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3.1.3幾種常見函數的導數,高二數學 選修1-1,一、復習,1.解析幾何中,過曲線某點的切線的斜率的精確描述與 求值;物理學中,物體運動過程中,在某時刻的瞬時速 度的精確描述與求值等,都是極限思想得到本質相同 的數學表達式,將它們抽象歸納為一個統一的概念和 公式——導數,導數源于實踐,又服務于實踐.,2.求函數的導數的方法是:,說明:上面的方法中把x換x0即為求函數在點x0處的 導數.,說明:上面的方法中把x換x0即為求函數在點x0處的 導數.,3.函數f(x)在點x0處的導數 就是導函數 在x= x0處的函數值,即 .這也是求函數在點x0 處的導數的方法之一。,4.函數 y=f(x)在點x0處的導數的幾何意義,就是曲線y= f(x)在點P(x0 ,f(x0))處的切線的斜率.,5.求切線方程的步驟：,（1）求出函數在點x0處的變化率 ，得到曲線 在點(x0,f(x0))的切線的斜率。,（2）根據直線方程的點斜式寫出切線方程，即,二、幾種常見函數的導數,根據導數的定義可以得出一些常見函數的導數公式.,公式1: .,1) 函數y=f(x)=c的導數.,請同學們求下列函數的導數:,表示y=x圖象上每一點處的切線斜率都為1,這又說明什么?,公式2: .,請注意公式中的條件是 ,但根據我們所掌握的知識,只能就 的情況加以證明.這個公式稱為冪函數的導數公式.事實上n可以是任意實數.,我們今后可以直接使用的基本初等函數的導數公式,你記住了嗎？,導數的運算法則:,法則1:兩個函數的和(差)的導數,等于這兩個函數的導數的 和(差),即:,法則2:兩個函數的積的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,加上第一個函數乘第二個函數的導數 ,即:,法則3:兩個函數的商的導數,等于第一個函數的導數乘第二個函數,減去第一個函數乘第二個函數的導數 ,再除以第二個函數的平方.即:,三、看幾個例子:,例1.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線y=x2上的兩點，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程。,2）,例3.求函數y=x3-2x+3的導數.,模式訓練,答案:,例4.某運動物體自始點起經過t秒后的距離s滿足s= -4t3+16t2. (1)此物體什么時刻在始點? (2)什么時刻它的速度為零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的時刻運動物體在 始點.,即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8,,故在t=0,t=4和t=8秒時物體運動的速度為零.,變式訓練 已知曲線S1:y=x2與S2:y=-(x-2)2,若直線l與S1,S2均 相切,求l的方程.,解:設l與S1相切于P(x1,x12),l與S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).,對于 則與S1相切于P點的切線方程為y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,對于 與S2相切于Q點的切線方程為y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②,因為兩切線重合,,若x1=0,x2=2,則l為y=0;若x1=2,x2=0,則l為y=4x-4.,所以所求l的方程為:y=0或y=4x-4.,四、小結與作業(yè),2.能結合其幾何意義解決一些與切點、切線斜率有關的較為綜合性問題.,1.會求常用函數的導數.,模式練習,求曲線y=x2在點(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍城的三角形的面積。,