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解答壓軸題突破,專題三 規(guī)律探究,在課改以后的中考數(shù)學命題中,各地都十分重視規(guī)律探究的考查,各省市數(shù)學中考試題中基本上每年都有這樣的題目,安徽省更是如此.安徽省的中考數(shù)學試題,不但每年都有這類試題,而且近五年的中考中,除去2015年的第13題是一個填空題外,其余4年都是以解答題的形式出現(xiàn)的,如2016年的第18題、2014年的第16題、2013年的第18題、2012年的第17題都是分值為8分的解答題,可見安徽省對這類考題的重視程度. 這類試題通常有數(shù)字變化類規(guī)律探究、圖形變化類規(guī)律探究、數(shù)形結合變化類規(guī)律探究等,它的選材不只限于教材上的代數(shù)知識或幾何知識(材料涉及的知識點并不是考查的重點,而只是考查考生分析歸納能力的載體),所以解答此類問題,相關的知識和技能只是基礎,重要的是具備對問題觀察、分析、歸納、解決的能力. 從考生近幾年的答題情況看,規(guī)律探究性題目確實具有一定的區(qū)分度,對選拔高素質(zhì)的人才可以說是居功至偉.預測2017年的安徽省中考數(shù)學,肯定也會考一個規(guī)律探究題,可能是填空題,更有可能是解答題,難度會在中等以上.,新課標核心要求,用代數(shù)式表示數(shù)量關系及所反映的規(guī)律,考查考生的抽象思維能力,根據(jù)一列數(shù)或一組圖形的特例進行歸納,猜想,找出一般規(guī)律,進而列出通用的代數(shù)式,稱之為規(guī)律探究,一般有數(shù)字變化類規(guī)律探究、圖形變化類規(guī)律探究、數(shù)形結合變化類規(guī)律探究. 數(shù)字變化類規(guī)律探究,即是通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式,然后猜想其中蘊含的規(guī)律,反映了由特殊到一般的數(shù)學方法,考查考生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結構,然后通過橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關系)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關系)找出各部分的特征,改寫成要求的格式.數(shù)字變化類規(guī)律探究既是規(guī)律探究問題中的基礎,也是規(guī)律探究的重點. 圖形變化類規(guī)律探究,即是給定一些結構類似、數(shù)量和位置不同的幾何圖案,這些圖案之間有一定的規(guī)律,并且還可以由一個通用的代數(shù)式來表示.這種探索圖形構成元素規(guī)律的試題,解決思路有兩種:一種是數(shù)圖形,將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律,再用函數(shù)法、觀察法解決問題;另一種是通過圖形的直觀性,從圖形中直接尋找規(guī)律,常用“拆圖法”解決問題.,數(shù)形結合變化類規(guī)律探究,其實質(zhì)是數(shù)字規(guī)律探究和圖形規(guī)律探究的結合,其特點就是二者兼而有之.,題型2,題型1,題型3,題型1 數(shù)字變化類規(guī)律探究 典例1 觀察下列等式: ①9×0+1=1; ②9×1+2=11; ③9×2+3=21; ④9×3+4=31; …… (1)請按以上規(guī)律寫出第5個等式: ; (2)請用含字母n的式子表示第n個等式: ; (3)試說明以上規(guī)律的正確性.,題型2,題型1,題型3,【解析】觀察以上4個等式的構成規(guī)律,不難發(fā)現(xiàn):以上等式都有4項,第1項都是9;第2,3兩項均是連續(xù)自然數(shù),且第3項比第2項大1;第4項是整十再加1.歸納出這些規(guī)律后,不難完成第(1),(2)兩題.第(3)題又回到邏輯推理,將等式兩邊分別計算即可. 【答案】 (1)9×4+5=41; (2)9(n-1)+n=10(n-1)+1; (3)左邊=9n-9+n=10n-9, 右邊=10n-10+1=10n-9, ∴左邊=右邊, 即9(n-1)+n=10(n-1)+1.,【方法指導】數(shù)字類規(guī)律問題一般先觀察一列數(shù)字的規(guī)律,觀察分析、歸納猜想得出一般性的結論,再驗證,從而得到問題的答案.,題型2,題型1,題型3,題型2 圖形變化類規(guī)律探究 典例2 (2016·馬鞍山五校聯(lián)考)如圖,一個3×2的矩形(即長為3,寬為2)可以用兩種不同方式分割成3個或6個邊長是正整數(shù)的小正方形,即:小正方形的個數(shù)最多是6個,最少是3個. (1)一個5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是 個,最少是 個; (2)一個7×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是 個,最少是 個; (3)一個(2n+1)×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的個數(shù)最多是 個;最少是 個.