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2019年高三第二次模擬考試（數(shù)學(xué)） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上． 1.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第 ▲ 象限. 次數(shù) 頻率 組距 0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 100 125 150 （第3題） 2.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是 ▲ . 3.為了了解初中生的身體素質(zhì)，某地區(qū)隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫樣本的頻率分布直方圖如圖所示，且從左到右第一小組的頻數(shù)是100，則 ▲ . 4.在等比數(shù)列中，為數(shù)列 x←x-3 S≤-20 N Y 開(kāi)始 S←S+x S←0 x←2 輸出x 結(jié)束 （第6題） 的前項(xiàng)和，則 ▲ . 5.已知，則 ▲ . 6.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的 ▲ . 7.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列條件中能推得的條件是 ▲ . （把你認(rèn)為所有正確命題的序號(hào)都填上） ①∥，；②； ③，∥；④，∥，∥. 8.若滿足不等式組，則的取值范圍是 ▲ . 9.設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于 ▲ . (第11題) 10.已知為邊長(zhǎng)為1的等邊所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則= ▲ . 11.如右圖，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿折起來(lái)，折過(guò)去后交于點(diǎn)設(shè)則的面積最大時(shí)的的值為 ▲ . 12.橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為弦過(guò)，若的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則= ▲ . 13.已知函數(shù)在處切線的斜率為，若，且在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ▲ . 14.設(shè)均為大于的自然數(shù)，函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得則的值為 ▲ . 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 第15題 A B C D E F 已知直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，,點(diǎn)在線段上，且． （Ⅰ）求證:； （Ⅱ）若為線段上一點(diǎn)，求證：平面． 16（本小題滿分14分） 在中，角所對(duì)的邊分別為，已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)求的面積. 17．（本小題滿分14分） （十萬(wàn)元） 0 1 2 … 1 1.5 1.8 … 某公司生產(chǎn)的種產(chǎn)品，它的成本是元，售價(jià)是元，年銷售量為萬(wàn)件.為獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是（單位：十萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的倍，且是的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表： （Ⅰ）求與之間的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅱ）如果把利潤(rùn)看作是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤(rùn)（十萬(wàn)元）與廣告費(fèi)（十萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式； （Ⅲ）如果投入的年廣告費(fèi)為萬(wàn)元，問(wèn)廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？ 18．（本小題滿分16分） 橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，橢圓右準(zhǔn)線與軸交于. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若,直線上有且僅有一點(diǎn)使. 求以為直徑的圓的方程； （Ⅲ）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)作不與軸垂直的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（在之間）若有，求此時(shí)直線的方程. 19．（本小題滿分16分） 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”. （Ⅰ）若，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”； （Ⅱ）試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”，為什么？ （Ⅲ）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若公差，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使．若存在，求的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由. 20．（本小題滿分16） 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，如果存在函?shù)，使得函數(shù)的值域仍然是，那么，稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)等值域變換.（Ⅰ）判斷下列是不是的一個(gè)等值域變換？說(shuō)明你的理由； ，； ，； （Ⅱ）設(shè)的值域，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值； （Ⅲ）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瑢懗鍪堑囊粋€(gè)等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說(shuō)明條件的不必要性． 數(shù)學(xué)Ⅱ試題 21．（選做題）從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分． A．選修4—1 幾何證明選講 如圖，的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交于N，過(guò)N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P． (Ⅰ) 求證：； (Ⅱ)若的半徑為，，求MN的長(zhǎng)． B．