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第5講 萬有引力定律及其應用,【高考這樣考】 1.(2015·北京高考)假設地球和火星都繞太陽做勻速圓周運動,已知地球到太陽的距離小于火星到太陽的距離,那么( ) A.地球公轉周期大于火星的公轉周期 B.地球公轉的線速度小于火星公轉的線速度 C.地球公轉的加速度小于火星公轉的加速度 D.地球公轉的角速度大于火星公轉的角速度,【解析】選D。萬有引力充當?shù)厍蚝突鹦抢@太陽做圓周運動的半徑, 可得T= 地球到太陽的距離小于火星 到太陽的距離,所以地球公轉周期小于火星公轉周期,地球公轉的線速 度、加速度、角速度均大于火星公轉的線速度、加速度、角速度,選 項A、B、C錯誤,選項D正確。,2.(2015·全國卷Ⅱ)由于衛(wèi)星的發(fā)射場不在赤道上,同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道。當衛(wèi)星在轉移軌道上飛經赤道上空時,發(fā)動機點火,給衛(wèi)星一附加速度,使衛(wèi)星沿同步軌道運行,已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s,某次發(fā)射衛(wèi)星飛經赤道上空時的速度為1.55×103m/s,此時衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同,轉移軌道和同步軌道的夾角為30°,如圖所示,發(fā)動機給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為( ),A.西偏北方向,1.9×103m/s B.東偏南方向,1.9×103m/s C.西偏北方向,2.7×103m/s D.東偏南方向,2.7×103m/s,【解析】選B。作出衛(wèi)星的速度變化示意圖如圖所示, 由余弦定理可得v附加=1.9×103m/s,故C、D均錯誤;由速度變化示意圖可得,v附加的方向為東偏南方向,B項正確,A項錯誤。,3.(2014·江蘇高考)已知地球的質量約為火星質量的10倍,地球的半徑約為火星半徑的2倍,則航天器在火星表面附近繞火星做勻速圓周運動的速率約為( ) A.3.5km/s B.5.0km/s C.17.7km/s D.35.2km/s,【解析】選A。構建公轉模型,對衛(wèi)星由萬有引力提供向心力,有 ,對近地衛(wèi)星v近地= ,同理對航天器有v航= ,聯(lián)立兩式有 ,而v近地=7.9km/s,解得 v航=3.5km/s,A項正確。,4.(2014·新課標全國卷Ⅱ)假設地球可視為質量均勻分布的球體。已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0;在赤道的大小為g;地球自轉的周期為T,引力常量為G。地球的密度為( ),【解析】選B。由萬有引力定律可知： =mg0,在地球的赤道上： -mg=m( )2R,地球的質量M= πR3ρ,聯(lián)立三式可得： ρ= ,選項B正確。,【考情分析】 主要題型：選擇題、計算題 命題特點： 1.考查萬有引力定律的應用。 2.結合牛頓運動定律,對天體的運動進行定性分析和定量計算。 3.以黃金代換為主線,利用牛頓第二定律估算中心天體的質量和密度。 4.與能量守恒知識相結合,考查天體的運動及變軌問題。,【主干回顧】,【要素掃描】 (1)一條黃金代換：GM=gR2。 (2)兩條基本思路。 ①天體附近： 。 ②環(huán)繞衛(wèi)星： 。 (3)兩類衛(wèi)星。 ①近地衛(wèi)星： 。 ②同步衛(wèi)星： (T=24h)。,熱點考向1 中心天體的質量和密度的估算 【典例1】(2015·天津高考)P1、P2為相距遙遠的兩顆行星,距各自表面相同高度處各有一顆衛(wèi)星S1、S2做勻速圓周運動。圖中縱坐標表示行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a,橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方,兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關系,它們左端點橫坐標相同,則( ),A.P1的平均密度比P2的大 B.P1的“第一宇宙速度”比P2的小 C.S1的向心加速度比S2的大 D.S1的公轉周期比S2的大,【解題探究】 （1）根據(jù)___________和______判斷行星的平均密度的大小。 （2）根據(jù)_____________判斷行星“第一宇宙速度”的大小。 （3）根據(jù)_____________判斷向心加速度的大小。 （4）根據(jù)________________________判斷公轉周期的大小。,【解析】選A、C。兩顆行星左端點橫坐標相同,縱坐標不同,則兩顆行 星P1、P2的半徑相同,表面的重力加速度g1g2。由mg=G 可得 M= ,則M1M2,兩顆行星的體積相同,由ρ= 可得ρ1ρ2,故選 項A正確;由 可得v= ,則v1v2,故選項B錯誤;由 G =ma可得a= ,則a1a2,故選項C正確;由G =m(R+h)( )2可得T=2π ,則T1T2,故選項D錯誤。,【典例2】宇航員在地球上的水平地面將一小球平拋,使小球產生一定的水平位移,當他登陸一半徑為地球半徑2倍的天體后,站在該天體水平地面上以和在地球上完全相同的方式平拋小球,測得小球的水平位移大約是地球上平拋時的4倍,宇航員由此估算該天體的質量M1約為(式中M為地球的質量)( ) A.M1= M B.M1=2M C.M1= M D.M1=4M,【名師解讀】 (1)命題立意：考查萬有引力定律與平拋知識的綜合應用。 (2)關鍵信息：完全相同的方式平拋小球。 (3)答題必備： ①G =mg; ②x=vt; ③h= gt2。 (4)易錯警示：易把天體表面和地球表面的重力加速度弄混。,【解析】選C。根據(jù)平拋規(guī)律可計算星球表面加速度,豎直方向 h= gt2,水平方向x=vt,可得g1= g,再由星球表面萬有引力公 式G =mg,R1=2R,可得M1= ,C正確。,【規(guī)律總結】天體質量和密度的估算方法 (1)利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R計算。 由于G =mg,故天體質量M= ,天體密度ρ=,(2)通過衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r計算。由萬 有引力等于向心力，即 ，得出中心天體質量M＝ 。若已知天體的半徑R，則天體的平均密度 若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等 于天體半徑R，則天體密度ρ＝ ，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體 表面運動的周期T，就可估測出中心天體的密度。,【題組過關】 1.(多選)一行星繞恒星做圓周運動。由天文觀測可得,其運行周期為T,速度為v。引力常量為G,則下列說法正確的是( ) A.恒星的質量為 B.行星的質量為 C.行星運動的軌道半徑為 D.行星運動的加速度為,【解析】選A、C、D。因v＝ ，所以r＝ ，C正確；結合萬有引 力定律公式 ，可解得恒星的質量M＝ ，A正確；因 不知行星和恒星之間的萬有引力的大小，所以行星的質量無法計算， B錯誤；行星的加速度a＝ ，D正確。,2.(2015·安陽二模)“嫦娥五號”探測器由軌道器、返回器、著陸器等多個部分組成。探測器預計在2017年由“長征五號”運載火箭在中國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,自動完成月面樣品采集,并從月球起飛,返回地球,帶回約2kg月球樣品。某同學從網(wǎng)上得到一些信息,如表格中的數(shù)據(jù)所示,請根據(jù)題意,判斷地球和月球的密度之比為( ) A. B. C.4 D.6,【解析】選B。在地球表面，重力等于萬有引力，故： =mg，解得：M= ，故密度： 同理，月球的密度： 。故地球和月球的密度之比： 故本題選B。,3.“嫦娥三號”衛(wèi)星在月球上空繞月球做勻速圓周運動時,經過時間t,衛(wèi)星行程為s,衛(wèi)星與月球中心連線掃過的角度是θ弧度,萬有引力常量為G,月球半徑為R,則可推知月球密度的表達式是( ),【解析】選B。根據(jù)圓周運動的特點,軌跡半徑r= ,“嫦娥三號”做 勻速圓周運動的角速度ω= ,由萬有引力公式可得G =mω2r,密 度公式ρ= ,聯(lián)立可得ρ= ,選項B正確,選項A、C、D 錯誤。