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2019-2020年高一數(shù)學 5.6平面向量的數(shù)量積及運算律（第一課時） 大綱人教版必修 ●教學目標 (一)知識目標 1.平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 2.平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)； 3.平面向量數(shù)量積的運算律. (二)能力目標 1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律； 3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題； 4.掌握向量垂直的條件. ●教學重點 平面向量的數(shù)量積定義. ●教學難點 平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用. ●教學方法 啟發(fā)引導式 本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識. ●教具準備 投影儀、幻燈片 第一張：數(shù)量積的運算律(記作§5.6.1 A) 第二張：例題(記作§5.6.1 B) ●教學過程 Ⅰ.課題引入 ［師］在物理課中，我們學過功的概念，即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計算： W＝｜F｜·｜s｜cos 其中是F與s的夾角. 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量數(shù)量積的概念. Ⅱ.講授新課 ［師］我們首先來學習兩向量的夾角. 1.兩個非零向量夾角的概念 已知非零向量a與b，作＝a，＝b，則∠AOB＝(0≤≤)叫a與b的夾角. 說明：(1)當＝0時，a與b同向； (2)當＝時，a與b反向； (3)當＝時，a與b垂直，記a⊥b； (4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的. 2.數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是，則數(shù)量｜a｜｜b｜cos叫a與b的數(shù)量積，記作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cos(0≤≤). 說明：(1)零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0； (2)符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替. 3.數(shù)量積的幾何意義 兩個向量的數(shù)量積等于其中一個向量的長度與另一個向量在其上的投影值的乘積. 說明：這個投影值可正可負也可為零，所以我們說向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個實數(shù). 4.數(shù)量積的重要性質(zhì) 設a與b都是非零向量，e是單位向量，0是a與e夾角，是a與b夾角. ①e·a＝a·e＝｜a｜cos0 ②a⊥ba·b＝0 ③當a與b同向時，a·b＝｜a｜｜b｜ 當a與b反向時，a·b＝－｜a｜｜b｜ 特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝ ④cos＝ ⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜ 說明：上述性質(zhì)要求學生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證. 5.數(shù)量積的運算律 已知a，b，c和實數(shù)，則向量的數(shù)量積滿足下列運算律： ①a·b＝b·a (交換律) ②(a)·b＝(a·b)＝a·(b) (數(shù)乘結(jié)合律) ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律) 說明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c) (2)a·c＝b·c，c≠0a＝b (3)有如下常用性質(zhì)：a2＝｜a｜2， (a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ［師］為使大家進一步熟悉數(shù)量積的性質(zhì)，加深對數(shù)量積定義的理解，我們來看下面的例題. ［例題］判斷正誤，并簡要說明理由. ①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，則對任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，則a與b中至少有一個為0；⑦對任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a與b是兩個單位向量，則a2＝b2. 分析：根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律，逐一判斷. 解：上述8個命題中只有③⑧正確； 對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有0·a＝0； 對于②：應有0·a＝0； 對于④：由數(shù)量積定義有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cos｜≤｜a｜｜b｜，這里是a與b的夾角，只有＝0或＝時，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜； 對于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0； 對于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零； 對于⑦：若a與c共線，記a＝c. 則a·b＝(c)·b＝(c·b)＝(b·c)， ∴(a·b)c＝(b·c)c＝(b·c)c＝(b·c)a 若a與c不共線，則(a·b)c≠(b·c)a. 評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律. Ⅲ.課堂練習 課本P119練習1，2，3 Ⅳ.課時小結(jié) ［師］通過本節(jié)學習，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運算律，并能運用它們解決相關的問題. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P119習題5.6 1，2，3，4 (二)1.預習內(nèi)容 課本P118～P119 2.預習提綱 (1)向量的數(shù)量積不滿足哪些運算律? (2)向量的數(shù)量積有哪些應用? (3)復習數(shù)量積定義、性質(zhì)、運算律. ●板書設計 §5.6.1 向量的數(shù)量積及運算律(二) 1.向量數(shù)量積定義 a·b=|a||b|cos 為a、b的夾角 2.5個性質(zhì) ①e·a=a·e=|a|cos ②a⊥ba·b=0 ③a∥b|a·b|=|a||b| ④cos= ⑤|a·b|≤|a||b| 3.運算律 ①a·b=b·a ②(a)·b=(a·b)=a·(b) ③(a+b)·c=a·c+b·c