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2019-2020年高中數(shù)學 2.1《參數(shù)方程的概念》教案 新人教版選修4-4 目標點擊： 1． 理解參數(shù)方程的概念，了解某些參數(shù)的幾何意義和物理意義； 2． 熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則； 3． 會選擇最常見的參數(shù)，建立最簡單的參數(shù)方程，能夠根據條件求出直線、圓錐曲線等常用曲線的一些參數(shù)方程并了解其參數(shù)的幾何意義； 4． 靈活運用常見曲線的參數(shù)方程解決有關的問題. 基礎知識點擊： 1、 曲線的參數(shù)方程 在取定的坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)， (1) 并且對于t的每一個允許值，由方程組(1)所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程組(1)叫做這條曲線的參數(shù)方程. 聯(lián)系x、y之間關系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù). 2、 求曲線的參數(shù)方程 求曲線參數(shù)方程一般程序： (1) 設點：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標； (2) 選參：選擇合適的參數(shù)； (3) 表示：依據題設、參數(shù)的幾何或物理意義，建立參數(shù)與x，y的關系 式，并由此分別解出用參數(shù)表示的x、y的表達式. (4) 結論：用參數(shù)方程的形式表示曲線的方程 3、 曲線的普通方程 相對與參數(shù)方程來說，把直接確定曲線C上任一點的坐標（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲線C的普通方程. 4、 參數(shù)方程的幾個基本問題 (1) 消去參數(shù)，把參數(shù)方程化為普通方程. (2) 由普通方程化為參數(shù)方程. (3) 利用參數(shù)求點的軌跡方程. (4) 常見曲線的參數(shù)方程. 5、 幾種常見曲線的參數(shù)方程 (1) 直線的參數(shù)方程 (ⅰ)過點P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）t的幾何意義：t表示有向線段的數(shù)量，P() 為直線上任意一點. (ⅱ)過點P0()，斜率為的直線的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)） （2）圓的參數(shù)方程 (ⅰ)圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))的幾何意義為“圓心角” (ⅱ)圓的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“圓心角” （3）橢圓的參數(shù)方程 (ⅰ)橢圓 () 的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） (ⅱ)橢圓 ()的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“離心角” (4)雙曲線的參數(shù)方程 (ⅰ)雙曲線 的參數(shù)方程為 （為參數(shù)） (ⅱ)雙曲線的參數(shù)方程是 （為參數(shù)）的幾何意義為“離心角” （5） 拋物線的參數(shù)方程 (p>0) 的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)） 其中t的幾何意義是拋物線上的點與原點連線的斜 率的倒數(shù)（頂點除外）. 考點簡析：參數(shù)方程屬每年高考的必考內容，主要考查基礎知識、基本技能，從兩個方面考查（1）參數(shù)方程與普通方程的互化與等價性判定；（2）參數(shù)方程所表示的曲線的性質. 題型一般為選擇題、填空題. 