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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10-7拋物線同步檢測（2）文 一、選擇題 1．直線l過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的長是8，AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線的方程是(　　) A．y2＝12x　　　　　　 B．y2＝8x C．y2＝6x D．y2＝4x 解析：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，由拋物線定義可得x1＋x2＋p＝8，又AB中點(diǎn)到y(tǒng) 軸的距離為2， ∴x1＋x2＝4，∴p＝4. 答案：B 2．[xx·石家莊質(zhì)檢一]若拋物線y2＝2px上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝4x B．y2＝6x C．y2＝8x D．y2＝10x 解析：由題意，得2－＝4，p＝4，所以拋物線的方程為y2＝8x，故選C. 答案：C 3．以坐標(biāo)軸為對稱軸，原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圓心的拋物線方程是(　　) A．y＝3x2或y＝－3x2 B．y＝3x2 C．y2＝－9x或y＝3x2 D．y＝－3x2或y2＝9x 解析：設(shè)拋物線方程為x2＝ay或y2＝ax(a≠0)，把圓心(1，－3)代入方程得a＝－或a＝9，∴拋物線方程是y＝－3x2或y2＝9x. 答案：D 4．已知直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|＝12，P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則△ABP的面積為(　　) A．18 B．24 C．36 D．48 解析：設(shè)拋物線方程為y2 ＝2px， 當(dāng)x＝時，y2＝p2，∴|y|＝p， ∴p＝＝＝6， 又點(diǎn)P到AB的距離始終為6， ∴S△ABP＝×12×6＝36，故選C. 答案：C 5．拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是(　　) A. B. C. D．3 解析：設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線相切的直線為4x＋3y＋t＝0，與拋物線y＝－x2聯(lián)立得3x2－4x－t＝0，由Δ＝16＋12t＝0，得t＝－，兩條平行線的距離為所求最小距離，由兩條平行線的距離公式得所求距離為. 答案：A 6．設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在y軸上，若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，且點(diǎn)B到拋物線準(zhǔn)線的距離為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　) A．(0，±2) B．(0,2) C．(0，±4) D．(0,4) 解析：在△AOF中，點(diǎn)B為邊AF的中點(diǎn)，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，因此＝＋，解得p＝，故拋物線方程為y2＝2x，可得點(diǎn)B坐標(biāo)為，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，±2)． 答案：A 7．已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線與曲線x2＋y2－6x－7＝0相切，則p的值為(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：注意到拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線方程是x＝－，曲線x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16是圓心為(3,0)，半徑為4的圓．于是依題意有|＋3|＝4.又p＞0，因此有＋3＝4，解得p＝2. 答案：A 8．已知過拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長為12，則此弦所在直線的傾斜角是(　　) A.或 B.或 C.或 D. 解析：由焦點(diǎn)弦長公式|AB|＝得＝12， 所以sinθ＝，所以θ＝或. 答案：B 9．拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A、B、C在此拋物線上，點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,2)．若點(diǎn)F恰為△ABC的重心，則直線BC的方程為(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．2x＋y－1＝0 D．2x－y－1＝0 解析：∵點(diǎn)A在拋物線上，∴4＝2p，p＝2，拋物線方程為y2＝4x，焦點(diǎn)F(1,0)， 設(shè)點(diǎn)B(x1，y1)，點(diǎn)C(x2，y2)，則有y＝4x1，① y＝4x2，② 由①－②得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， 得kBC＝＝. 又∵＝0，∴y1＋y2＝－2，∴kBC＝－2. 又∵＝1，∴x1＋x2＝2， ∴BC中點(diǎn)為(1，－1)， 則BC所在直線方程為y＋1＝－2(x－1)， 即2x＋y－1＝0. 答案：C 10．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|AF|＝3，則△AOB的面積為(　　) A. B. C. D．2 解析：如圖，設(shè)A(x0，y0)，不妨設(shè)y0＜0，由拋物線方程y2＝4x，可得拋物線焦點(diǎn)F(1,0)，拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－1， 故|AF|＝x0－(－1)＝3， 可得x0＝2，y0＝－2，故A(2，－2)，直線AB的斜率為k＝＝－2，直線AB的方程為y＝－2x＋2， 聯(lián)立直線與拋物線方程，可得2x2－5x＋2＝0，得x＝2或x＝，所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得|BF|＝－(－1)＝，|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝，O點(diǎn)到直線AB的距離為d＝，所以S△AOB＝|AB|d＝. 答案：C 二、填空題 11．已知拋物線C：y＝x2，則過拋物線焦點(diǎn)F且斜率為的直線l被拋物線截得的線段長為__________． 解析：由題意得l的方程為y＝x＋1，即x＝2(y－1)． 代入拋物線方程得y＝(y－1)2，即y2－3y＋1＝0. 設(shè)線段端點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段長度為y1＋y2＋p＝5. 答案：5 12．過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，則|AF|＝__________. 解析：設(shè)|AF|＝x，|BF|＝y(tǒng)，由拋物線的性質(zhì)知＋＝＝2，又x＋y＝，∴x＝，y＝，即|AF|＝. 答案： 13．已知P，Q為拋物線x2＝2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，－2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為__________． 解析：y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴過P，Q的切線方程分別為：y＝4x－8，y＝－2x－2，聯(lián)立方程解得y＝－4. 