,【加固訓練】(多選)(2015·張掖二模)“嫦娥二號”繞月衛(wèi)星于2010年10月1日18時59分57秒在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空,并獲得了圓滿成功?！版隙鸲枴毙麻_辟了地月之間的“直航航線”,即直接發(fā)射至地月轉移軌道,再進入距月面約h=1×105m的圓形工作軌道,開始進行科學探測活動。設月球半徑為R,月球表面的重力加速度為g月,萬有引力常量為G,則下列說法正確的是( ),A.由題目條件可知月球的平均密度為 B.“嫦娥二號”在工作軌道上繞月球運行的周期為2π C.“嫦娥二號”在工作軌道上的繞行速度為 D.“嫦娥二號”在工作軌道上運行時的向心加速度為( )2g月,【解析】選A、D。在月球表面重力與萬有引力相等,由 可得月球質量 ，據(jù)密度公式可得月球密度 故A正確；根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有 可得周期 故B錯誤；根據(jù)萬有引力提 供圓周運動向心力 可得“嫦娥二號”繞行速度為,故C錯誤；根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力 G =ma可得“嫦娥二號”在工作軌道上的向心加速度 故D正確。,熱點考向2 人造衛(wèi)星問題 【典例3】(多選)(2015·全國卷Ⅰ)我國發(fā)射的“嫦娥三號”登月探測器靠近月球后,先在月球表面附近的近似圓軌道上繞月運行;然后經過一系列過程,在離月面4 m高處做一次懸停(可認為是相對于月球靜止);最后關閉發(fā)動機,探測器自由下落。已知探測器的質量約為1.3×103kg,地球質量約為月球的81倍,地球半徑約為月球的3.7倍,地球表面的重力加速度大小約為9.8 m/s2,則此探測器( ),A.在著陸前的瞬間,速度大小約為8.9 m/s B.懸停時受到的反沖作用力約為2×103N C.從離開近月圓軌道到著陸這段時間內,機械能守恒 D.在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的線速度,【解題探究】 (1)在靠近星球附近_________________。 (2)探測器在月球表面懸停時應處于_________。 (3)判斷機械能守恒的思路：____________________________ _______________________________來判斷。 (4)利用_____________________________________。,萬有引力等于重力,平衡狀態(tài),探測器在月球表面著陸過程中,,從探測器上的火箭是否工作的角度,萬有引力等于向心力來比較線速度的大小,【解析】選B、D。在地球表面附近有 =mg地,在月球表面附近 有 =mg月,可得g月=1.656m/s2,所以探測器落地的速度為v= =3.64m/s,故A錯誤;探測器懸停時受到的反沖作用力為F=mg月≈2× 103N,B正確;探測器由于在著陸過程中開動了發(fā)動機,因此機械能不守 恒,C錯誤;在靠近星球的軌道上有 ,即有v= ,可 知在近月圓軌道上運行的線速度小于人造衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的 線速度,故選項D正確。,【典例4】我國自主研發(fā)的北斗導航系統(tǒng)已正式投入商業(yè)運行,北斗導航系統(tǒng)又被稱為“雙星定位系統(tǒng)”,具有導航、定位等功能。如圖所示,北斗導航系統(tǒng)中的兩顆工作衛(wèi)星均繞地心做勻速圓周運動,且軌道半徑均為r,某時刻工作衛(wèi)星1、2分別位于軌道上的A、B兩個位置,若兩衛(wèi)星均沿順時針方向運行,地球表面的重力加速度為g,地球半徑為R,不計衛(wèi)星間的相互作用力,下列判斷正確的是( ),A.衛(wèi)星1向后噴氣就一定能夠追上衛(wèi)星2 B.衛(wèi)星1由A位置運動到B位置的過程中萬有引力做正功 C.這兩顆衛(wèi)星的加速度大小相等,均為 D.