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成才之路 · 數學,路漫漫其修遠兮 吾將上下而求索,北師大版 · 選修1-1,導數應用,第四章,章末歸納總結,第四章,1．函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的單調性與其導數的正負的關系： 如果f′(x)0，那么函數在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′(x)0(f′(x)0)是函數f(x)在此區(qū)間內為增(減)函數的充分不必要條件，如果出現個別點使得f′(x)＝0，不會影響函數f(x)在包含這些特殊點的某個區(qū)間內的單調性．所以在已知函數的單調性，求參數的取值范圍時，要注意等號是否可以取到，也就是導數值為零的點需要單獨驗證，以免出錯．,注意：當一個函數具有相同單調性的單調區(qū)間不止一個時，這些單調區(qū)間一般不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開． 3．(1)一般地，如果一個函數在某一范圍內的導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得快，這時，函數的圖像就比較陡峭(向上或向下)；反之，函數的圖像就平緩一些． (2)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率．在區(qū)間(a，b)上，如果f′(x)0，則切線傾斜角為銳角，曲線呈向上增加狀態(tài)，即函數f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞增；如果f′(x)0，則切線傾斜角為鈍角，曲線呈向下減少狀態(tài)，即函數f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減．,4．(1)根據極值的定義可知，在可導函數中，若x0為極值點，則必有f′(x0)＝0(此結論常用來求參數)，但f′(x0)＝0時，x0不一定為極值點，還要滿足在此點附近左右兩側函數的單調性相反，單調性一致時，不能作為極值點．如函數f(x)＝x3可導，且在x＝0處滿足f′(0)＝0，但x＝0卻不是極值點． (2)求函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值時，將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．,(3)如果函數y＝f(x)的圖像是區(qū)間[a，b]上一條連續(xù)不斷的曲線，且在(a，b)上可導，則 ①f(x)在[a，b]上必有最值點． ②若函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個導數值為0的點，且在這一點處取得極值，則該點一定是函數的最值點． (4)有關函數零點個數的問題，可以根據函數的單調性、極值和最值，利用數形結合的思想方法，借助函數圖像判斷函數零點的個數．,5．(1)已知f(x)在區(qū)間D上單調，求f(x)中參數的取值范圍的方法為分離參數法．通常將f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的參數分離，轉化為求函數的最值問題，從而求出參數的取值范圍． (2)對于證明f(x)≥(或≤)m恒成立的問題，可以轉化為證明相應函數y＝f(x)的最小值(或最大值)大于等于(或小于等于)m的問題．,,利用導數研究函數的單調性,(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x－1， 則f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 當x∈(－∞，－1)時，f′(x)0，故f(x)在(－∞，－1)上為增函數； 當x∈(－1,3)時，f′(x)0，故f(x)在(3，＋∞)上為增函數． 由此可見，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－1)和(3，＋∞)；單調遞減區(qū)間為(－1,3).,利用導數研究函數的極值和最值,1.應用導數求函數極值的一般步驟： (1)確定函數f(x)的定義域； (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)檢驗f ′(x)＝0的根的兩側f ′(x)的符號． 若左正、右負，則f(x)在此根處取得極大值； 若左負、右正，則f(x)在此根處取得極小值． 否則，此根不是f(x)的極值點．,2．求函數f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟： (1)求f(x)在(a，b)內的極值； (2)將(1)中求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值． 特別地，①當f(x)在[a，b]上單調時，其最小值、最大值在區(qū)間端點取得；②當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(或最小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．,[解析] (1)因為f ′(x)＝3x(x－a)，所以有： 當a0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，0)，(a，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(0，a)； 當a0時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，a)，(0，＋∞)，單調遞減區(qū)間為(a,0)； 當a＝0時，f ′(x)＝3x2≥0，所以函數f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上遞增；,求參數的取值范圍問題,已知函數的單調性求參數的取值范圍時，可以有兩種方法，一是利用函數單調性的定義，二是利用導數法，利用導數法更為簡捷．在解決問題的過程中主要處理好等號的問題，因為f ′(x)0(或f ′(x)0)僅是一個函數在某區(qū)間上遞增(或遞減)的充分不必要條件，而其充要條件是：f ′(x)≥0或(f ′(x)≤0)，且使f ′(x)＝0的點僅有有限個．利用導數法解決取值范圍問題時可以有兩個基本思路：,導數的實際應用,1.利用導數求實際問題的最大(小)值的一般方法： (1)分析實際問題中各個量之間的關系，正確設定所求最大或最小值的變量y與自變量x，把實際問題轉化為數學問題，即列出函數關系y＝f(x)，根據實際問題確定y＝f(x)的定義域． (2)求方程f ′(x)＝0的所有實數根． (3)比較導函數在各個根和區(qū)間端點處的函數值的大小，根據實際問題的意義確定函數的最大值或最小值．,2．利用導數求實際問題的最大(小)值時，應注意的問題： (1)求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的值應舍去． (2)在實際問題中，由f ′(x)＝0常常僅得到一個根，若能判斷函數的最大(小)值在x的變化區(qū)間內部得到，則這個根處的函數值就是所求的最大(小)值．,[答案] B [解析] f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1， 由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，解得x0＝e.,2．函數f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是( ) A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 [答案] A [解析] 由f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)＝0得x＝－1或x＝2.因為f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4， 所以f(2)f(3)f(0)， 所以f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－15.,5．函數y＝ax3－1在(－∞，＋∞)上是減函數，則a的取值范圍是________． [答案] (－∞，0) [解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立， ∴a≤0. 當a＝0時，y＝－1不是減函數， ∴a≠0. 故a的取值范圍是(－∞，0)．,7．已知f(x)＝ax3＋bx2－2x＋c，在x＝－2時有極大值6，在x＝1時有極小值． (1)求a、b、c的值； (2)求出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值．,