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最新考綱 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)；2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應方程的近似解．,第8講 函數(shù)與方程,1．函數(shù)的零點 (1)函數(shù)的零點的概念 對于函數(shù)y＝f(x)，把使________的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點． (2)函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與_____有交點?函數(shù)y＝f(x)有_____．,知 識 梳 理,f(x)＝0,零點,x軸,(3)零點存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)滿足：①在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②___________；則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上存在零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二分法 (1)定義：對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且____________的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間_________，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近_____，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．,f(a)·f(b)＜0,f(a)·f(b)＜0,一分為二,零點,(2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)＜0，給定精確度ε； ②求區(qū)間(a，b)的中點c； ③計算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； (ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))． ④判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a (或b)；否則重復②③④.,1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點． ( ) (2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0. ( ) (3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0時沒有零點． ( ) (4)只要函數(shù)有零點，我們就可以用二分法求出零點的近似值． ( ),診 斷 自 測,×,√,×,×,,答案 C,3．(2014·湖北七市(州)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，由下表知方程f(x)＝g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是( ),A.(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) 解析 記h(x)＝f(x)－g(x)，依題意，注意到h(0)＜0，h(1)＞0，因此函數(shù)h(x)的零點屬于(0，1)，即方程f(x)＝g(x)有實數(shù)解的區(qū)間是(0，1)，故選B. 答案 B,4．(人教A必修1P92A1改編)下列函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中函數(shù)零點的是 ( ),答案 A,答案 2,考點一 函數(shù)零點的判斷與求解 【例1】 (1)(2014·唐山一模)設(shè)f(x)＝ex＋x－4，則函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間 ( ) A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3) (2)(2014·湖北卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－3x.則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點的集合為 ( ) A．{1，3} B．{－3，－1，1，3},解析 (1)∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1＞0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，對于A項，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5 ＋e－1＜0，f(0)＝－3＜0，f(－1)f(0)＞0，A不正確； 同理可驗證B，D不正確，對于C項，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3＜0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2＞0，f(1)f(2)＜0.故f(x)的零點位于區(qū)間(1，2)．,答案 (1)C (2)D,規(guī)律方法 (1)確定函數(shù)的零點所在的區(qū)間時，通常利用零點存在性定理，轉(zhuǎn)化為確定區(qū)間兩端點對應的函數(shù)值的符號是否相反．(2)根據(jù)函數(shù)的零點與相應方程根的關(guān)系可知，求函數(shù)的零點與求相應方程的根是等價的．對于求方程f(x)＝g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，函數(shù)F(x)的零點即方程f(x)＝g(x)的根．,答案 D,(1)若y＝g(x)－m有零點，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根.,圖1,圖2,∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2. ∴其圖象的對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2. 故當m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1時，y＝g(x)與y＝f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． ∴m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．,規(guī)律方法 函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用．,(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個不同的實數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝a有3個不同的交點，此時需滿足0＜a＜1，故選D. 答案 (1)C (2)D,考點三 與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題 【例3】 是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1，3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．,規(guī)律方法 解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組．,【訓練3】 已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數(shù)a的取值范圍． 解 法一 設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1＜x2)，則(x1－1)(x2－1)＜0， ∴x1x2－(x1＋x2)＋1＜0， 由根與系數(shù)的關(guān)系， 得(a－2)＋(a2－1)＋1＜0， 即a2＋a－2＜0，∴－2＜a＜1.,法二 函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)＜0， 即1＋(a2－1)＋a－2＜0， ∴－2＜a＜1. 故實數(shù)a的取值范圍是(－2，1)．,[思想方法] 1．判定函數(shù)零點的常用方法有： (1)零點存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)＝0. 2．研究方程f(x)＝g(x)的解，實質(zhì)就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零點． 3．轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題．,[易錯防范] 1．函數(shù)f(x)的零點是一個實數(shù)，是方程f(x)＝0的根，也是函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標． 2．函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象．,