高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.8 函數(shù)與方程課件 文.ppt
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第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) I,§2.8 函數(shù)與方程,,,內(nèi)容索引,,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,,,基礎(chǔ)知識 自主學(xué)習(xí),1.函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使函數(shù)y=f(x)的值為0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點. (2)幾個等價關(guān)系 方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與 有交點?函數(shù)y=f(x)有 .,x軸,零點,,知識梳理,1,,答案,(3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線,且 ,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間______上有零點,即存在c∈(a,b),使得_______,這個__也就是方程f(x)=0的根. 2.二分法 對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.,f(a)·f(b)0,(a,b),f(c)=0,c,f(a)·f(b)0,零點,,答案,3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的圖象與零點的關(guān)系,(x1,0),(x2,0),(x1,0),2,1,0,,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與x軸的交點.( ) (2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)·f(b)0.( ) (3)只要函數(shù)有零點,我們就可以用二分法求出零點的近似值.( ) (4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac0時沒有零點.( ) (5)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)·f(b)0,則函數(shù)f(x)在[a,b]上有且只有一個零點.( ),×,×,×,√,√,,答案,思考辨析,1.(教材改編)函數(shù)f(x)=ex+3x的零點個數(shù)是___.,∴f(x)在(-1,0)內(nèi)有零點, 又f(x)為增函數(shù), ∴函數(shù)f(x)有且只有一個零點.,1,,,考點自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.若x1,x2是方程 的兩個實根,則x1+x2=___. 解析,-1,∴x1+x2=-1.,,解析答案,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)=2x|log0.5 x|-1的零點個數(shù)為___.,由圖象知兩函數(shù)圖象有2個交點, 故函數(shù)f(x)有2個零點.,2,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,解析 當(dāng)x2時,g(x)=x-1,f(x)=(x-2)2; 當(dāng)0≤x≤2時,g(x)=3-x,f(x)=2-x; 當(dāng)x2時,方程f(x)-g(x)=0可化為x2-5x+5=0,,當(dāng)0≤x≤2時,方程f(x)-g(x)=0可化為2-x=3-x,無解; 當(dāng)x0時,方程f(x)-g(x)=0可化為x2+x-1=0,其根為,所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點個數(shù)為2. 答案 2,,1,2,3,4,5,5.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 ∵函數(shù)f(x)的圖象為直線,由題意可得 f(-1)f(1)0, ∴(-3a+1)·(1-a)0,,,解析答案,1,2,3,4,5,返回,,題型分類 深度剖析,,,題型一 函數(shù)零點的確定,命題點1 函數(shù)零點所在的區(qū)間,∴x0∈(2,3).,2,,解析答案,命題點2 函數(shù)零點個數(shù)的判斷,所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). 又因為f(2)=-2+ln 20, 所以f(x)在(0,+∞)上有一個零點, 綜上,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.,2,所以在(-∞,0]上有一個零點.,,解析答案,(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點個數(shù)是___. 解析 由題意知,f(x)是周期為2的偶函數(shù). 在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)及y=log3|x|的圖象,如圖: 觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點, 即函數(shù)y=f(x)-log3|x|有4個零點.,4,,解析答案,命題點3 求函數(shù)的零點,例3 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x,則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點的集合為______________.,,解析答案,思維升華,解析 當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x, 令g(x)=x2-3x-x+3=0,得x1=3,x2=1. 當(dāng)x0, ∴f(-x)=(-x)2-3(-x), ∴-f(x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x. 