(n是正整數(shù)),題型2,題型1,題型3,【解析】本題考查探究圖形的變化規(guī)律,找出圖形的變化規(guī)律是解題的關鍵.(1)一個5×2的矩形最少可分成4個正方形,最多可分成10個正方形;(2)一個7×2的矩形最少可分成5個正方形,最多可分成14個正方形;(3)第一個圖形:是一個3×2的矩形,最少可分成1+2個正方形,最多可分成3×2個正方形;第二個圖形:是一個5×2的矩形,最少可分成2+2個正方形,最多可分成5×2個正方形;第三個圖形:是一個7×2的矩形,最少可分成3+2個正方形,最多可分成7×2個正方形;…;第n個圖形:是一個(2n+1)×2的矩形,最少可分成n+2個正方形,最多可分成2(2n+1)=4n+2個正方形. 【答案】 (1)10,4;(2)14,5;(3)4n+2,n+2.,題型2,題型1,題型3,題型3 數(shù)形結合變化類規(guī)律探究 典例3 如圖,在函數(shù)y= (x0)的圖象上有點P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1,點P1的橫坐標為2,且后面每個點的橫坐標與它前面相鄰點的橫坐標的差都是2,過點P1,P2,P3,…,Pn,Pn+1分別作x軸、y軸的垂線段,構成若干個矩形,如圖所示,將圖中陰影部分的面積從左至右依次記為S1,S2,S3,…,Sn. (1)S1= ; (2)求Sn的表達式.(用含n的代數(shù)式表示),題型2,題型1,題型3,【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次得出點P1,P2,…,Pn的坐標,再依次求解S1,S2,…,Sn即可.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,1.(2016·合肥高新區(qū)一模)觀察下列等式:30=1,31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,解答下列問題:3+32+33+…+32015的末位數(shù)字是 9 . 【解析】∵31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…,∴末位數(shù)字每4個一循環(huán).∵2015÷4=503……3,∴3+32+33+34+…+32015的末位數(shù)字相當于:3+9+7+1+…+3+9+7=(3+9+7+1)×503+19=10079的末位數(shù)字,應為9.,,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2.(2016·湖南衡陽)如圖所示,1條直線將平面分成2個部分,2條直線最多可將平面分成4個部分,3條直線最多可將平面分成7個部分,4條直線最多可將平面分成11個部分.現(xiàn)有n條直線最多可將平面分成56個部分,則n的值為 10 . 【解析】由圖可知,(1)有1條直線時,分成1+1=2個部分;(2)有2條直線時,最多分成1+1+2=4個部分;(3)有3條直線時,最多分成1+1+2+3=7個部分;(4)有4條直線時,最多分成1+1+2+3+4=11個部分;…;(n)有n條直線時,最多分成1+1+2+3+…+(n-1)+n=1+ =56,整理得n2+n-110=0,解得n=10或n=-11(舍去).,,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,3.(2016·甘肅天水)將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放,觀察每個“龜圖”中“○”的個數(shù),若第n個“龜圖”中有245個“○”,則n= 16 . 【解析】觀察圖形,發(fā)現(xiàn)每個“龜圖”中“○”的個數(shù)為:第一個:1+4=1+4+0×1;第二個: 1+4+2=1+4+1×2;第三個:1+4+6=1+4+2×3;第四個:1+4+12=1+4+3×4;…;第n個: 1+4+(n-1)·n=n2-n+5,所以n2-n+5=245,解得n1=16,n2=-15(舍去),故n=16.,,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,4.(2016·湖北黃石)觀察下列等式:,按上述規(guī)律,回答下列問題: (1)請寫出第n個等式:an= ; (2)a1+a2+a3+…+an= .,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,5.(2016·安慶一模)觀察下列等式: … (1)請寫出第四個等式: . (2)觀察上述等式的規(guī)律,猜想第n個等式(用含n的式子表示),并證明其正確性.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,6.