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2 線性變換的運(yùn)算,3 線性變換的矩陣,4 特征值與特征向量,1 線性變換的定義,6線性變換的值域與核,8 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介,9 最小多項(xiàng)式,7不變子空間,小結(jié)與習(xí)題,第七章 線性變換,5 對(duì)角矩陣,7.4 特征值與特征向量,一、特征值與特征向量,二、特征值與特征向量的求法,7.4 特征值與特征向量,三、特征子空間,四、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì),7.4 特征值與特征向量,從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng),的基，使V的某個(gè)線性變換在這組基下的矩陣就是,一個(gè)對(duì)角矩陣?,引入,有限維線性空間V中取定一組基后，V的任一線性,希望這個(gè)矩陣越簡(jiǎn)單越好，如對(duì)角矩陣.,變換都可以用矩陣來表示. 為了研究線性變換性質(zhì)，,7.4 特征值與特征向量,設(shè) 是數(shù)域P上線性空間V的一個(gè)線性變換，,則稱 為 的一個(gè)特征值，稱 為 的屬于特征值,一、特征值與特征向量,定義：,若對(duì)于P中的一個(gè)數(shù) 存在一個(gè)V的非零向量,使得,的特征向量.,7.4 特征值與特征向量,,① 幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持,由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，,注：,② 若 是 的屬于特征值 的特征向量，則,也是 的屬于 的特征向量.,但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即,若 且 ，則,7.4 特征值與特征向量,設(shè) 是V的一組基，,線性變換 在這組基下的矩陣為A.,下的坐標(biāo)記為,二、特征值與特征向量的求法,分析：,設(shè) 是 的特征值，它的一個(gè)特征向量 在基,則 在基 下的坐標(biāo)為,7.4 特征值與特征向量,而 的坐標(biāo)是,于是,又,從而,又,即 是線性方程組 的解，,∴ 有非零解.,所以它的系數(shù)行列式,7.4 特征值與特征向量,,以上分析說明：,若 是 的特征值，則,反之，若 滿足,則齊次線性方程組 有非零解.,若 是 一個(gè)非零解，,特征向量.,則向量 就是 的屬于 的一個(gè),7.4 特征值與特征向量,設(shè) 是一個(gè)文字，矩陣 稱為,稱為A的特征多項(xiàng)式.,1. 特征多項(xiàng)式的定義,A的特征矩陣，它的行列式,（ 是數(shù)域P上的一個(gè)n次多項(xiàng)式）,7.4 特征值與特征向量,② 矩陣A的特征多項(xiàng)式的根有時(shí)也稱為A的特征值,,注：,① 若矩陣A是線性變換 關(guān)于V的一組基的矩陣，,而 是 的一個(gè)特征值，則 是特征多項(xiàng)式,的根，即,的一個(gè)特征值.,反之，若 是A的特征多項(xiàng)式的根，則 就是,（所以，特征值也稱特征根.）,而相應(yīng)的線性方程組 的非零解也就,稱為A的屬于這個(gè)特征值的特征向量.,7.4 特征值與特征向量,,i) 在V中任取一組基 寫出 在這組基下,就是 的全部特征值.,ii) 求A的特征多項(xiàng)式 在P上的全部根它們,2. 求特征值與特征向量的一般步驟,的矩陣A .,iii) 把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組,的全部線性無關(guān)的特征向量在基 下的坐標(biāo).),并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值,7.4 特征值與特征向量,,則,就是屬于這個(gè)特征值 的全部線性無關(guān)的特征向量.,而,（其中， 不全為零）,就是 的屬于 的全部特征向量.,如果特征值 對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：,7.4 特征值與特征向量,對(duì) 皆有,所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.,例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下,的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是,故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且,7.4 特征值與特征向量,解：A的特征多項(xiàng)式,例2.設(shè)線性變換 在基 下的矩陣是,求 特征值與特征向量.,故 的特征值為： （二重）,7.4 特征值與特征向量,,把 代入齊次方程組 得,即,它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：,因此，屬于 的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,而屬于 的全部特征向量為,不全為零,7.4 特征值與特征向量,因此，屬于5的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為,,把 代入齊次方程組 得,解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：,而屬于5的全部特征向量為,7.4 特征值與特征向量,,三、特征子空間,定義：,再添上零向量所成的集合，即,設(shè) 為n維線性空間V的線性變換， 為,的一個(gè)特征值，令 為 的屬于 的全部特征向量,7.4 特征值與特征向量,注：,的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于 的,若 在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則,即特征子空間 的維數(shù)等于齊次線性方程組,(*),全部線性無關(guān)的特征向量就是 的一組基.,7.4 特征值與特征向量,四、特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì),1. 設(shè) 則A的特征多項(xiàng)式,由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系還可得,② A的全體特征值的積＝,稱之為A的跡,記作trA.,7.4 特征值與特征向量,證:設(shè) 則存在可逆矩陣X，使得,2. (定理6) 相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.,于是，,7.4 特征值與特征向量,注：,② 有相同特征多項(xiàng)式的矩陣未必相似.,成是矩陣A的特征值與特征向量.,它們的特征多項(xiàng)式都是 ，但A、B不相似.,多項(xiàng)式；而線性變換 的特征值與特征向量有時(shí)也說,因此,矩陣A的特征多項(xiàng)式也說成是線性變換 的特征,① 由定理6線性變換 的特征值與基的選擇無關(guān).,如,7.4 特征值與特征向量,設(shè) 為A的特征多項(xiàng)式, 則,證: 設(shè) 是 的伴隨矩陣，則,3. 哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理,都是λ的多項(xiàng)式，且其次數(shù)不超過n－1.,又 的元素是 的各個(gè)代數(shù)余子式，它們,因此， 可寫成,7.4 特征值與特征向量,其中， 都是 的數(shù)字矩陣.,再設(shè),比較①、②兩式，得,7.4 特征值與特征向量,③,以 依次右乘③的第一式、第二式、,…、第n式、第n＋1式，得,④,7.4 特征值與特征向量,把④的n＋1個(gè)式子加起來，即得,4. 設(shè) 為有限維線性空間V的線性變換， 是,的特征多項(xiàng)式，則,7.4 特征值與特征向量,例3. 設(shè) 求,解：A的特征多項(xiàng)式,用 去除 得,7.4 特征值與特征向量,7.4 特征值與特征向量,練習(xí)1：已知 為A的一個(gè)特征值，則,（1） 必有一個(gè)特征值為 ;,（2） 必有一個(gè)特征值為 ;,（3）A可逆時(shí)， 必有一個(gè)特征值為 ;,（4）A可逆時(shí)， 必有一個(gè)特征值為 .,（5） 則 必有一個(gè)特征值為 .,7.4 特征值與特征向量,行列式 ＝ .,練習(xí)2：已知3階方陣A的特征值為：1、－1、2，,則矩陣 的特征值為： ，,