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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的單調(diào)性》教案新人教版必修1 【教學(xué)目標】 1．使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法． 2．通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數(shù)單調(diào)性的證明，提高學(xué)生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學(xué)重點】函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明． 【教學(xué)難點】歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 【教學(xué)方法】教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習． 【教學(xué)手段】計算機、投影儀． 【教學(xué)過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題 課前布置任務(wù)： (1) 由于某種原因，xx年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事. 下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖. 　　　　　　　 引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預(yù)案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？ 預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數(shù)觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小． 〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義. 1．借助圖象，直觀感知 問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？ 　　　　　　 預(yù)案：(1)函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大；函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減?。? (2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。? (3)函數(shù)在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減?。? 引導(dǎo)學(xué)生進行分類描述 (增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)． 問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)? 預(yù)案：如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認識． 〖設(shè)計意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？ 　　　　　　　　　　　　　 學(xué)生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)？ 預(yù)案： (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因為12<22,所以在為增函數(shù)． (2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在為增函數(shù)． (3) 任取,因為,即，所以在為增函數(shù)． 對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學(xué)生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量． 〖設(shè)計意圖〗把對單調(diào)性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊. 3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義． (1)板書定義 (2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數(shù)． ③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)． ④因為函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù). 通過判斷題，強調(diào)三點： ①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性． ②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))． ③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)． 思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)? 〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認識. 三、掌握證法，適當延展 例 證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 1．分析解決問題 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流． 證明：任取, 　　　　　　　設(shè)元 　　　　　　　　　　　求差 　　　　　　　　　　變形　　 , 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　斷號 ∴ ∴即 ∴函數(shù)在上是增函數(shù)．　　　　　定論 2．歸納解題步驟 引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎? 引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性．讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)． 〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆． 四、歸納小結(jié)，提高認識 學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習中的體會、收獲，交流學(xué)習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結(jié)． 1．小結(jié) (1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論． (3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究： (1) 證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的充要條件是對任意的，且有． (2) 研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點法畫出函數(shù)的草圖． 《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)設(shè)計說明 一、教學(xué)內(nèi)容的分析 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生在了解函數(shù)概念后學(xué)習的函數(shù)的第一個性質(zhì)，是函數(shù)學(xué)習中第一個用數(shù)學(xué)符號語言刻畫的概念，為進一步學(xué)習函數(shù)其它性質(zhì)提供了方法依據(jù)． 對于函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數(shù)的翻譯，從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生是比較困難的；（2）單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)內(nèi)容中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容，而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點． 二、教學(xué)目標的確定 根據(jù)本課教材的特點、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學(xué)目標，重視單調(diào)性概念的形成過程和對概念本質(zhì)的認識；強調(diào)判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法的落實以及數(shù)形結(jié)合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成． 三、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇 本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習的教學(xué)方法，通過創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學(xué)，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學(xué)生提供直觀感性的材料，有助于學(xué)生對問題的理解和認識． 四、教學(xué)過程的設(shè)計 為達到本節(jié)課的教學(xué)目標，突出重點，突破難點，教學(xué)上采取了以下的措施： （1）在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調(diào)性定義的三次認識,使得學(xué)生對概念的認識不斷深入． （2）在應(yīng)用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學(xué)生掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟． （3）考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當?shù)难诱?，加深對定義的理解，同時也為用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性埋下伏筆．