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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 湘教版選修1-1 一、教材分析 (一)教材所處的地位、內(nèi)容和作用。 本節(jié)內(nèi)容是橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，是在學(xué)習(xí)了曲線與方程、求曲線的方程以及曲線的交點(diǎn)之后展開(kāi)的，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)和雙曲線、拋物線的定義和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個(gè)鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。 （二）教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)目標(biāo)：A識(shí)記：① 記住橢圓的定義；② 區(qū)分橢圓的兩種類型的標(biāo)準(zhǔn)方程及其對(duì)應(yīng)的圖形；③能根據(jù)a、b、c的值寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 B理解：①理解橢圓的焦點(diǎn)、焦距的意義；②會(huì)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；③能掌握a、b、c之間的關(guān)系，會(huì)由其中的兩個(gè)求出第三個(gè)。C掌握：學(xué)會(huì)運(yùn)用定義法、待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合等方法解題。 2、能力目標(biāo)：① 培養(yǎng)學(xué)生建立適當(dāng)坐標(biāo)系的解析法解題能力。② 鞏固與發(fā)展學(xué)生的定義法解題、待定系數(shù)法解題和數(shù)形結(jié)合的解題能力。 3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神和滲透辯證唯物主義的方法論和認(rèn)識(shí)論。 （三）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、教學(xué)重點(diǎn)： ①．橢圓的定義； ②．橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式與圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 2、教學(xué)難點(diǎn)：① 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)；② 應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)方程的形式與圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系解題。 二、學(xué)生情況分析 在學(xué)習(xí)橢圓之前，學(xué)生對(duì)曲線與方程有了一定的了解；基本能運(yùn)用求曲線方程的一般方法求曲線的方程。橢圓是常見(jiàn)的圖形，學(xué)生對(duì)橢圓已有一定的感性認(rèn)識(shí)，例如：行星的運(yùn)動(dòng)軌跡等等。 三、教學(xué)過(guò)程 （一）復(fù)習(xí) 同學(xué)們，前一段時(shí)間我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)了求曲線的軌跡方程的兩種方法，提問(wèn)：方法一是基本法，其求動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般步驟是什么？；方法二是待定系數(shù)法，其解題步驟又是什么？ （說(shuō)明：通過(guò)回憶性質(zhì)的提問(wèn)，明示這節(jié)課所要學(xué)的內(nèi)容與原來(lái)所學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并為后面橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及用待定系數(shù)法求橢圓方程作好準(zhǔn)備。） （二）引入 我們?cè)?jīng)運(yùn)用方法一成功地推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，今天我們又要運(yùn)用這種方法繼續(xù)研究一種特殊曲線的方程?，F(xiàn)在先看一個(gè)實(shí)例問(wèn)題（演示行星運(yùn)行的軌道），請(qǐng)同學(xué)們注意觀察地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的軌跡形狀象什么？ （進(jìn)一步使學(xué)生明確學(xué)習(xí)橢圓的重要性和必要性，借助地理模型的直觀性，使學(xué)生印象加深，以便更好地掌握橢圓的形狀。） （三）新授： 1、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橢圓的定義： 根據(jù)地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的事例思考：提問(wèn)：點(diǎn)滿足什么條件運(yùn)動(dòng)時(shí)形成的軌跡是橢圓呢？讓學(xué)生進(jìn)行分組討論。(平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)分別是F1和F2，且該兩點(diǎn)之間的距離是2c，點(diǎn)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，M到兩點(diǎn)F1和F2的距離之和是2a，顯然2a>2c) 提問(wèn)：滿足上述條件的點(diǎn)M是否只有一個(gè)點(diǎn)呢？根據(jù)學(xué)生的回答畫點(diǎn)，然后連線，看來(lái)并不是只有一個(gè)點(diǎn)滿足條件，而是有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)都滿足條件。如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)就可以得到滿足條件的所有的點(diǎn)。讓我們來(lái)看一看最終可以得到什么圖形?(是一個(gè)橢圓) 提問(wèn)：有什么辦法可以更好的畫橢圓的圖象呢？讓學(xué)生在討論后嘗試動(dòng)筆畫一個(gè)橢圓。教師在黑板上根據(jù)定義畫一個(gè)橢圓。 2、師生共同歸納概括橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距（一般用2c表示）。 3、橢圓的定義的再認(rèn)識(shí)： 提問(wèn)：在橢圓的定義中為什么要滿足2a>2c？去掉這個(gè)條件可不可以呢？先讓學(xué)生思考，討論。 正面直接解決這個(gè)問(wèn)題，顯然比較難，這時(shí)我們常采用“正難則反”的思考策略。而其反面是：（1）當(dāng)2a=2c時(shí)，到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？