衛(wèi)星1由位置A運動到B位置所需的時間是,【解題探究】 (1)分析衛(wèi)星1能否追上衛(wèi)星2的思維軌跡：______________________ __________________________________________________________ ________________。 (2)計算衛(wèi)星1由A運動到B所需時間的思維軌跡：___________________ ______________________________________________________,衛(wèi)星1向后噴氣,衛(wèi)星1做,加速運動,衛(wèi)星1將做離心運動,其軌道半徑變大,衛(wèi)星1不能追上同,軌道運行的衛(wèi)星2,萬有引力提供向心力，,由公式 求得周期T，再根據(jù)公式t= T求得t。,【解析】選C。衛(wèi)星1向后噴氣，衛(wèi)星1做加速運動，在軌道上做圓周 運動所需向心力增加，而提供向心力的萬有引力沒有發(fā)生變化，故衛(wèi) 星1將做離心運動，衛(wèi)星1軌道變大，故衛(wèi)星1不能追上同軌道運行的 衛(wèi)星2，A錯誤；衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的過程中，萬有引力提供 圓周運動的向心力，故從位置A運動到位置B的過程中，萬有引力始終 指向圓心，與衛(wèi)星運動的速度方向垂直，故此過程中萬有引力對衛(wèi)星 不做功，B錯誤；在地球表面重力與萬有引力大小相等， =mg， 可得GM=gR2，又衛(wèi)星在軌道上運動，萬有引力提供圓周運動的向心力，,故 =ma，可得衛(wèi)星的加速度a= ，C正確；萬有引力 提供圓周運動向心力， ，可得衛(wèi)星運行周期為： 所以衛(wèi)星1從位置A到位置B所需時間 D錯誤。,【規(guī)律總結】解答衛(wèi)星問題的三個關鍵點 （1）根據(jù) 推導、記憶 等公式。 （2）理解掌握第一宇宙速度的意義、求法及數(shù)值、單位。 （3）靈活應用同步衛(wèi)星的特點，注意同步衛(wèi)星與地球赤道上物體的運動規(guī)律的區(qū)別和聯(lián)系。,【題組過關】 1.(2015·中山一模)一人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動,假如該 衛(wèi)星變軌后仍做勻速圓周運動,速度大小減小為原來的 ,則變軌前后 衛(wèi)星的( ) A.向心加速度大小之比為4∶1 B.角速度大小之比為2∶1 C.周期之比為1∶8 D.軌道半徑之比為1∶2,【解析】選C。人造衛(wèi)星做圓周運動，萬有引力提供向心力， 可得v= ，變軌前后速度之 比為2∶1，所以變軌前后的軌道半徑之比為1∶4，選項D錯；根據(jù) a= 可得加速度之比為16∶1,選項A錯誤；角速度ω= 可得 角速度之比為8∶1，選項B錯誤；周期T= ，即與角速度成反比， 所以周期之比為1∶8，選項C正確。,2.(2015·重慶高考)航天員王亞平在“天宮一號”飛船內進行了我國首次太空授課,演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象。若飛船質量為m,距地面高度為h,地球質量為M,半徑為R,引力常量為G,則飛船所在處的重力加速度大小為( ),【解析】選B?！疤鞂m一號”飛船繞地球飛行時與地球之間的萬有引 力F引= ，由于“天宮一號”飛船繞地球飛行時重力與萬有 引力相等，即mg＝ ，故飛船所在處的重力加速度g＝ ，故選項B正確，選項A、C、D錯誤。,3.已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍。一飛行器繞地球做勻速圓周運動的周期為3h。若地球半徑為R,則該飛行器繞地心飛行的軌道半徑最接近( ) A.0.83R B.1.7R C.1.9R D.3.3R,【解析】選B。方法一：根據(jù)衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供 可知，對同步衛(wèi)星有： （6.6R）， 對飛行器有： ，又因地球同步衛(wèi)星繞地球運動的周期 為24 h，則有 ，聯(lián)立以上各式得：r=1.65R，故飛行器繞地 心飛行的軌道半徑最接近1.7R，B正確。 方法二：由開普勒第三定律 ，其中r1=6.6R,T1=24h,T2=3h, 則r2=1.65R≈1.7R,B正確。