答案：－4 14．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)(m＞0)到其焦點(diǎn)的距離為5，雙曲線－y2＝1的左頂點(diǎn)為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則正實(shí)數(shù)a的值為__________． 解析：由拋物線的定義知1＋＝5，∴p＝8，故m＝4，又左頂點(diǎn)A(－a,0)，M(1,4)，因此直線AM的斜率為k＝＝，解得a＝. 答案： 三、解答題 15．已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過點(diǎn)M(4,0)． (1)若點(diǎn)F到直線l的距離為，求直線l的斜率； (2)設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值． 解析：(1)由已知，x＝4不合題意．設(shè)直線l的方程為y＝ k(x－4)，由已知，拋 物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為，所以＝，解得k＝±，所以直線l的斜率為±. (2)設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳B不垂直于x軸， 則直線MN的斜率為，直線AB的斜率為，直線AB的方程為y－y0＝(x－x0)． 由消去x整理得 y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0， ∴y1＋y2＝. ∵N為AB中點(diǎn)，∴＝y(tǒng)0，即＝y(tǒng)0. ∴x0＝2，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2. 答案：(1)±；(2)定值為2，證明略． 16．[xx·唐山市期末]已知拋物線E：x2＝2py(p＞0)，直線y＝kx＋2與E交于A、B兩點(diǎn)，且·＝2，其中O為原點(diǎn)． (1)求拋物線E的方程； (2)點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，－2)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：k＋k－2k2為定值． 解析：(1)將y＝kx＋2代入x2＝2py，得x2－2pkx－4p＝0. 其中Δ＝4p2k2＋16p＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 x1＋x2＝2pk，x1x2＝－4p. ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4p＋4. 由已知，－4p＋4＝2，p＝. 所以拋物線E的方程x2＝y(tǒng). (2)由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2. k1＝＝＝＝x1－x2， 同理k2＝x2－x1， 所以k＋k－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2 ＝－8x1x2＝16. 答案：(1)x2＝y(tǒng)；(2)k＋k－2k2＝16，證明略． 創(chuàng)新試題　教師備選 教學(xué)積累　資源共享 1．[xx·湖北模擬]已知直線y＝k(x－m)與拋物線y2＝2px(p＞0)交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB于D.若動點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2＋y2－4x＝0，則m＝(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：設(shè)點(diǎn)D(a，b)，則由OD⊥AB于D，得則b＝－，a＝－bk；又動點(diǎn)D的坐標(biāo)滿足方程x2＋y2－4x＝0，即a2＋b2－4a＝0，將a＝－bk代入上式，得b2k2＋b2＋4bk＝0，即bk2＋b＋4k＝0，－－＋4k＝0，又k≠0，則(1＋k2)(4－m)＝0，因此m＝4. 答案：D 2．[xx·鄭州模擬]如圖，過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A、B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝9x　　　　　　 B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 解析：過點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B1，記準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為F1，則依題意得＝＝， 所以|BB1|＝|FF1|＝， 由拋物線的定義得|BF|＝|BB1|＝.過A，B作x軸的垂線，垂足分別為D，E，由△BEF∽△ADF得＝，解得p＝.所以此拋物線的方程是y2＝3x. 答案：C 3．[xx·烏魯木齊模擬]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交y軸于點(diǎn)A，拋物線上有一點(diǎn)B滿足＝＋ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則△BOF的面積是__________． 解析：由題可知F(1,0)，可設(shè)過焦點(diǎn)F的直線方程為y＝k(x－1)(可知k存在)，則A(0，－k)， ∴B(1，－k)，由點(diǎn)B在拋物線上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)， S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1. 答案：1 4．[xx·廣州模擬]已知直線y＝k(x－2)(k＞0)與拋物線y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k的值為__________． 解析：直線y＝k(x－2)恰好經(jīng)過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因?yàn)閨FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，則yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又k＞0，故k＝2. 答案：2 5．[xx·寧德檢測]已知拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l. (1)求經(jīng)過點(diǎn)F與直線l相切，且圓心在直線x＋y－1＝0上的圓的方程； (2)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍． 解析：(1)設(shè)圓心為(a，b)，由拋物線y2＝－4x得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝1， 根據(jù)題意得 即解得 ∴所求圓的方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4. (2)依題意可設(shè)直線AB的方程為x＝my－1(m≠0)，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為P. 由消去x整理得y2＋4my－4＝0， ∴y1＋y2＝－4m，∴yP＝＝－2m， ∴xP＝myP－1＝－2m2－1， 即線段AB的中點(diǎn)為P(－2m2－1，－2m)， ∴線段AB的垂直平分線方程是 y＋2m＝－m(x＋2m2＋1)， 令y＝0，得xM＝－3－2m2＜－3， ∴點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是(－∞，－3)． 答案：(1)(x＋1)2＋(y－2)2＝4；(2)(－∞，－3)．