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第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,最新考綱 1.理解命題的概念；2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系；3.理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．,知 識 梳 理 1．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系,(2)四種命題的真假關(guān)系 ①兩個命題互為逆否命題，它們具有 的真假性． ②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性 ．,相同,沒有關(guān)系,2．充分條件、必要條件與充要條件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,×,×,×,√,√,答案 C,3．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則 “a＝3”是“A?B”的 ( ) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析 a＝3時，A＝{1,3}，顯然A?B. 但A?B時，a＝2或3.所以A正確． 答案 A,4．(2014·浙江卷)設(shè)四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件,解析 因為菱形的對角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”?“AC⊥BD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分條件；又因為對角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“AC⊥BD” “四邊形ABCD為菱形”，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“AC⊥BD”的必要條件． 綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要條件． 答案 A,5．(人教A選修1－1P10練習(xí)4改編)下列命題： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分條件； ②圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要條件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要條件． 其中為真命題的是__________(填序號)． 答案 ②④,答案 A,規(guī)律方法 (1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關(guān)鍵．(2)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進(jìn)行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價命題的真假．(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．,答案 (1)C (2)D,考點二 充要條件的判定 【例2 】 (1)(2014·廣東卷)在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，則“a≤b”是“sin A≤sin B”的 ( ) A．充分必要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件 (2)(2015·杭州、嘉興學(xué)校聯(lián)考)ax2＋2x＋1＝0至少有一個負(fù)實根的充要條件是 ( ) A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0,法二 (排除法)當(dāng)a＝0時，原方程有一個負(fù)實根，可以排除A，D； 當(dāng)a＝1時，原方程有兩個相等的負(fù)實根，可以排除B. 答案 (1)A (2)C 規(guī)律方法 判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想把抽象、復(fù)雜問題形象化、直觀化外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為判斷它的等價命題,解析 (1)令a＝1，b＝－2，顯然a＞b，但a2＜b2； ∴“a＞b”不是“a2＞b2”的充分條件． 令a＝－2，b＝1，顯然a2＞b2，但a＜b， ∴“a＞b”不是“a2＞b2”的必要條件． ∴“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件． (2)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)， ∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x. 又a⊥b?a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0. 答案 (1)D (2)D,答案 ①④,(2)由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．故a≥1. 答案 (1)A (2)A 規(guī)律方法 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解，在求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．,答案 (1)A (2)[0,2],[思想方法] 1．寫出一個命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論，然后按定義來寫；在判斷原命題及其逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定．,2．命題的充要關(guān)系的判斷方法 (1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假． (2)等價法：利用A?B與綈B?綈A，B?A與綈A?綈B，A?B與綈B?綈A的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運用等價法． (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件或“x∈B”是“x∈A”的必要條件；若A＝B，則“x∈A”是“x∈B”的充要條件．,[易錯防范] 對于命題正誤的判斷是高考的熱點之一，理應(yīng)引起大家的關(guān)注，命題正誤的判斷可涉及各章節(jié)的內(nèi)容，覆蓋面寬，也是學(xué)生的易失分點．命題正誤的判斷的原則是正確的命題要有依據(jù)或者給以論證；不一定正確的命題要舉出反例，絕對不要主觀臆斷，這也是最基本的數(shù)學(xué)邏輯思維方式.,