令g(x)=-x2-3x-x+3=0,,,思維升華,,(1)確定函數(shù)零點所在區(qū)間,可利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法:①解方程法;②零點存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì);③數(shù)形結(jié)合法:轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).,思維升華,所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4).,③,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,(2)函數(shù) 的零點個數(shù)為____.,,解析答案,∴f(0)f(1)0, 故函數(shù)f(x)在(0,1)至少存在一個零點, 又f(x)顯然為增函數(shù), ∴f(x)零點個數(shù)為1. 答案 1,所以零點只有一個.,,,題型二 函數(shù)零點的應(yīng)用,例4 若關(guān)于x的方程22x+2xa+a+1=0有實根,求實數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 (換元法) 設(shè)t=2x (t0),則原方程可變?yōu)閠2+at+a+1=0,(*) 原方程有實根,即方程(*)有正根. 令f(t)=t2+at+a+1. ①若方程(*)有兩個正實根t1,t2,,,解析答案,思維升華,②若方程(*)有一個正實根和一個負(fù)實根(負(fù)實根不合題意,舍去), 則f(0)=a+10,解得a-1; ③若方程(*)有一個正實根和一個零根,,,解析答案,思維升華,,思維升華,,思維升華,對于“a=f(x)有解”型問題,可以通過求函數(shù)y=f(x)的值域來解決,解的個數(shù)可化為函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=a交點的個數(shù).,則有f(1)·f(2)0, 所以(-a)(4-1-a)0, 即a(a-3)0. 所以0<a<3.,(0,3),跟蹤訓(xùn)練2,,解析答案,解析 畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,,觀察圖象可知,若方程f(x)-a=0有 三個不同的實數(shù)根, 則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=a 有3個不同的交點, 此時需滿足0<a<1.,(0,1),,解析答案,,,題型三 二次函數(shù)的零點問題,例5 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一個零點比1大,一個零點比1小,求實數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,思維升華,解 方法一 設(shè)方程x2+(a2-1)x+(a-2)=0的兩根分別為x1,x2(x1x2), 則(x1-1)(x2-1)0, ∴x1x2-(x1+x2)+10, 由根與系數(shù)的關(guān)系,得(a-2)+(a2-1)+10, 即a2+a-20, ∴-2a1.,,解析答案,思維升華,方法二 函數(shù)圖象大致如圖, 則有f(1)0, 即1+(a2-1)+a-20, ∴-2a1. 故實數(shù)a的取值范圍是(-2,1).,,思維升華,,解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點問題:(1)可利用一元二次方程的求根公式;(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系;(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.,思維升華,若關(guān)于x的方程x2+ax-4=0在區(qū)間[2,4]上有實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 如果方程有實數(shù)根,注意到兩個根之積為-40, 可知兩根必定一正一負(fù), 因此在[2,4]上有且只有一個實數(shù)根, 設(shè)f(x)=x2+ax-4, 則必有f(2)f(4)≤0, 所以2a(12+4a)≤0,即a∈[-3,0].,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,[-3,0],,易錯警示系列,典例 定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x0時,f(x)=2 016x+log2 016x,則在R上函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為________. 易錯分析 得出當(dāng)x0時的零點個數(shù)后,容易忽略條件:定義在R上的奇函數(shù),導(dǎo)致漏掉x0時和x=0時的情況.,,易錯警示系列,3.忽視定義域?qū)е铝泓c個數(shù)錯誤,,易錯分析,解析答案,返回,溫馨提醒,可知它們只有一個交點, 所以當(dāng)x0時函數(shù)只有一個零點. 由于函數(shù)為奇函數(shù), 所以當(dāng)x0時,也有一個零點. 又當(dāng)x=0時y=0, 所以共有三個零點. 答案 3,解析 當(dāng)x0時,由f(x)=2 016x+log2 016x=0得,作出函數(shù)y=2 016x與函數(shù),的圖象,,,溫馨提醒,,溫馨提醒,,返回,(1)討論x0時函數(shù)的零點個數(shù)也可利用零點存在性定理結(jié)合函數(shù)單調(diào)性確定.(2)函數(shù)的定義域是討論函數(shù)其他性質(zhì)的基礎(chǔ),要給予充分重視.,,思想方法 感悟提高,1.函數(shù)零點的判定常用的方法有 (1)零點存在性定理; (2)數(shù)形結(jié)合:函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點,就是函數(shù)y=f(x)和y=g(x)圖象交點的橫坐標(biāo). (3)解方程. 2.二次函數(shù)的零點可利用求根公式、判別式、根與系數(shù)的關(guān)系或結(jié)合函數(shù)圖象列不等式(組). 3.利用函數(shù)零點求參數(shù)范圍的常用方法:直接法、分離參數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.,方法與技巧,1.函數(shù)零點存在性定理是零點存在的一個充分條件,而不是必要條件;判斷零點個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖象. 2.判斷零點個數(shù)要注意函數(shù)的定義域,不要漏解;畫圖時要盡量準(zhǔn)確.,失誤與防范,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由圖象可知,若函數(shù)y=f(x)-m有3個零點, 則0m1, 因此m的取值范圍是(0,1).,(0,1),,解析答案,2.