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1.1.1 集合的含義與表示,1.1 集 合,第1課時 集合的含義,1．通過實例了解集合的含義，體會元素與集合的從屬關系． 2．了解集合中元素的三個性質(確定性、互異性、無序性)．,看下列例子，總結集合的含義是什么？ 小于20的所有正偶數 26個英文字母 本班所有學生 不等式x-28的解集,1．集合的含義：一般地，我們把研究_____統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的_____叫做集合(簡稱集)．通常用大寫拉丁字母A,B,C等等表示集合,小寫拉丁字母表示元素. 2．集合中元素的特性：__________________ _______． 3．集合的相等關系：只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是_____的．,對象,總體,無序性,相等,確定性、互異性、,4．元素與集合的關系： (1)如果a是集合A的元素，就說___________，記作______. (2)如果a不是集合A的元素，就說_____________，記作_____. 5．常用數集及表示符號：,a屬于集合A,a∈A,a不屬于集合A,a?A,N*或N＋,Z,N,Q,R,1．你能否確定，你所在班級中，最高的3位同學構成的集合？ 答：能確定．因為所在班級中最高的3位同學是確定的，元素是確定的，可以構成集合． 2．你能否確定，你所在班級中，高個子同學構成的集合？并說明理由． 答：不能確定．因為“高個子”這個標準不明確，不符合集合中元素的確定性，類似的“漂亮的同學”，“個子很矮的同學”也不能構成集合．,思考？,,1．集合中元素的特性 (1)確定性：設A是一個給定的集合，x是某一具體對象．則x或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情況必有一種且只有一種情況成立．如：大于3小于11的偶數分別為4,6,8,10，它們是確定的，可構成集合，而“我國的小河流”，由于“小”這個標準不確定，所以構不成集合．,要點闡釋,(2)互異性：“集合中的元素必須是互異的”，就是說，“對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的”．如方程(x－1)2＝0的解構成的集合為{1}，而不能記為{1,1}． (3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關，如集合{a，b，c}與{b，a，c}是同一集合．,2．元素與集合的關系 (1)a∈A與a?A取決于a是不是集合A的元素，根據集合中元素的確定性， 可知對任何a與A，在a∈A與a?A這兩種情況中必有一種且只有一種成立． (2)符號“∈”，“?”是表示元素與集合之間的關系的，不能用來表示集合與集合間的關系，這一點要特別注意．,題型一 集合的概念 【例1】 考查下列每組對象能否構成一個集合： (1)著名的數學家； (2)某校2010年在校的所有高個子同學； (3)不超過20的非負數； 解：(1)“著名的數學家”無明確的標準，對于某個人是否“著名”無法客觀地判斷，因此“著名的數學家”不能構成一個集合；類似地，(2)也不能構成集合；(3)任給一個實數x，可以明確地判斷是不是“不超過20的,典例剖析,非負數”，即“0≤x≤20”與“x20或x0”，兩者必居其一，且僅居其一，故“不超過20的非負數”能構成集合． 點評：判斷指定的對象能不能形成集合，關鍵在于能否找到一個明確標準，對于任何一個對象，都能確定它是不是給定集合的元素，同時還要注意集合中元素的互異性、無序性．,1．下列對象能構成集合的是 ( ) A．中國大的城市 B．方程x2－9＝0在實數范圍內的解 C．直角坐標平面內第一象限的一些點 答案：B,題型二 集合中元素的特性 【例2】 已知集合A是由三個元素m，m2＋1,1組成，且2∈A，求m. 解：∵2∈A，則m＝2或m2＋1＝2， ∴m＝2或m＝±1， 當m＝2時，集合中的元素為：2,5,1，符合集合中元素的互異性． 當m＝1時，不符合元素的互異性，舍去． 當m＝－1時，集合中的元素為：－1,2,1，符合集合中元素的互異性． 綜上可知m＝2或m＝－1.,點評：對于解決集合中元素含有參數的問題一定要全面思考，特別關注元素在集合中的互異性，分類討論的思想是中學數學中的一種重要的數學思想，我們一定要在以后的學習中熟練掌握．,,2．設1,0，x三個元素構成集合A，若x2∈A，求實數x的值． 解：若x2＝0，則x＝0，此時A中只有兩個元素1,0，這與已知集合A中含有三個元素矛盾，故舍去． 若x2＝1，則x＝±1. 當x＝1時， 集合為{1,0,1}，舍去； 當x＝－1時， 集合為{1,0，－1}，符合． 若x2＝x，則x＝0或x＝1， 不符合互異性，都舍去． 綜上可知：x＝－1.,1．下列語句能確定是一個集合的是 ( ) A．著名的科學家 B．留長發(fā)的女生 C．2010年廣州亞運會比賽項目 D．上海世博會好看的展館 解析：選項A、B、D中的標準不明確，故選C. 答案：C,課堂測評,2．由a2,2－a,4組成一個集合A，A中含有3個元素，則實數a的取值可以是 ( ) A．1 B．－2 C．6 D．2 解析：驗證，看每個選項是否符合元素的互異性． 答案：C 3．以方程x2－2x＋1＝0的解為元素的集合有_____個元素． 解析：集合中的元素是互異的，x2－2x＋1＝(x－1)2＝0，∴x＝1. 答案：1,誤區(qū)解密 因忽略集合中元素的互異性而出錯 【例4】 寫出方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解的集合． 錯解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解為1，a，則解集為{1，a}． 錯因分析：錯解沒有注意到字母a的取值帶有不確定性，得到了錯誤答案{1，a}．事實上，當a＝1時，不滿足集合中元素的互異性． 正解：x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解為1，a.若a＝1，則方程的解集為{1}；若a≠1，則方程的解集為{1，a}．,糾錯心得：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三個特性中互異性對解題的影響最大，特別是類似本題這種帶有字母參數的集合，隱含著對字母參數的要求．,4．用“∈”或“?”填空 (1)－3________N；(2)3.14________Q； (5)1________N*；(6)0________N. 解析：根據元素與集合的關系填空． 答案：(1)? (2)∈ (3)? (4)∈ (5)∈ (6)∈,1．充分利用集合中元素的三大特性是解決集合問題的基礎． 2．兩集合中的元素相同則兩集合就相同，與它們元素的排列順序無關． 3．解集合問題特別是涉及求字母的值或范圍，把所得結果代入原題檢驗是不可缺少的步驟．特別是互異性，最易被忽視，必須在學習中引起足夠重視．,課堂總結,