一、 參數(shù)方程的概念 一）目標點擊： 1、 理解參數(shù)方程的概念，能識別參數(shù)方程給出的曲線或曲線上點的坐標； 2、 熟悉參數(shù)方程與普通方程之間的聯(lián)系和區(qū)別，掌握他們的互化法則； 3、 能掌握消去參數(shù)的一些常用技巧：代人消參法、三角消參等； 4、 能了解參數(shù)方程中參數(shù)的意義，運用參數(shù)思想解決有關問題； 二）概念理解： 1、例題回放： 問題1：（請你翻開黃崗習題冊P122,閱讀例題） 已知圓C的方程為，過點P1(1,0) 作圓C的任意弦， 交圓C于另一點P2,求P1P2的中點M的軌跡方程. 書中列舉了六種解法，其中解法六運用了什么方法求得M點的軌跡方程？此種方法是如何設置參數(shù)的，其幾何意義是什么？ 設M() ，由 ，消去k,得，因M與 P1不重合，所以M點的軌跡方程為（） 解法六的關鍵是沒有直接尋求中點M的軌跡方程,而是通過引入第三個變量k（直線的斜率），間接地求出了x與y的關系式，從而求得M點的軌跡方程.實際上方程（1）和（）（2）都表示同一個曲線，都是M點的軌跡方程.這兩個方程是曲線方程的兩種形式. 方程組（1）是曲線的參數(shù)方程，變數(shù)k是參數(shù)，方程（2）是曲線的普通方程. 由此可以看出參數(shù)方程和普通方程是同一曲線的兩種不同的表達形式.我們對參數(shù)方程并不陌生，在求軌跡方程的過程中，我們通過設參變量k,先求得曲線的參數(shù)方程再化為普通方程，進而求得軌跡方程.參數(shù)法是求軌跡方程的一種比較簡捷、有效的方法. 問題2：幾何課本3.1曲線的參數(shù)方程一節(jié)中，從研究炮彈發(fā)射后的運動規(guī)律， 得出彈道曲線的方程.在這個過程中，選擇什么量為參數(shù)，其物理意 義是什么？參數(shù)的取值范圍？ 通過研究炮彈發(fā)射后彈道曲線的方程說明： 1） 形如的方程組，描述了運動軌道上的每一個位置() 和時間t的對應關系. 2） 我們利用“分解與合成”的方法研究和認識了形如的方程組表示質點的運動規(guī)律. 3)參數(shù)t的取值范圍是由t的物理意義限制的. 2、曲線的參數(shù)方程與曲線C的關系 在選定的直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程 t （*）與曲線C滿足以下條件： （1） 對于集合D中的每個t0，通過方程組（*）所確定的點（） 都在曲線C上； （2） 對于曲線C上任意點（），都至少存在一個t0，滿足 則 曲線C 參數(shù)方程 t 3、曲線的普通方程與曲線的參數(shù)方程的區(qū)別與聯(lián)系 曲線的普通方程＝0是相對參數(shù)方程而言，它反映了坐標變量與y之間的直接聯(lián)系；而參數(shù)方程 t是通過參數(shù)t反映坐標變量與y之間的間接聯(lián)系.曲線的普通方程中有兩個變數(shù)，變數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多1；曲線的參數(shù)方程中，有三個變數(shù)兩個方程，變數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多1個.從這個意義上講，曲線的普通方程和參數(shù)方程是“一致”的. 消去參數(shù) 恰當選擇參數(shù) 參數(shù)方程 普通方程 ； 普通方程 參數(shù)方程 這時普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達形式. 問題3：方程（）；方程（）是參數(shù)方程嗎？ 參數(shù)方程與含參數(shù)的方程一樣嗎？ 方程（）表示圓心在原點的圓系，方程（）表示共漸近線的雙曲線系。 曲線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)，t）是表示一條確定的曲線； 含參數(shù)的方程＝0卻表示具有某一共同屬性的曲線系，兩者是有原則區(qū)別的. 三）基礎知識點撥： 例1：已知參數(shù)方程 [0,2)判斷點A(1,)和B(2,1)是否在方 程的曲線上. 