已知函數(shù)f(x)=ln x-x+2有一個零點所在的區(qū)間為(k,k+1) (k∈N*),則k的值為___. 解析 由題意知,當(dāng)x1時,f(x)單調(diào)遞減, 因為f(3)=ln 3-10,f(4)=ln 4-20, 所以該函數(shù)的零點在區(qū)間(3,4)內(nèi), 所以k=3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,3,解析 當(dāng)x≤1時,由f(x)=2x-1=0,解得x=0; 當(dāng)x1時,由f(x)=1+log2x=0,,又因為x1,所以此時方程無解. 綜上函數(shù)f(x)的零點只有0.,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,4.方程|x2-2x|=a2+1(a0)的解的個數(shù)是___. 解析 (數(shù)形結(jié)合法) ∵a0, ∴a2+11. 而y=|x2-2x|的圖象如圖, ∴y=|x2-2x|的圖象與y=a2+1的圖象總有兩個交點.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 當(dāng)x0時,f(x)=2x-1.,當(dāng)x≤0時,f(x)=ex+a, 此時函數(shù)f(x)=ex+a在(-∞,0]上有且僅有一個零點, 等價轉(zhuǎn)化為方程ex=-a在(-∞,0]上有且僅有一個實根, 而函數(shù)y=ex在(-∞,0]上的值域為(0,1], 所以0-a≤1,解得-1≤a0. 答案 [-1,0),6.已知函數(shù)f(x)=x2+x+a(a0)在區(qū)間(0,1)上有零點,則a的取值范圍為_______. 解析 ∵-a=x2+x在(0,1)上有解,,(-2,0),∴函數(shù)y=x2+x,x∈(0,1)的值域為(0,2), ∴0-a2,∴-2a0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,7.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2和3,則不等式af(-2x)0的解集是___________.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,∴f(x)=x2-x-6. ∵不等式af(-2x)0, 即-(4x2+2x-6)0?2x2+x-30,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 ∵f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2,3. ∴-2,3是方程x2+ax+b=0的兩根,,由于函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點, 結(jié)合圖象得:0m1,即m∈(0,1).,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 如圖所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,故f(x)在(0,1]上是減函數(shù), 而在(1,+∞)上是增函數(shù). 由0ab且f(a)=f(b),得0a1b,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,(3)若方程f(x)=m有兩個不相等的正根,求m的取值范圍. 解 由函數(shù)f(x)的圖象可知, 當(dāng)0m1時,方程f(x)=m有兩個不相等的正根.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,10.關(guān)于x的二次方程x2+(m-1)x+1=0在區(qū)間[0,2]上有解,求實數(shù)m的取值范圍.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解 方法一 設(shè)f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2], ①若f(x)=0在區(qū)間[0,2]上有一解, ∵f(0)=10,則應(yīng)有f(2)0, 又∵f(2)=22+(m-1)×2+1,,②若f(x)=0在區(qū)間[0,2]上有兩解,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,由①②可知m的取值范圍是(-∞,-1].,方法二 顯然x=0不是方程x2+(m-1)x+1=0的解,,∴1-m≥2,∴m≤-1, 故m的取值范圍是(-∞,-1].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 當(dāng)x≤0時,x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;,即實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞).,(-∞,1]∪[2,+∞),12.函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點位于區(qū)間(n,n+1)(n∈N)內(nèi),則n=___. 解析 由于ln 21, 所以f(3)0,所以函數(shù)f(x)的零點位于區(qū)間(2,3)內(nèi), 故n=2.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,解析 函數(shù)g(x)=f(x)-k有兩個零點, 即f(x)-k=0有兩個解, 即y=f(x)與y=k的圖象有兩個交點. 分k0和k1或k0時,沒有交點, 故當(dāng)0k1時滿足題意.,(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,14.(2015·湖南)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是_____. 解析 由f(x)=|2x-2|-b=0,得|2x-2|=b. 在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|2x-2|與y=b的圖象,如圖所示. 則當(dāng)0b2時,兩函數(shù)圖象有兩個交點, 從而函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點.,(0,2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析答案,返回,- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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