,【加固訓練】(2015·海淀區(qū)二模)發(fā)射地球同步通信衛(wèi)星是將衛(wèi)星以一定的速度送入預定軌道。地球同步通信衛(wèi)星的發(fā)射場一般盡可能建在緯度較低的位置,這樣做的主要理由是在該位置( ) A.地球對衛(wèi)星的引力較大 B.地球自轉線速度較大 C.重力加速度較大 D.地球自轉角速度較大,【解析】選B。由萬有引力定律可知物體在地球表面各點所受的引力大小相等,A錯誤。相對于地心的發(fā)射速度等于相對于地面的發(fā)射速度加上地球自轉的線速度,地球自轉的線速度越大,相對于地心的發(fā)射速度越大,衛(wèi)星越容易發(fā)射出去。赤道處,半徑最大,由v=rω知自轉線速度最大,故B正確。赤道處重力加速度最小,故C錯誤。在地球上各點具有相同的角速度,D錯誤。,熱點考向3 航天器的變軌問題 【典例5】(多選)(2015·合肥二模)中國首個空間 實驗室“天宮一號”在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心,由長征 運載火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道 上,B點距離地面高度為h,地球的中心位于橢圓的 一個焦點上?！疤鞂m一號”飛行幾周后進行變軌,進入預定圓軌道,如圖所示。已知“天宮一號”在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t,萬有引力常量為G,地球半徑為R。則下列說法正確的是( ),A.“天宮一號”在橢圓軌道的B點的向心加速度等于在預定圓軌道的B點的向心加速度 B.“天宮一號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中,機械能不守恒 C.“天宮一號”從A點開始沿橢圓軌道向B點運行的過程中,動能先減小后增大 D.由題中給出的信息可以計算出地球的質量M=,【名師解讀】 (1)命題立意：考查衛(wèi)星的變軌問題。 (2)關鍵信息：B點距離地面高度為h;在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t。 (3)答題必備： ① =ma; ② ③T= 。 (4)易錯警示：誤把h當作衛(wèi)星作圓周運動的半徑。,【解析】選A、D。在B點，由 ＝ma知，無論在哪個軌道上的 B點，其向心加速度相同，A項正確；“天宮一號”在橢圓軌道上 運行時，其機械能守恒，B項錯誤；“天宮一號”從A點開始沿橢 圓軌道向B點運行的過程中，動能一直減小，C項錯誤；對“天宮 一號”在預定圓軌道上運行，有 故 D項正確。,【典例6】(多選)“神舟九號”飛船與“天宮一號”目標飛行器在離地面343km的近圓形軌道上成功進行了我國首次載人空間交會對接。對接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣。下列說法正確的是( ) A.為實現(xiàn)對接,兩者運行速度的大小都應介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間 B.“神舟九號”的發(fā)射速度大于第一宇宙速度 C.如不加干預,“天宮一號”的軌道高度將緩慢降低 D.航天員在“天宮一號”中處于失重狀態(tài),說明航天員不受地球引力作用,【解題探究】 (1)第一宇宙速度是最小的發(fā)射速度和最大的_________。 (2)分析“天宮一號”的高度變化的思維軌跡：對接軌道所處的空間存在稀薄大氣,故“天宮一號”運行過程空氣阻力做負功,速度減小,軌道半徑變小。,環(huán)繞速度,【解析】選B、C。繞地球運行的飛船和“天宮一號”的速度小于第一宇宙速度,A錯誤;第一宇宙速度是最小的發(fā)射速度,故“神舟九號”的發(fā)射速度大于第一宇宙速度,B正確;如不加干預,在運行一段時間后,空氣阻力對“天宮一號”做負功,速率減小而做向心運動,高度將緩慢降低,C正確;航天員在“天宮一號”中處于失重狀態(tài)是因為其重力提供向心力,并不是不受地球引力作用,所以選項D錯誤。,【遷移訓練】,遷移1：考查“天宮一號”的能量問題 (多選)在【典例6】中,因對接軌道所處的空間存在極其稀薄的大氣,若不加干預,在運行一段時間后,關于“天宮一號”的能量變化,下列說法正確的是( ) A.