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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 第9課時 空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系課時作業(yè) 新人教A版必修2 1．在長方體ABCD－A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，與棱AA1平行的平面共有(　　) A．2個　　　　B．3個 C．4個 D．5個 解析： 如圖所示，結(jié)合圖形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D. 答案：B 2．下列說法中正確的是(　　) A．如果兩個平面α、β只有一條公共直線a，就說平面α、β相交，并記作α∩β＝a B．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于過A點的任意一條直線 C．兩平面α、β有一個公共點A，就說α、β相交于A點，并記作α∩β＝A D．兩平面ABC與DBC相交于線段BC 解析：B不正確，若A∈α∩β，則α，β相交于過A點的一條直線；同理C不正確；D不正確，兩個平面相交，其交線為直線而非線段． 答案：A 3．如果空間的三個平面兩兩相交，那么(　　) A．不可能只有兩條交線 B．必相交于一點 C．必相交于一條直線 D．必相交于三條平行線 解析：空間三個平面兩兩相交，可能相交于一點，也可能相交于一條直線，還可能相交于三條平行線，故選A. 答案：A 4．平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能有(　　) A．1條或2條交線 B．2條或3條交線 C．僅2條交線 D．1條或2條或3條交線 解析：當α過β、γ的交線時，三平面有一條交線． 當β∥γ時，有兩條交線． 當α與β、γ兩兩相交且不交于同一直線時，有三條交線．故選D. 答案：D 5．直線a在平面γ外，則(　　) A．a(chǎn)∥γ B．a(chǎn)與γ至少有一個公共點 C．a(chǎn)∩γ＝A D．a(chǎn)與γ至多有一個公共點 解析：直線a在平面γ外，其包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義，故a與γ至多有一個公共點． 答案：D 6．下列命題中正確命題的個數(shù)為(　　) ①如果一條直線與一平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行；②如果一條直線與一平面相交，那么這條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直；③過平面外一點有且只有一條直線與平面平行；④一條直線上有兩點到一個平面的距離相等，則這條直線平行于這個平面． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：對于①，直線與平面平行，只是說明直線與平面沒有公共點，也就是直線與平面內(nèi)的直線沒有公共點．沒有公共點的兩條直線，其位置關(guān)系除了平行之外，還有異面，如圖1中正方體ABCD－A1B1C1D1，A1B1∥平面ABCD，A1B1與BC的位置關(guān)系是異面，并且容易知道，異面直線A1B1與BC所成的角為90°，因此命題①是錯誤的． 對于③，如圖1，∵A1B1∥AB，A1D1∥AD且AD，AB?平面ABCD，A1D1，A1B1?平面ABCD，∴A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，可以說明過平面外一點不止有一條直線與已知平面平行，而是有無數(shù)多條．可以想象，經(jīng)過平面A1B1C1D1內(nèi)一點A1且在平面A1B1C1D1上的任一條直線，與平面ABCD的位置關(guān)系都是平行的，∴命題③也是錯誤的． 對于④，我們可以繼續(xù)借助正方體ABCD－A1B1C1D1來舉反例，如圖2，分別取AD，BC的中點E，F(xiàn)，A1D1，B1C1的中點G，H，順次連接E，F(xiàn)，H，G，∵E，F(xiàn)，H，G分別為AD，BC，B1C1，A1D1的中點，∴可以證明四邊形EFHG為平行四邊形，且該截面恰好把正方體一分為二，A，D兩個點到該截面的距離相等，直線AD∩平面EFHG＝E，∴命題④也是錯誤的． 圖1 圖2 對于②，把一直角三角板的一直角邊放在桌面內(nèi)，讓另一直角邊抬起，即另一直角邊與桌面的位置關(guān)系是相交，可以得出在桌面內(nèi)與一直角邊所在的直線平行的直線與另一直角邊垂直，∴命題②正確． ∴正確的命題只有一個，∴應選B. 答案：B 7．一條直線和兩個相交平面的交線平行，則這條直線滿足________(填序號)． ①與兩個平面都平行；②與兩個平面都相交；③在兩個平面內(nèi)；④至少有其中一個平面平行． 解析：直線和兩個平面的交線平行，這條直線可能在其中一個平面內(nèi)且與另一個平面平行，也可能不在任何一個平面內(nèi)且與兩個平面都平行． 答案：④ 8．過三棱柱ABC－A1B1C1的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有________條． 解析：如圖所示，與平面ABB1A1平行的直線有6條：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1. 答案：6 9．已知下列說法： ①兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b； ②若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線； ③若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交； ④若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面； ⑤若兩個平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交． 其中正確的序號是________(將你認為正確的序號都填上)． 解析：①錯．a(chǎn)與b也可能異面．②錯．a(chǎn)與b也可能平行．③對．∵α∥β，∴α與β無公共點．又∵a?α，b?β，∴a與b無公共點．④對．由已知及③知：a與b無公共點，那么a∥b或a與b異面．⑤錯．a(chǎn)與β也可能平行． 答案：③④ 10．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點，則下列直線與平面的位置關(guān)系是什么？ (1)AM所在直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1的位置關(guān)系． 解析：(1)AM所在的直線與平面ABCD相交； (2)CN所在的直線與平面ABCD相交； (3)AM所在的直線與平面CDD1C1平行； (4)CN所在的直線與平面CDD1C1相交． B組　能力提升 11．如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，在圖①中E，F(xiàn)分別是D1C1，B1B的中點，畫出圖①、②中有陰影的平面與平面ABCD的交線，并給出證明． ① ② 解析：如下圖①所示，過點E作EN平行于BB1交CD于點N，連接NB并延長交EF的延長線于點M，連接AM，則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線． 如下圖②所示，延長DC，過點C1作C1M∥A1B交DC的延長線于點M，連接BM，則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線． ① 　?、? 證明：在圖①中，因為直線EN∥BF，所以B、N、E、F四點共面，因此EF與BN相交，交點為M.因為M∈EF，且M∈NB，而EF?平面AEF，NB?平面ABCD，所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點．又因為點A是平面AEF和平面ABCD的公共點，故AM為兩平面的交線． 在圖②中，C1M在平面CDD1C1內(nèi)，因此與DC的延長線相交，交點為M，則點M為平面A1C1B與平面ABCD的公共點，又點B也是這兩個平面的公共點，因此直線BM是兩平面的交線． 12．如圖，已知平面α∩β＝l，點A∈α，點B∈α，點C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論． 解析：平面ABC與β的交線與l相交． 證明：∵AB與l不平行，且AB?α，l?α， ∴AB與l一定相交， 設(shè)AB∩l＝P，則P∈AB，P∈l. 又∵AB?平面ABC，l?β， ∴P∈平面ABC，P∈β. ∴點P是平面ABC與β的一個公共點， 而點C也是平面ABC與β的一個公共點， 且P，C是不同的兩點， ∴直線PC就是平面ABC與β的交線． 即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P， ∴平面ABC與β的交線與l相交．