操作:將一個邊長為1的等邊三角形(如圖1)的每一邊三等分,以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形,并去掉所作的等邊三角形的一條邊,得到一個六角星(如圖2),稱為第一次分形.接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程,即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形,得到一個新的圖形(如圖3),稱為第二次分形.不斷重復這樣的過程,就能得到雪花曲線.,問題: (1)從圖形的對稱性觀察,圖4是 圖形(軸對稱或中心對稱圖形); (2)圖2的周長為 ; (3)試猜想第n次分形后所得圖形的周長為 .,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,7.如圖,在直角坐標系中,第一次將△OAB變換成△OA1B1,第二次將△OA1B1變換成△OA2B2,第三次將△OA2B2變換成△OA3B3,依此類推,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),… (1)觀察每次變換后的三角形,找出規(guī)律,按此規(guī)律再將△OA3B3變換成△OA4B4,則A4的坐標為 ,B4的坐標為 ; (2)若按上述規(guī)律,將△OAB進行n次變換,得△OAnBn,比較每次變換三角形頂點的變化規(guī)律,探索頂點An的坐標為 ,頂點Bn的坐標為 .,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,解:由A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3),…,知縱坐標為3,橫坐標都和2有關,為2n,∴An(2n,3).由B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0),…,知縱坐標為0,橫坐標都和2有關,為2n+1, ∴B的坐標為Bn(2n+1,0). 故答案為(1)(16,3),(32,0);(2)(2n,3),(2n+1,0).,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,8.(2016·蕪湖南陵一模)正方形ABCD內(nèi)部有若干個點,用這些點以及正方形ABCD的頂點A,B,C,D把原正方形分割成一些三角形(互相不重疊):,(1)填寫下表: (2)原正方形能否被分割成2016個三角形?若能,求此時正方形ABCD內(nèi)部有多少個點?若不能,請說明理由.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,解:(1)如圖: (2)能,1007個點. 設點數(shù)為n,則2(n+1)=2016,解得n=1007, 答:原正方形能被分割成2016個三角形,此時正方形ABCD內(nèi)部有1007個點.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(2016·合肥蜀山區(qū)模擬)如圖是用圍棋子擺成的一列具有一定規(guī)律的“山”字. (1)擺第一個圖形用 枚圍棋子,擺第二個圖形用 枚圍棋子,擺第三個圖形用 枚圍棋子; (2)按照這種方式擺下去,擺第n個圖形用 枚圍棋子; (3)當擺放502枚圍棋子時是第幾個“山”字? 解:(1)第1個“山”字中的圍棋子個數(shù)是7;第2個“山”字中的圍棋子個數(shù)是12;第3個“山”字中的圍棋子個數(shù)是17. (2)結合圖形,發(fā)現(xiàn):第n個“山”字中的圍棋子個數(shù)是3(n+1)+2n-1=5n+2. (3)5n+2=502,解得n=100, 所以當擺放502枚圍棋子時是第100個“山”字.,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,10.畢達哥拉斯學派對“數(shù)”與“形”的巧妙結合作了如下研究:,請寫出第六層各個圖形的幾何點數(shù),并歸納出第n層各個圖形的幾何點數(shù).,2,1,3,4,5,6,7,8,9,10,解:∵三角形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1,2,3, ∴第六層的幾何點數(shù)是6,第n層的幾何點數(shù)是n; ∵正方形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1, ∴第六層的幾何點數(shù)是2×6-1=11,第n層的幾何點數(shù)是2n-1; ∵五邊形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=3×1-2,4=3×2-2,7=3×3-2, ∴第六層的幾何點數(shù)是3×6-2=16,第n層的幾何點數(shù)是3n-2; ∵六邊形數(shù)前三層的幾何點數(shù)分別是1=4×1-3,5=4×2-3,9=4×3-3, ∴第六層的幾何點數(shù)是4×6-3=21,第n層的幾何點數(shù)是4n-3.,