“天宮一號”的動能增加 B.“天宮一號”的引力勢能將減少 C.“天宮一號”的機械能守恒 D.“天宮一號”受到的萬有引力增大,【解析】選A、B、D。如不加干預,在運行一段時間后,空氣阻力對 “天宮一號”做負功,其速率減小而做向心運動,萬有引力又會對“天 宮一號”做正功而使其動能增加,故選項A正確;空氣阻力對“天宮一 號”做負功,其機械能減少,動能增加,故引力勢能減少,故選項B正 確,C錯誤;由F=G 可知r減小,“天宮一號”受到的萬有引力增大, 選項D正確。,遷移2：若“天宮一號”的軌道半徑變小 在【典例6】中,若“天宮一號”目標飛行器的軌道半徑變小,則下列說法中正確的是( ) A.“天宮一號”的向心加速度變小 B.“天宮一號”的線速度變小 C.“天宮一號”的角速度變小 D.“天宮一號”的周期變小,【解析】選D。由 由于半徑變小，故向心加速度、 線速度、角速度變大，周期變小，故選項A、B、C錯誤，D正確。,遷移3：把考查定性分析變?yōu)榭疾槎窟\算 (多選)假設地球半徑為R,地球表面的重力加速度為g0?！吧裰劬盘枴憋w船沿距地球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動,到達軌道的A點,點火變軌進入橢圓軌道Ⅱ,到達軌道Ⅱ的近地點B再次點火進入近地軌道Ⅲ繞地球做圓周運動。下列判斷正確的是( ),A.飛船在軌道Ⅲ跟軌道Ⅰ的線速度大小之比為1∶2 B.飛船在軌道Ⅲ跟軌道Ⅰ的線速度大小之比為2∶1 C.飛船在軌道Ⅰ繞地球運動一周所需的時間為2π D.飛船在軌道Ⅰ繞地球運動一周所需的時間為T=16π,【解析】選B、D。飛船在軌道Ⅲ和軌道Ⅰ上做勻速圓周運動，均由萬 有引力提供向心力，設地球的質量為M，飛船的質量為m，則由牛頓第 二定律得 選項A錯 誤、B正確；飛船在軌道Ⅰ繞地球運動，萬有引力充當向心力，則 又GM=g0R2，解得T=16π ，選項C錯誤、D正確。,【規(guī)律總結】分析衛(wèi)星變軌應注意的五個問題 (1)衛(wèi)星的a、v、ω、T是相互聯(lián)系的,其中一個量發(fā)生變化,其他各量 也隨之發(fā)生變化。 (2)a、v、ω、T均與衛(wèi)星的質量無關,只由軌道半徑r和中心天體質量 共同決定。 (3)衛(wèi)星變軌時半徑的變化,根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關系判 斷;穩(wěn)定在新軌道上的運行速度變化由v= 判斷。,(4)衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同,軌道半徑越大,機械能越大。 (5)衛(wèi)星經過不同軌道相交的同一點時加速度相等,外軌道的速度大于內軌道的速度。,【加固訓練】(多選)地球赤道上的重力加速度為g,物體在赤道上隨地球自轉的向心加速度為a,衛(wèi)星甲、乙、丙在如圖所示的三個橢圓軌道上繞地球運行,衛(wèi)星甲和乙的運行軌道在P點相切。不計阻力,以下說法正確的是( ),A.如果地球的轉速變?yōu)樵瓉淼? 倍,那么赤道上的物體將會“飄”起來而處于完全失重狀態(tài) B.衛(wèi)星甲、乙分別經過P點時的速度相等 C.衛(wèi)星丙的周期最小 D.衛(wèi)星甲的機械能最大,【解析】選A、C。由題意知：G -mg=ma,若赤道上的物體“飄” 起來而處于完全失重狀態(tài),則物體所受的萬有引力全部用來提供向心 力,即G =ma′,可知a′=g+a,根據(jù)向心加速度與轉速的關系： a=(2πn)2R,a′=(2πn′)2R,因此 ,A正確;經P點后, 甲、乙都做離心運動,但甲的軌道半徑更大,因此經P點時,甲的速度更 大,B錯誤;根據(jù)開普勒第三定律 =恒量,可知軌道半徑越小的衛(wèi)星, 運動周期越短,C正確;由于三顆衛(wèi)星的質量關系不知道,因此機械能的 大小不能確定,D錯誤。,赤道上的物體、近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的區(qū)分 【典例】(多選)如圖所示,a為地球赤道上的物體,b為沿地球表面附近做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星,c為地球同步衛(wèi)星。則關于a、b、c做勻速圓周運動的說法中正確的是( ) A.