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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 正態(tài)分布教案 新人教A版選修2-3 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：掌握正態(tài)分布在實(shí)際生活中的意義和作用 。 過程與方法：結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理理。 情感、態(tài)度與價值觀：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì) 。 教學(xué)重點(diǎn)：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線N(0，1) 。 教學(xué)難點(diǎn)：通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)。 教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀 。 教學(xué)設(shè)想：在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口，正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布。 內(nèi)容分析： 1．在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布 2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成： ， （σ＞0） 由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為 3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的 4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征 5．由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點(diǎn)研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化 6．結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì) 教學(xué)過程： 學(xué)生探究過程： 復(fù)習(xí)引入： 總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線． 它反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積． 觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數(shù)的圖象來表示或近似表示： 式中的實(shí)數(shù)、是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱正態(tài)曲線． 講解新課： 一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X滿足 , 則稱 X 的分布為正態(tài)分布（normal distribution ) ．正態(tài)分布完全由參數(shù)和確定，因此正態(tài)分布常記作．如果隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布，則記為X～. 經(jīng)驗(yàn)表明，一個隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．例如，高爾頓板試驗(yàn)中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發(fā)生碰撞，每次碰撞的結(jié)果使得小球隨機(jī)地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標(biāo) X 是眾多隨機(jī)碰撞的結(jié)果，所以它近似服從正態(tài)分布．在現(xiàn)實(shí)生活中，很多隨機(jī)變量都服從或近似地服從正態(tài)分布．例如長度測量誤差；某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量等；正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等）；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態(tài)分布．因此，正態(tài)分布廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實(shí)際之中．正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位． 說明:1參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本均值去佑計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)． 2.早在 1733 年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正態(tài)分布．之后，德國數(shù)學(xué)家高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它，并研究了它的性質(zhì)，因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布． 2．正態(tài)分布）是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的分布 通過固定其中一個值，討論均值與標(biāo)準(zhǔn)差對于正態(tài)曲線的影響 3．通過對三組正態(tài)曲線分析，得出正態(tài)曲線具有的基本特征是兩頭底、中間高、左右對稱正態(tài)曲線的作圖，書中沒有做要求，教師也不必補(bǔ)上講課時教師可以應(yīng)用幾何畫板，形象、美觀地畫出三條正態(tài)曲線的圖形，結(jié)合前面均值與標(biāo)準(zhǔn)差對圖形的影響，引導(dǎo)學(xué)生觀察總結(jié)正態(tài)曲線的性質(zhì) 4．正態(tài)曲線的性質(zhì)： （1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交 （2）曲線關(guān)于直線x=μ對稱 （3）當(dāng)x=μ時，曲線位于最高點(diǎn) （4）當(dāng)x＜μ時，曲線上升（增函數(shù)）；當(dāng)x＞μ時，曲線下降（減函數(shù)）并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近 （5）μ一定時，曲線的形狀由σ確定 σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散； σ越小．曲線越“瘦高”．總體分布越集中： 五條性質(zhì)中前三條學(xué)生較易掌握，后兩條較難理解，因此在講授時應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對比教學(xué) 5．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是，（-∞＜x＜+∞） 其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1）在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題 講解范例： 例1．給出下列三個正態(tài)總體的函數(shù)表達(dá)式，請找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ （１） （２） （３） 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5 例2求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在（-1，2）內(nèi)取值的概率． 解：利用等式有 ==0.9772＋0.8413－1=0.8151． 1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問題: 對于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N（0，1），是總體取值小于的概率， 即 ， 其中，圖中陰影部分的面積表示為概率只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)時，；而當(dāng)時，Φ（0）=0.5 2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在正態(tài)總體的研究中有非常重要的地位，為此專門制作了“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”．在這個表中，對應(yīng)于的值是指總體取值小于的概率，即 ，． 若，則． 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，即直線，與正態(tài)曲線、x軸所圍成的曲邊梯形的面積． 3．非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某區(qū)間內(nèi)取值的概率:可以通過轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，然后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可在這里重點(diǎn)掌握如何轉(zhuǎn)化首先要掌握正態(tài)總體的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，然后進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化 4.小概率事件的含義 發(fā)生概率一般不超過5％的事件，即事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生 假設(shè)檢驗(yàn)方法的基本思想:首先，假設(shè)總體應(yīng)是或近似為正態(tài)總體，然后，依照小概率事件幾乎不可能在一次試驗(yàn)中發(fā)生的原理對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析 假設(shè)檢驗(yàn)方法的操作程序，即“三步曲” 一是提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)，教科書中的統(tǒng)計(jì)假設(shè)總體是正態(tài)總體； 二是確定一次試驗(yàn)中的a值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判斷 講解范例： 例1. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.322). 解：(1)P(-2.322)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228. 例2．利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概率： (1)在N(1,4)下，求 （2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）； Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 對于正態(tài)總體取值的概率： 在區(qū)間（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別為68.3%、95.4%、99.7%因此我們時常只在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)研究正態(tài)總體分布情況，而忽略其中很小的一部分 例3．某正態(tài)總體函數(shù)的概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體落入?yún)^(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率 解：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是，它是偶函數(shù)，說明μ＝0，的最大值為＝，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 鞏固練習(xí)：書本第74頁 1,2,3 課后作業(yè)： 書本第75頁 習(xí)題2. 4 A組 1 , 2 B組1 , 2 教學(xué)反思： 1．在實(shí)際遇到的許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布在上一節(jié)課我們研究了當(dāng)樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學(xué)地反映了總體分布但總體密度曲線的相關(guān)知識較為抽象，學(xué)生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態(tài)分布作為研究的突破口正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是最基本、最重要的一種分布 2．正態(tài)分布是可以用函數(shù)形式來表述的其密度函數(shù)可寫成： ， （σ＞0） 由此可見，正態(tài)分布是由它的平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的常把它記為 3．從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值從x=μ點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負(fù)兩個方向都是以x軸為漸近線的 4．通過三組正態(tài)分布的曲線，可知正態(tài)曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的基本特征。由于正態(tài)分布是由其平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ唯一決定的，因此從某種意義上說，正態(tài)分布就有好多好多，這給我們深入研究帶來一定的困難但我們也發(fā)現(xiàn)，許多正態(tài)分布中，重點(diǎn)研究N（0，1），其他的正態(tài)分布都可以通過轉(zhuǎn)化為N（0，1），我們把N（0，1）稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)為，x∈（-∞，+∞），從而使正態(tài)分布的研究得以簡化。結(jié)合正態(tài)曲線的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時可以借助幾何畫板作圖，學(xué)生只要了解大致的情形就行了，關(guān)鍵是能通過正態(tài)曲線，引導(dǎo)學(xué)生歸納其性質(zhì)。