則a+b+c= (如圖所示). 所以|a+b+c|=,類型二 向量的加法在實際問題中的應(yīng)用 【典例2】 (1)(2014·紅河高一檢測)小船以10 km/h的速度向垂直于 對岸的方向行駛，同時河水的流速為10 km/h，則小船實際航 行速度的大小為( ) A.20 km/h B.20 km/h C.10 km/h D.10 km/h,(2)如圖，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上． ∠ACW=150°，∠BCW=120°，求A和B處所受力的大?。?忽 略繩子重量),【解題探究】1.題(1)中小船的實際航行速度是怎樣合成的？ 2.題(2)中四邊形CFWE具有怎樣的特殊性質(zhì)？ 【探究提示】1.小船的實際航行速度是由小船的靜水速度與水流速度合成的. 2.四邊形CFWE是矩形.,【自主解答】(1)選B.如圖，設(shè)船在靜水中的速度為|v1|= 10 km/h，河水的流速為|v2|=10 km/h． 小船實際航行速度為v0，則由v12+v22=v02，得 =v02，所以|v0|=20 km/h，即小船實際航行速度的大小為 20 km/h．故選B．,(2)設(shè)A,B處所受力分別為f1,f2，10 N的重力用f表示，則f1+f2=f．以重力作用點C為f1,f2的始點，在?CFWE中， 則∠ECW=180°-150°=30°，∠FCW=180°- 120°=60°，∠FCE=90°．,所以四邊形CEWF為矩形． 所以 所以A處受力大小為5 N，B處受力大小為5 N.,【方法技巧】與向量加法相關(guān)的應(yīng)用問題的解法 首先要根據(jù)題意，利用平行四邊形(三角形)法則作出圖形，再確定圖形的性質(zhì)，通過圖形的性質(zhì)求出相關(guān)的邊或角，再利用求出的邊或角解釋實際意義.,【變式訓(xùn)練】一汽車向北行駛3 km，然后向北偏東60°方向行駛3 km，求汽車的位移． 【解題指南】作出示意圖，三點正好組成了一個已知兩邊與一角的三角形，由有關(guān)三角形的定理即可求得汽車的位移.,【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，汽車行駛的路線為A→C→B． 在三角形ABC中，AC=BC=3，∠ACB=120°, 所以∠BAC=30°，AB= 故汽車的位移為北偏東30°方向，大小為 km．,【補(bǔ)償訓(xùn)練】一位模型賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進(jìn)1米，順時針方向轉(zhuǎn)彎60°，按直線向前行進(jìn)1米，再順時針方向轉(zhuǎn)彎60°，繼續(xù)按直線向前行1米……如此操作六次. (1)按1∶100的比例，用向量表示賽車的位移. (2)觀察賽車位移示意圖，你能得到什么結(jié)論？,【解析】(1)如圖.第一次的位移：100米； 第二次的位移：AC=100 (米)； 第三次的位移：AD=200(米)； 第四次的位移：AE=100 (米)； 第五次的位移：100米； 第六次的位移：回到A點，即0米. (2)由賽車位移示意圖知，操作六次的路線是一邊長為1的正六邊形.,【易錯誤區(qū)】向量化簡中的誤區(qū) 【典例】(2014·汕頭高一檢測)如圖，正六邊形ABCDEF中， =( ),【解析】選D.根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，易得 故選D.,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 向量化簡中的技巧 結(jié)合圖形進(jìn)行向量化簡時要充分研究圖形的性質(zhì)，借助向 量相等進(jìn)行向量的轉(zhuǎn)化，這是向量化簡中常用的技巧，如本例 中向量 替代后才能進(jìn)行化簡.,【類題試解】已知D，E，F(xiàn)分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則下列等式中不正確的是( ),【解析】選D.由向量加法的法則得 故選項A,B正確． 因為D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點， 因為 故選項C正確． 由上知 故選項D不正確．,