（2）當(dāng)2a<2c時(shí)，到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是什么？讓學(xué)生自己畫圖歸納，然后自己給學(xué)生總結(jié)。由此可知：1、命題“到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓”是錯(cuò)誤的。正確的是應(yīng)分三種情況：（1）當(dāng)2a>2c時(shí)，到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓：（2）當(dāng)2a=2c時(shí)，到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一條線段；（3）當(dāng)2a<2c時(shí)，到兩定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡不存在。這恰是同學(xué)們今后運(yùn)用定義解題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意的。2、不論M如何移動(dòng)，三角形MF1F2的周長(zhǎng)恒為定值，等于2a+2c. 4、學(xué)生推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的過(guò)程： 提問(wèn)：如何求軌跡的方程？（引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程）推導(dǎo)中注意： （1）、推導(dǎo)方程的方法--------求曲線方程的一般方法（用對(duì)稱法建立坐標(biāo)系） （2）、推導(dǎo)方程的難點(diǎn)--------方程的化簡(jiǎn) （要抓住“怎樣消去方程中的根式”這一關(guān)鍵問(wèn)題，演算雖較繁，也能迎刃而解） （3）推導(dǎo)方程的做法---------以學(xué)生分組探索為主、老師點(diǎn)撥為輔完成 （4）如果焦點(diǎn)在 軸上，則焦點(diǎn)為F1（0， ）、F2（0,c），這時(shí)只要將方程中 ， 互換就可得到它的方程。 板書：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程。 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （ ） （ ） 5、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的再認(rèn)識(shí)： （1）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式：左邊是兩個(gè)分式的平方和，右邊是1。 （2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足a2=b2+c2。 （3）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出三個(gè)參數(shù)a、b、c的值。（見(jiàn)練習(xí)1） （4）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，焦點(diǎn)的位置由分母的大小來(lái)確定。 （5）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是由三個(gè)參數(shù)a、b、c及焦點(diǎn)位置唯一確定，即只要知道三個(gè)參數(shù)a、b、c的值，就可以寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。因此我們需要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，應(yīng)該運(yùn)用待定系數(shù)法（其步驟是：先設(shè)方程、再求參數(shù)、最后寫出方程），其關(guān)鍵是求a、b的值。 6、例題精析 （讓學(xué)生自己動(dòng)手） 例1、（1）求出滿足a=4,b=1，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 （2）求出滿足a=4,c= ，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 例2、平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡方程 例3、已知 DABC的周長(zhǎng)為36，求DABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程。 7、例題點(diǎn)評(píng)： 例1補(bǔ)充說(shuō)明： 注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式書寫，大家應(yīng)熟練掌握兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。 例2補(bǔ)充說(shuō)明： 1、我們是把焦點(diǎn)建立在x軸上從而解決了問(wèn)題，問(wèn)可不可以把焦點(diǎn)建立在y軸上呢？ 2、把焦點(diǎn)建立在x軸上或y軸上，這是問(wèn)題的兩種不同的解法，而不是兩種情況，我們?cè)诮忸}時(shí)只需選擇其中之一即可。 3、理解橢圓的定義，熟練地掌握橢圓方程的推導(dǎo)方法（尤其是建立坐標(biāo)系的方法）是解決本題的關(guān)鍵。 例3補(bǔ)充說(shuō)明： 1、充分利用橢圓的定義使本題的解法巧妙，計(jì)算簡(jiǎn)單。否則若設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)再求軌跡方程時(shí)，則方法會(huì)比較復(fù)雜。 2、注意三個(gè)參數(shù)a、b、c應(yīng)滿足關(guān)系式：a2=b2+c2 3、注意曲線方程的完備性。 （四）課堂練習(xí) 1、形成性練習(xí) （1） 指出下列橢圓中a、b、c的值，并說(shuō)出焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸 ① ② （2）若方程 表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則 的取值范圍是 _________________。 2、鞏固性練習(xí) （1）已知橢圓 上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是（ ） A、2 B、3 C、5 D、7 （2） 橢圓 的焦距為2，則m的值為（ ） A 5 B 3 C 3或5 D.6 （3）已知DABC的周長(zhǎng)為36，AB邊長(zhǎng)為10，求DABC頂點(diǎn)C的軌跡方程。 3、發(fā)展性練習(xí) 已知P是橢圓 上一點(diǎn)，其中F1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，且F1PF2=600，求三角形F1PF2的面積。 （五）小結(jié)：（先由學(xué)生歸納，教師根據(jù)情況補(bǔ)充。） 本節(jié)課學(xué)習(xí)了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,應(yīng)注意以下幾點(diǎn): ①橢圓的定義中, ②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,焦點(diǎn)的位置看 , 的分母大小來(lái)確定 ③ 、 、 的幾何意義 （六）、作業(yè)布置