2016年人教版九年級(jí)上《第23章旋轉(zhuǎn)》全章練習(xí)含答案(10份).rar,第23章旋轉(zhuǎn),2016,年人教版,九年級(jí),23,旋轉(zhuǎn),練習(xí),答案,10 小專題(七)　旋轉(zhuǎn)中的計(jì)算與證明 類型1　基于“半角”的旋轉(zhuǎn) 在很多題目中都有這樣的題設(shè)條件：一個(gè)大角中有一個(gè)共頂點(diǎn)的小角，小角正好是大角的一半(如例1)．當(dāng)面對(duì)這樣的信息時(shí)，往往可以考慮使用旋轉(zhuǎn)變換，并且旋轉(zhuǎn)后，多半還有一對(duì)軸對(duì)稱的全等三角形出現(xiàn)，此時(shí)，很多問題即可迎刃而解了．總結(jié)此類問題解題的思路即是：半角信息——帶形旋轉(zhuǎn)——軸對(duì)稱的全等三角形． 【例1】　如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于O.設(shè)E，F(xiàn)分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線段AE，BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明． 【思路點(diǎn)撥】　將△OFB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△OHA.連接HE，利用條件可證△EOH≌△EOF，從而得EH＝EF.然后在Rt△AEH中，利用勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，進(jìn)而得出結(jié)論． 1．已知在△ABC中，AB＝AC，D，E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，連接D′E. (1)如圖1，當(dāng)∠BAC＝120°時(shí)，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝D′E； (2)如圖2，當(dāng)DE＝D′E時(shí)，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出，并說(shuō)明理由． (3)如圖3，在(2)的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△D′EC是等腰直角三角形？(直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由) 類型2　基于“等邊三角形”的旋轉(zhuǎn) 方法歸納：將等邊三角形內(nèi)的一個(gè)小三角形，旋轉(zhuǎn)60度，從而使小三角形的一邊與原等邊三角形的邊重合，連接小三角形的鈍角頂點(diǎn)，得三角形．通過(guò)旋轉(zhuǎn)將不相關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中，將分散的已知條件集中起來(lái)，使問題得以解決． 【例2】如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝2，PB＝1，PC＝，求∠APB的度數(shù)． 【思路點(diǎn)撥】　將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△ADB.連接DA，DP，DB，得AD＝AP，DB＝PC＝，∠DAP＝60°.從而可證△ADP為等邊三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.從而可得∠APB＝120°. 2．如圖所示，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB＝2，PC＝1，∠BPC＝150°，求PA的長(zhǎng)． 3．如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一角等于60°.角的兩邊分別交AB、AC于M、N，連接MN，構(gòu)成一個(gè)△AMN，求△AMN的周長(zhǎng)． 參考答案 【例1】　AE2＋BF2＝EF2.證明：將△OFB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△OHA.連接HE，∴OH＝OF，AH＝BF，∠BOF＝∠AOH，∠HOF＝90°.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，∠AOB＝90°.∵∠EOF＝45°，∴∠AOE＋∠BOF＝∠AOB－∠EOF＝90°－45°＝45°.∴∠AOE＋∠AOH＝∠EOH＝45°.∴∠EOH＝∠EOF.在△EOH和△EOF中，OH＝OF，∠EOH＝∠EOF，OE＝OE，∴△EOH≌△EOF(SAS)．∴EF＝EH.∵在Rt△AEH中，由勾股定理得EH2＝AH2＋AE2，AH＝BF，∴AE2＋BF2＝EF2.　 1.(1)證明：∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′，∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD.∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠D′AE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC－∠DAE＝120°－60°＝60°.∴∠DAE＝∠D′AE.在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝AE，∴△ADE≌△AD′E(SAS)．∴DE＝D′E. (2) ∠DAE＝∠BAC.理由如下：在△ADE和△AD′E中，AD＝AD′，AE＝AE，DE＝D′E，∴△ADE≌△AD′E(SSS)．∴∠DAE＝∠D′AE.∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE.∴∠DAE＝∠BAC. (3)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°.∴∠D′CE＝45°＋45°＝90°.∵△D′EC是等腰直角三角形，∴D′E＝CD′.由(2)可得DE＝D′E，∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△ACD′，∴BD＝CD′.∴DE＝BD.　 【例2】　∵△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得△ADB.連接DA，DP，DB，得AD＝AP＝2，DB＝PC＝，∠DAP＝60°.∴△ADP為等邊三角形，所以DP＝AP＝2，∠DPA＝60°.在△DPB中，DB＝，BP＝1，DP＝2，∴DP2＋BP2＝DB2.∴∠DBP＝90°，∠DPB＝60°.∴∠APB＝∠DPB＋∠DPA＝60°＋60°＝120°.　 2.將△APC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使CA移至CB處，PC移到P′C，PA移到P′B.∵∠PCP′＝60°，∴△PCP′是等邊三角形．∴∠P′PC＝60°，PP′＝PC＝1.∵∠BPC＝150°，∴∠BPP′＝90°.在Rt△BP′P中，BP＝2，PP′＝PC＝1，由勾股定理得P′B＝＝＝PA.∴PA＝.　 3.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，△DBC為等腰三角形，∠BDC＝120°，所以以D為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向?qū)ⅰ鱀BM旋轉(zhuǎn)120°如圖，且N、C、E三點(diǎn)在同一條直線上．所以DM＝DE，CE＝BM，∠BDM＝∠CDE.因?yàn)椤螹DN＝60°，所以∠BDM＋∠NDC＝60°.所以∠NDE＝60°.在△DMN和△DEN中，DM＝DE，∠MDN＝∠EDN，DN＝DN，所以△DMN≌△DEN.所以NE＝MN.所以△AMN的周長(zhǎng)＝AM＋MN＋AN＝AM＋NE＋AN＝AM＋NC＋CE＋AN＝AM＋NC＋MB＋AN.即△AMN的周長(zhǎng)＝AB＋AC.因?yàn)锳B＝AC＝1，故△AMN的周長(zhǎng)為2.