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選修4－1 幾何證明選講,第一節(jié) 相似三角形的判定及有關性質(zhì),最新考綱展示 了解平行線等分線段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理；理解直角三角形射影定理．,一、平行截割定理 1．平行線等分線段定理 如果一組 在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也 ． 2．平行線分線段成比例定理 (1)定理：三條平行線截兩條直線，所得的 成比例． (2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的 成比例．,平行線,相等,對應線段,對應線段,二、相似三角形的判定及性質(zhì) 1．相似三角形的判定定理 (1)兩角對應 的兩個三角形相似． (2)兩邊對應 并且夾角 的兩個三角形相似． (3)三邊對應 的兩個三角形相似． 2．相似三角形的性質(zhì)定理 (1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于 ． (2)相似三角形周長的比等于 ． (3)相似三角形面積的比等于 ．,相等,成比例,相等,成比例,相似比,相似比,相似比的平方,三、直角三角形的射影定理 直角三角形斜邊上的高是 在斜邊上射影的比例中項；兩直角邊分別是它們在 上射影與 的比例中項． 如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的高， 則有CD2＝ ，AC2＝ ，BC2＝ .,,兩直角邊,斜邊,斜邊,AD·BD,AD·AB,BD·AB,與平行線分線段成比例定理有關的推論： 1．平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例． 2．三角形的一個內(nèi)角平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例． 3．梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半． 4．若一條直線截三角形的兩邊(或其延長線)所得對應線段成比例，則此直線與三角形的第三邊平行．,一、平行線截割定理 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)三角形的一個內(nèi)角平分線分對邊所成的兩線段與這個角的兩邊對應成比例．( ) (2)三條平行線截兩條直線，所得的對應線段不成比例．( ) 答案：(1)√ (2)×,解析：由平行線等分線段定理可直接得到答案．,,二、相似三角形的判定與性質(zhì) 3．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比．( ) (2)相似三角形外接圓的直徑比、周長比、面積比等于相似比．( ) 答案：(1)√ (2)×,答案：9,,三、直角三角形的射影定理 5.如圖，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB中點，DE⊥AB于E，則△ADE與△ABC的相似比是________．,,平行線分線段成比例定理的應用(自主探究),,,,規(guī)律方法 利用平行線分線段成比例定理及推論證明比例式應注意： (1)作出圖形，觀察圖形及已知條件，尋找合適的比例關系． (2)如果題目中沒有平行線，要注意添加輔助線，可添加的輔助線可能很多，要注意圍繞待證式． (3)要注意“中間量”的運用與轉(zhuǎn)化．,例2 如圖，設M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于點F，EM交BD于點G.,相似三角形的判定及性質(zhì)的應用(師生共研),,規(guī)律方法 (1)相似三角形的判定主要是依據(jù)三個判定定理，結(jié)合定理創(chuàng)造條件建立對應邊或?qū)堑年P系． (2)注意輔助線的添加，多數(shù)作平行線． (3)相似三角形的性質(zhì)應用可通過考查與相似三角形相關的元素來體現(xiàn)，如兩個三角形的高、周長、角平分線、中線、面積、外接圓的直徑、內(nèi)切圓的面積等．,1.如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫作格點． △ACB和△DCE的頂點都在格點上，ED的延長線交AB于點F. (1)求證：△ACB∽△DCE； (2)求證：EF⊥AB.,,例3 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，試證明： (1)AB·AC＝BC·AD； (2)AD3＝BC·CF·BE.,射影定理的應用(師生共研),,規(guī)律方法 (1)在使用直角三角形射影定理時，要學會將“乘積式”轉(zhuǎn)化為相似三角形中的“比例式”． (2)證題時，要注意作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法．,,