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最新考綱 1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或 垂直；2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標； 3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條 平行直線間的距離.,第2講 兩直線的位置關(guān)系,1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?______．特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2_____． (2)兩條直線垂直 如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設為k1，k2，則l1⊥l2?__________，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線_____．,知 識 梳 理,k1＝k2,平行,k1·k2＝－1,垂直,2．兩直線相交 相交?方程組有________，交點坐標就是方程組的解； 平行?方程組_____； 重合?方程組有__________．,唯一解,無解,無數(shù)個解,3．距離公式 (1)兩點間的距離公式 平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝________________________． 特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝_________．,(2)點到直線的距離公式 平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝__________________． (3)兩條平行線間的距離公式 一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋ By＋C2＝0間的距離d＝____________．,1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.( ) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1. ( ) (3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0. ( ) (4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離． ( ),診 斷 自 測,×,√,√,×,2．過點(1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是 ( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 解析 設所求直線方程為x－2y＋c＝0，將(1，0)代入得c＝－1.∴所求直線方程為x－2y－1＝0. 答案 A,3．(2014·福建卷)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是 ( ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析 已知圓的圓心為(0，3)，直線x＋y＋1＝0的斜率為－1，則所求直線的斜率為1，所以所求直線的方程為y＝x＋3，即x－y＋3＝0.故選D. 答案 D,4．直線2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之間的距離是________．,5．(人教A必修2P114A4改編)若直線(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0與(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，則a＝_______． 解析 由兩直線垂直的充要條件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0， 解得a＝0或a＝1. 答案 0或1,考點一 兩直線的平行與垂直 【例1】 已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行； (2)當l1⊥l2時，求a的值． 解 (1)法一 當a＝1時， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 當a＝0時，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；,當a≠1且a≠0時， 綜上可知，a＝－1時，l1∥l2. 法二 由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，,故當a＝－1時，l1∥l2. (2)法一 當a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不成立； 當a＝0時，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 當a≠1且a≠0時，,規(guī)律方法 (1)當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．(2)在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論．,【訓練1】 已知過點A(－2，m)和點B(m，4)的直線為l1，直線2x＋y－1＝0為l2，直線x＋ny＋1＝0為l3.若l1∥l2，l2⊥l3，則實數(shù)m＋n的值為 ( ) A．－10 B．－2 C．0 D．8 答案 A,考點二 兩條直線的交點與點到直線的距離 【例2】 直線l經(jīng)過點P(2，－5)且與點A(3，－2)和點B(－1，6)的距離之比為1∶2，求直線l的方程． 解 當直線l與x軸垂直時，此時直線l的方程為x＝2，點A到直線l的距離為d1＝1，點B到直線l的距離為d2＝3，不符合題意，故直線l的斜率必存在． ∵直線l過點P(2，－5)， ∴設直線l的方程為y＋5＝k(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0.,∴k2＋18k＋17＝0，∴k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直線方程為x＋y＋3＝0和17x＋y－29＝0. 規(guī)律方法 利用距離公式應注意：(1)點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；(2)兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等．,(2)直線l過點P(－1，2)且到點A(2，3)和點B(－4，5)的距離相等，則直線l的方程為________．,,∵兩直線的交點在第一象限， ∴兩直線的交點必在線段AB上(不包括端點)， ∴動直線的斜率k需滿足kPA＜k＜kPB.,即x＋3y－5＝0. 當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 當l過AB中點時，AB的中點為(－1，4)． ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.,考點三 對稱問題 【例3】 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求： (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點A(－1，－2)對稱的直線l′的方程．,(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上． 設對稱點為M′(a，b)，,(3)法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如M(1，1)，N(4，3)． 則M，N關(guān)于點A的對稱點M′，N′均在直線l′上． 易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0. 法二 設P(x，y)為l′上任意一點， 則P(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為 P′(－2－x，－4－y)， ∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0.,規(guī)律方法 (1)點關(guān)于點的對稱：求點P關(guān)于點M(a，b)的對稱點Q的問題，主要依據(jù)M是線段PQ的中點，即xP＋xQ＝2a，yP＋yQ＝2b. (2)直線關(guān)于點的對稱：求直線l關(guān)于點M(m，n)的對稱直線l′的問題，主要依據(jù)l′上的任一點T(x，y)關(guān)于M(m，n)的對稱點T′(2m－x，2n－y)必在l上． (3)點關(guān)于直線的對稱：求已知點A(m，n)關(guān)于已知直線l：y＝kx＋b的對稱點A′(x0，y0)的坐標，一般方法是依據(jù)l是線段AA′的垂直平分線，列出關(guān)于x0，y0的方程組，由“垂直”得一方程，由“平分”得一方程． (4)直線關(guān)于直線的對稱：此類問題一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱來解決，有兩種情況：一是已知直線與對稱軸相交；二是已知直線與對稱軸平行．,【訓練3】 光線沿直線l1：x－2y＋5＝0射入，遇直線l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光線所在的直線方程． ∴反射點M的坐標為(－1，2)． 又取直線x－2y＋5＝0上一點P(－5，0)，設P關(guān)于直線l的對稱點P′(x0，y0)，,,,微型專題 直線系方程的靈活應用 直線系指具有某一共同性質(zhì)的直線的集合，它有多種不同的情況，其中以過兩條直線交點的直線系為主．利用直線系方程可以降低運算難度，使解題的過程更加簡捷，因此在高考中這類問題也可能會成為考查的重點．,【例4】 已知直線l與點A(3，3)和B(5，2)的距離相等，且過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點，求直線l的方程． 點撥 不需要解兩直線l1與l2的交點，可設直線l為：3x－y－1＋λ(x＋y－3)＝0，再分兩種情況分別求解． 解 根據(jù)條件可設直線l的方程為3x－y－1＋λ(x＋y－3)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y－3λ－1＝0；直線l與點A(3，3)和B(5，2)的距離相等可分為兩種情況：,此時直線l的方程為x－6y＋11＝0. 綜上，可知所求直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.,點評 一般情況下，若兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點，則過l1與l2的交點的直線系方程可設為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2)，利用這一結(jié)論可以避免求交點時解方程組帶來的麻煩.,[思想方法] 1．兩直線的位置關(guān)系要考慮平行、垂直和重合．對于斜率都存在且不重合的兩條直線l1，l2，l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1. 2．對稱問題一般是將線與線的對稱轉(zhuǎn)化為點與點的對稱．利用坐標轉(zhuǎn)移法． 3．光線的反射問題具有入射角等于反射角的特點，這樣就有兩種對稱關(guān)系，一是入射光線與反射光線關(guān)于過反射點且與反射軸垂直的直線(法線)對稱，二是入射光線與反射光線所在直線關(guān)于反射軸對稱．,[易錯防范] 1．在判斷兩條直線的位置關(guān)系時，首先應分析直線的斜率是否存在．若兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率，要單獨考慮． 2．使用點到直線的距離公式前必須將直線方程化為一般式，同時此公式對直線與坐標軸垂直或平行的情況也適用；使用兩平行線間的距離公式時一定要注意先把兩直線方程中的x，y的系數(shù)化成相等．,