選修4—2　矩陣與變換 已知矩陣 (Ⅰ)計(jì)算； (Ⅱ) 若矩陣把直線：+2=0變?yōu)橹本€，求直線的方程． C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo) 已知橢圓C：，直線：，求過(guò)點(diǎn)C且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程。 D．選修4—5　不等式證明 設(shè)均為正實(shí)數(shù)． （Ⅰ）若，求的最小值； （Ⅱ）求證：. 22．必做題（本小題滿分10分） 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)． （Ⅰ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； (Ⅱ)若點(diǎn)在正方形內(nèi)部或其邊界上，且平面，求的最大值、最小值． 23. 必做題（本小題滿分10分） 某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的分布列為： ；設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元. 如銷售不出，則每臺(tái)每月需花保管費(fèi)100元. 問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使 月平均收益最大？ 鹽城中學(xué)2011屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)答案xx．05 1.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第 象限. 第二象限 次數(shù) 頻率 組距 0.004 0.008 0.012 0.016 0 50 75 100 125 150 （第3題） 2.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，所得的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是 . 3.為了了解初中生的身體素質(zhì)，某地區(qū)隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行跳繩測(cè)試，根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫樣本的頻率分布直方圖如圖所示，且從左到右第一小組的頻數(shù)是100，則 . 答案：1000． x←x-3 S≤-20 N Y 開(kāi)始 S←S+x S←0 x←2 輸出x 結(jié)束 4.在等比數(shù)列中，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，則 .2011 5.已知，則 . 6.右圖是一個(gè)算法的流程圖，最后輸出的 .-10 7.設(shè)是兩條直線，是兩個(gè)平面，則下列4組條件中 所有能推得的條件是 . （把你認(rèn)為所有正確命題的序號(hào)都填上） ②③④ ①∥，；②； ③，∥；④，∥，∥. 8.若滿足不等式組，則的取值范圍是 . 9.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，且，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于 .4 10.已知為邊長(zhǎng)為1的等邊所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足則= .3 11.如右圖，設(shè)矩形的周長(zhǎng)為，把沿折起來(lái)，折過(guò)去后交于點(diǎn)設(shè)則的面積最大時(shí)的的值為 . 12.橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為弦過(guò)，若的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為則= . 13.已知函數(shù)在處切線的斜率為，若，且在上恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 14.設(shè)均為大于的自然數(shù)，函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得則的值為 .4 第16題 A B C D E F 15.已知直三棱柱中，分別為的中點(diǎn)，,點(diǎn)在線段上，且． ⑴求證:； ⑵若為線段上一點(diǎn)，BE=4ME求證：平面． ⑴由直三棱柱可知平面,所以，…………2分 又因?yàn)?，面? 故， …………4分 A B C D E F M 又在直三棱柱中，， 故面在平面內(nèi)，所以 …………6分 ⑵ 連結(jié)FM，,F，在中，由BE=4ME，AB=4AF 所以MF//AE， 又在面AA1C1C中，易證C1D//AE，所以平面． …………14分 16.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)求的面積. （Ⅰ） （Ⅱ） 17.某公司生產(chǎn)的A種產(chǎn)品，它的成本是2元，售價(jià)是3元，年銷售量為100萬(wàn)件。為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是x（十萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的y倍，且y是x的二次函數(shù)，它們的關(guān)系如下表： （十萬(wàn)元） 0 1 2 … y 1 1.5 1.8 … （1）求y與之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）如果把利潤(rùn)看作是銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)，試寫出年利潤(rùn)S（十萬(wàn)元）與廣告費(fèi)（十萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式； （3）如果投入的年廣告費(fèi)為10 ~ 30萬(wàn)元，問(wèn)廣告費(fèi)在什么范圍內(nèi)，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大？ 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2＋bx＋c． 由關(guān)系表，得 解得 ∴　函數(shù)的解析式為y＝－x2＋x+1． （2）根據(jù)題意，得 （3） 故當(dāng)年廣告費(fèi)為10 ~ 25萬(wàn)元之間，公司獲得的年利潤(rùn)隨廣告費(fèi)的增大而增大 18.心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓右準(zhǔn)線與x軸交于E（2，0）， （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， （2）若M（2，t）(t>0),直線上有且僅有一點(diǎn)P使. 求以O(shè)M為直徑的圓的方程； （3）設(shè)橢圓左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)E點(diǎn)作不與y軸垂直的直線與橢圓交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)（B在E，A之間）若有，求此時(shí)直線的方程。 (1) （4分） (2) 即以O(shè)M為直徑的圓和直線相切?？