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層次分析法,Analytic Hierarchy Process AHP,T.L.saaty,面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后 作出決策。這個過程主觀因素占有相當的比重給用數學方法 解決問題帶來不便。T.L.saaty等人20世紀在七十年代提出了 一種能有效處理這類問題的實用方法。 層次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)這是 一種定性和定量相結合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。 過去研究自然和社會現象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩 種方法，前者用經典的數學工具分析現象的因果關系，后者 以隨機數學為工具，通過大量的觀察數據尋求統(tǒng)計規(guī)律。近 年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析 的數學工具之一。,二 層次分析法的基本步驟,1 建立層次結構模型 一般分為三層，最上面為目標層，最下面為方案層，中 間是準則層或指標層。 例1 的層次結構模型,準則層,方案層,目標層,,,,,,設某層有 個因素，,2 構造成對比較矩陣,要比較它們對上一層某一準則（或目標）的影響程度，確定 在該層中相對于某一準則所占的比重。（即把 個因素對上 層某一目標的影響程度排序）,用 表示第 個因素相對于第 個因素的比較結果，則,則稱為成對比較矩陣。,上述比較是兩兩因素之間進行的比較，比較時取1~9尺度。,尺度,第 個因素與第 個因素的影響相同,,第 個因素比第 個因素的影響稍強,第 個因素比第 個因素的影響強,第 個因素比第 個因素的影響明強,第 個因素比第 個因素的影響絕對地強,含義,比較尺度：（1~9尺度的含義）,2,4,6,8表示第 個因素相對于第 個因素的影響介于上述 兩個相鄰等級之間。不難定義以上各尺度倒數的含義， 根據 。,2 4 6 8,比較尺度aij,Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值1,2,… , 9及其互反數1,1/2, … , 1/9,心理學家認為成對比較的因素不宜超過9個,用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27種比較尺度對若干實例構造成對比較陣，算出權向量，與實際對比發(fā)現， 1~9尺度較優(yōu)。,便于定性到定量的轉化：,成對比較陣和權向量,由上述定義知，成對比較矩陣,則稱為正互反陣。 比如，第二層A的各因素對目標層Z的影響兩兩比較結果如下：,滿足一下性質,1,1/2,4,3,3,2,1,7,5,5,1/4,1/7,1,1/2,1/3,1/3,1/5,2,1,1,1/3,1/5,3,1,1,由上表，可得成對比較矩陣,問題：兩兩進行比較后，怎樣才能知道，下層各因素對上 層某因素的影響程度的排序結果呢？,3 層次單排序及一致性檢驗,層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。 用權值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權值。 例如 一塊石頭重量記為1，打碎分成 各小塊，各塊的重量,分別記為：,則可得成對比較矩陣,由右面矩陣可以看出，,即，,但在上例的成對比較矩陣中，,在正互反矩陣 中，若 ,則稱 為一致陣。,一致陣的性質：,5. 的任一列(行)都是對應于特征根 的特征向量。,若成對比較矩陣是一致陣，則我們自然會取對應于最 大特征根 的歸一化特征向量 ，且,定理： 階互反陣 的最大特征根 ，當且僅 當 時， 為一致陣。,表示下層第 個因素對上層某因素影響程度的權值。,若成對比較矩陣不是一致陣，Saaty等人建議用其最大 特征根對應的歸一化特征向量作為權向量 ，則,（為什么？）,這樣確定權向量的方法稱為特征根法.,定義一致性指標,其中 為 的對角線元素之和，也為 的特征根之和。,則可得一致性指標,定義隨機一致性指標,隨機構造500個成對比較矩陣,隨機一致性指標 RI 的數值：,一致性檢驗：利用一致性指標和一致性比率0.1 及隨機一致性指標的數值表，對 進行檢驗的過程。,一般，當一致性比率,的不一致程度在容許范圍之內，可用其歸一化特征向量 作為權向量，否則要重新構造成對比較矩陣，對 加 以調整。,時，認為,4 層次總排序及其一致性檢驗 確定某層所有因素對于總目標相對重要性的排序權值過程， 稱為層次總排序 從最高層到最低層逐層進行。設：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對總目標Z的排序為,的層次單排序為,即 層第 個因素對 總目標的權值為：,層的層次總排序為：,,A,B,層次總排序的一致性檢驗,設 層 對上層( 層)中因素 的層次單排序一致性指標為 ，隨機一致性指為 ， 則層次總排序的一致性比率為：,當 時，認為層次總排序通過一致性檢驗。到 此，根據最下層（決策層）的層次總排序做出最后決策。,1.建立層次結構模型 該結構圖包括目標層，準則層，方案層。,層次分析法的基本步驟歸納如下,3.計算單排序權向量并做一致性檢驗,2.構造成對比較矩陣,從第二層開始用成對比較矩陣和1~9尺度。,對每個成對比較矩陣計算最大特征值及其對應的特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權向量；若不通過，需要重新構造成對比較矩陣。,四 層次分析法的優(yōu)點和局限性,1 系統(tǒng)性 層次分析法把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策 ，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)展起來的系統(tǒng)分析的重要工具。,2 實用性 層次分析法把定性和定量方法結合起來，能處理許多用 傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術無法著手的實際問題，應用范圍很廣，同 時，這種方法使得決策者與決策分析者能夠相互溝通，決策 者甚至可以直接應用它，這就增加了決策的有效性。,3 簡潔性 具有中等文化程度的人即可以了解層次分析法的基本 原理并掌握該法的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得 結果簡單明確，容易被決策者了解和掌握。,以上三點體現了層次分析法的優(yōu)點，該法的局限 性主要表現在以下幾個方面：,第一 只能從原有的方案中優(yōu)選一個出來，沒有辦法得出更好的新方案。,第二 該法中的比較、判斷以及結果的計算過程都是粗糙 的，不適用于精度較高的問題。 第三 從建立層次結構模型到給出成對比較矩陣，人主觀 因素對整個過程的影響很大，這就使得結果難以讓 所有的決策者接受。當然采取專家群體判斷的辦法 是克服這個缺點的一種途徑。,思考：多名專家的綜合決策問題,五 正互反陣最大特征值和特征向量實用算法,用定義計算矩陣的特征值和特征向量相當困難，特別是階數較高時； 成對比較矩陣是通過定性比較得到的比較粗糙的結果，對它的精確計算是沒有必要的。 尋找簡便的近似方法。,定理,對于正矩陣 A （A的所有元素為正）,1） A 的最大特征根為正單根 ；,2） 對應正特征向量 w（w的所有分量為正）；,3）,其中,是對應 的歸一化特征向量。,1 冪法 步驟如下,a) 任取 n 維歸一化初始向量,b) 計算,c) 歸一化,，即令,d) 對于預先給定的精度 ，當下式成立時,即為所求的特征向量；否則返回b；,e) 計算最大特征值,這是求特征根對應特征向量的迭代方法，其收 斂性由定理的3）保證。,2 和法 步驟如下,a) 將A的每一列向量歸一化得,b) 對,c) 歸一化,按行求和得,d) 計算,3 根法,步驟與和法基本相同，只是將步驟 b 改為對,按行求積并開n次方，即,三方法中，和法最為簡便。看下列例子。,e) 計算,，最大特征值的近似值。,,列向量歸一化,,求和,,歸一化,精確計算，得,