角速度的大小關系是ωa=ωcabac C.線速度的大小關系是va=vbvc D.周期的大小關系是Ta=TcTb,【閱卷說明】本題抽樣統(tǒng)計難度為0.32,區(qū)分度為0.45。有28.6%的學生錯選B,有18.1%的學生錯選C,有18.6%的學生只選D而漏選A。,【試卷評析】 錯誤角度(1)：錯把赤道上的物體當作近地衛(wèi)星 錯因剖析：對赤道上的物體和近地衛(wèi)星的運動特點分辨不清,實際上赤道上的物體隨地球自轉做勻速圓周運動,而近地衛(wèi)星是在地球萬有引力的作用下繞地球做勻速圓周運動。,錯誤角度(2)：錯認為赤道上的物體做圓周運動的向心力等于萬有引力 錯因剖析：對赤道上的物體做圓周運動的向心力的來源分辨不清,實際上向心力是萬有引力的一個分力。誤認為三者的向心力均等于萬有引力,而錯選B。,【糾偏措施】 1.正確區(qū)分三者的軌道半徑：同步衛(wèi)星的軌道半徑約為3.6×104km,近地衛(wèi)星和赤道上物體的軌道半徑近似相等,都為地球半徑。 2.正確認識向心力的來源：同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星只受地球的萬有引力作用,向心力等于萬有引力;而赤道上的物體除了受到萬有引力之外,還與地球之間有彈力作用,其向心力不等于萬有引力,只等于萬有引力的一個分力,另一個分力提供物體的重力。,3.正確選用公式：同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星同屬于一個模型,利用萬有引力等于向心力的公式,比較各個量的大小關系;赤道上的物體和同步衛(wèi)星由于周期相同,可以用勻速圓周運動的公式來比較各個量的大小關系。,【規(guī)范解答】選A、D。先比較同步衛(wèi)星c和赤道上的物體a,二者與地 球自轉周期相同,即Ta=Tc,又因為ω= ,知ωa=ωc,而v=ωr,a=ω2r, rcra,所以vcva,acaa;再比較近地衛(wèi)星b和同步衛(wèi)星c,二者均為做勻 速圓周運動的衛(wèi)星,均有 可得 由于rcrb,所以abac, vbvc,ωbωc,TbTc。,綜上所述,三者的角速度關系為ωa=ωcvcva,C錯誤;周期關系為Ta=TcTb,D正確。,【類題試做】 1.(2015·山東高考)如圖,拉格朗日點L1位 于地球和月球連線上,處在該點的物體在地 球和月球引力的共同作用下,可與月球一起 以相同的周期繞地球運動。據(jù)此,科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站,使其與月球同周期繞地球運動。以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小,a3表示地球同步衛(wèi)星向心加速度的大小。以下判斷正確的是( ) A.a2a3a1 B.a2a1a3 C.a3a1a2 D.a3a2a1,【解析】選D。設空間站軌道半徑為r1,月球軌道半徑為r2,同步衛(wèi)星 軌道半徑為r3?？臻g站受月球引力不能忽略,而同步衛(wèi)星是不計月球 吸引力的,這就說明r2r1r3,根據(jù)a1=ω12r1,a2=ω22r2,由題意知 ω1=ω2,所以a2a1,又因為a3=G 、a2=G ,所以a3a2,因此a3a2a1 成立,D正確。,2.有a、b、c、d四顆衛(wèi)星,a還未發(fā)射,在地球赤道上隨地球一起轉動,b在地面附近近地軌道上正常運動,c是地球同步衛(wèi)星,d是高空探測衛(wèi)星,設地球自轉周期為24h,所有衛(wèi)星的運動均視為勻速圓周運動,各衛(wèi)星排列位置如圖所示,則下列關于衛(wèi)星的說法中正確的是( ) A.a的向心加速度等于重力加速度g B.c在4h內轉過的圓心角為 C.b在相同的時間內轉過的弧長最長 D.d的運動周期可能是23h,【解析】選C。在地球赤道表面隨地球自轉的衛(wèi)星,其所受萬有引力提 供重力和其做圓周運動的向心力,a的向心加速度小于重力加速度g,選 項A錯誤;由于c為同步衛(wèi)星,所以c的周期為24h,因此4h內轉過的圓心 角為θ= ,選項B錯誤;由四顆衛(wèi)星的運行情況可知,b運動的線速度是 最大的,所以其在相同的時間內轉過的弧長最長,選項C正確;d運行的 周期比c要長,所以其周期應大于24h,選項D錯誤。,