汕蟮脠A心為半徑為 所以，解得t=4（負(fù)舍）則以O(shè)M為直徑的圓的方程為 （9分） （3）由題：∥，則有相似比可求得 設(shè)∴，∴解得 又A，B在橢圓上，帶入橢圓方程，有解得 ∴求得直線方程為 （15分） １９．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”. （1）若，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”； （2）試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”，為什么？ （3）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若公差，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使；若存在，求的通項(xiàng)公式，若不存在，說(shuō)明理由. 23． （1）證明：， 對(duì)任意的，有 ， 于是，令，則有 （2），令 ，所以數(shù)列不是封閉數(shù)列；（3）解：由是“封閉數(shù)列”，得：對(duì)任意，必存在使 成立，于是有為整數(shù)，又是正整數(shù)。 若則，所以，不符合題意 若，則，所以，而，所以符合 若則,所以 綜上所述，，顯然，該數(shù)列是“封閉數(shù)列”。-- ２０．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，如果存在函?shù)，使得函數(shù)的值域仍然是，那么，稱函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)等值域變換， （1）判斷下列是不是的一個(gè)等值域變換？說(shuō)明你的理由； ，； ，； （2）設(shè)的值域，已知是的一個(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值； （3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，寫出是的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說(shuō)明條件的不必要性． 解：（1）：函數(shù)的值域?yàn)椋?，? 所以，不是的一個(gè)等值域變換； …………2分 ：，即的值域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，，即的值域仍為， 所以，是的一個(gè)等值域變換； （2）的值域?yàn)椋芍? 即定義域?yàn)椋? 因?yàn)槭堑囊粋€(gè)等值域變換，且函數(shù)的定義域?yàn)椋? 所以，的值域?yàn)椋? ， 所以， 恒有，且存在使兩個(gè)等號(hào)分別成立，于是， 解得 或 （3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則是的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件是“=”．條件的不必要性的一個(gè)例子是． ，， ，， 此時(shí)，但的值域仍為， 即是的一個(gè)等值域變換。 數(shù)學(xué)附加題（理科學(xué)生做） 21．（選做題）從A，B，C，D四個(gè)中選做2個(gè)，每題10分，共20分． A．選修4—1 幾何證明選講 如圖，的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點(diǎn)，BM的延長(zhǎng)線交于N，過(guò)N點(diǎn)的切線交CA的延長(zhǎng)線于P． (1) 求證：； （2）若的半徑為，，求MN的長(zhǎng)． 1．（1）證明：連接ON，因?yàn)镻N切于N，所以， 所以，因?yàn)镺B=ON，所以 因?yàn)橛?，所? 故， 所以…………………………………5分 （2） 因?yàn)?，所以………?0分 B．選修4—2　矩陣與變換 已知矩陣 (Ⅰ)計(jì)算； (Ⅱ) 若矩陣把直線：+2=0變?yōu)橹本€，求直線的方程． 解: (Ⅰ)= ； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直線上一點(diǎn)（，）經(jīng)矩陣變換后為點(diǎn)， ……………4分 則， ………………………………6分 ∴ ………………………………8分 代入+2=0得： ∴ ∴直線的方程為． ………………………………10分 C．選修4—4參數(shù)方程與極坐標(biāo) 已知橢圓C：，直線：，求過(guò)點(diǎn)C且與直線垂直的直線的極坐標(biāo)方程。 D．選修4—5　不等式證明 設(shè)均為正實(shí)數(shù)． （Ⅰ）若，求的最小值； （Ⅱ）求證：. 解答：（Ⅰ）解：因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù)，由柯西不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為………………………………………………5分 （Ⅱ）∵均為正實(shí)數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； 則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； ，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； 三個(gè)不等式相加得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ……………………………………………………………………10分 22．必做題（本小題滿分10分） 如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，、分別為和的中點(diǎn)． （1）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； （2）若點(diǎn)在正方形內(nèi)部或其邊界上，且平面，求的最大值、最小值． （1）平面BDD1的一個(gè)法向量為 設(shè)平面BFC1的法向量為 ∴ 取得平面BFC1的一個(gè)法向量 ∴所求的余弦值為 ……………………………………5分 （3）設(shè)（） ，由得 即， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，∴ ……………………………………10分 23.某電器商經(jīng)過(guò)多年的經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本店每個(gè)月售出的電冰箱的臺(tái)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的 分布列為： ；設(shè)每售出一臺(tái)電冰箱，電器商獲利300元. 如銷售不出，則每臺(tái)每月需花保管費(fèi)100元. 問(wèn)電器商每月初購(gòu)進(jìn)多少臺(tái)電冰箱才能使 月平均收益最大？ 【解】設(shè)x為電器商每月初購(gòu)進(jìn)的冰箱的臺(tái)數(shù)，依題意，只需考慮的情況. 設(shè)電器商每月的收益為y元， 則y是隨機(jī)變量的函數(shù)，且 …………………4分 于是電器商每月獲益的平均數(shù),即為數(shù)學(xué)期望 . …………………………8分 因?yàn)? 所以當(dāng)時(shí), 數(shù)學(xué)期望最大. 答：電器商每月初購(gòu)進(jìn)9臺(tái)或10臺(tái)電冰箱, 收益最大，最大收益為1500元. ………………………10分