解：把A、B兩點坐標分別代入方程得 (1)，(2)，在[0,2)內，方程組(1)的解是，而方程組(2)無解，故A點在方程的曲線上，而B點不在方程的曲線上. 1、參數(shù)方程化普通方程 例2：化參數(shù)方程（t≥0,t為參數(shù)）為普通方程，說明方程的曲線是什么圖形. 解: 由(2)解出t，得t=y－1，代入(1)中，得 (y≥1)即 (y≥1)方程的曲線是頂點為(0,1),對稱軸平行于x軸，開口向左的拋物線的一部分. 點撥：先由一個方程解出t，再代入另一個方程消去參數(shù)t,得到普通方程，這種方法是代入消參法. 例3：當tR時，參數(shù)方程（t為參數(shù)），表示的圖形是（ ） A 雙曲線 B 橢圓 C 拋物線 D 圓 解法1：原方程可化為(1)(2)得：代入(2) 得(y≠-1) 答案選B 解法2：令tg= Z) 則 消去，得(y≠-1) 點撥：解法1使用了代數(shù)消元法，解法2觀察方程（1）、（2）的“外形”很像 三角函數(shù)中的萬能公式，使用了三角消參法. 當x和y是t的有理整函數(shù)時，多用代入或加減消元法消去參數(shù)； 當x和y是t的有理分式函數(shù)時，也可以用代入消參法，但往往需要做 些技巧性的處理.至于三角消參法，只在比較巧合的情況下使用. 例4：將下列方程化為普通方程： (1) （為參數(shù)） (2) （t為參數(shù)） 解:(1)做＝(cos2+sin2+sin)－(1+sin)＝0 ＝0，但由于，即0≤≤. ∴參數(shù)方程只表示拋物線的一部分，即（0≤≤） (2)解方程組得(1) (2) (1)(2)得＝1 從知≥1（提示應用均值定理） 所求的普通方程為＝1 (≥1) 點撥：(1)從方程組的結構看含絕對值，三角函數(shù)，通過平方去絕對值，利用三 角消參法化為普通方程； (2)觀察方程組的結構，先利用消元法，求出，,再消t. 方法總結：將參數(shù)方程化普通方程方法：（基本思想是消參） (1)代入消參法； (2)代數(shù)變換法（＋，－，，，乘方） (3)三角消參法 注意：參數(shù)取值范圍對取值范圍的限制.(參數(shù)方程與普通方程的等價性） 2、普通方程化參數(shù)方程 例5：設，為參數(shù)，化方程為參數(shù)方程。 解：消y得 ∴ 由于R，所以和所確定的取值范圍是一致的，故主要任選其一構成參數(shù)方程即可. 所求的參數(shù)方程為R 例6：以過點A(0,4)的直線的斜率k為參數(shù)，將方程4＝16化成參數(shù)的 方程是 . 解：設M()是橢圓4＝16上異于A的任意一點，則， (≠0）以代入橢圓方程，得=0, ∴ 另有點 ∴所求橢圓的參數(shù)方程為 或 方法總結：將普通方程化參數(shù)方程方法： 消去x 已知 四）基礎知識測試： 1、曲線（t為參數(shù)）與軸交點的坐標是（ ） A （1，4） B （，0） C （1，－3） D （，0） 2、在曲線（t為參數(shù)）上的點是（ ） A （0，2） B （－1，6） C （1，3） D （3，4） 3、參數(shù)方程（為參數(shù)）所表示的曲線是（ ） A 直線 B 拋物線 C 橢圓 D 雙曲線 4、與參數(shù)方程（t為參數(shù), tR）表示同一曲線的方程是（ ） A （t為參數(shù), tR） B （t為參數(shù), tR） C （為參數(shù), R） D （t為參數(shù), tR） 5、曲線 （0<<1）的參數(shù)方程是（ ） A （為參數(shù), ,kZ） B （t為參數(shù), t≠0） C （為參數(shù), 為銳角） D （為參數(shù), , kZ） 6、 根據所給條件，把下列方程化為參數(shù)方程： (1) ,設，是參數(shù)，為正常數(shù)； (2) , , t為參數(shù)； (3) ，是參數(shù). 7、已知動圓方程（為參數(shù)） 那么圓心軌跡是（ ） A 橢圓 B 橢圓的一部分 C 拋物線 D 拋物線的一部分 8、（提高）已知曲線系C的方程16x2+4y2-32xcos-16ysin2-4sin22=0（ 為任意值）求曲線系中各條曲線中心的軌跡. 五）同步練習： 1、解析幾何習題冊：P46,一 參數(shù)方程 2、黃岡習題冊：P156、演練平臺；P157演練平臺. 來源：