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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.2.1《雙曲線的定義和標準方程》教案 湘教版選修1-1 教學(xué)背景分析 本小節(jié)是雙曲線的定義和標準方程，通過對橢圓的定義的類比聯(lián)想，很容易想到研究到兩個定點的距離之差為定值的點的軌跡問題.要充分注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，正確理解概念，注重思維的嚴密性.雙曲線定義的理解以及標準方程的形式，三個量的關(guān)系都可以與橢圓進行類比學(xué)習(xí)，從而理解兩種曲線的聯(lián)系與區(qū)別. 雙曲線的標準方程的推導(dǎo)可以在橢圓的標準方程的推導(dǎo)經(jīng)驗中類比完成.突破難點的關(guān)鍵是初步研究雙曲線的對稱性，建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，注重方程化簡過程中的合理變形.對于“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的證明，有條件的還是需要的，使方程的推導(dǎo)更完備. 教學(xué)過程設(shè)計 一、復(fù)習(xí)回顧 思考并回答下列問題 1、橢圓的定義是什么？ 2、橢圓定義中有哪些注意點？ 3、橢圓的標準方程是怎樣的？ 二、講授新課 1、概念引入 問題引入：如果把橢圓定義中的和改成差: 或,即: ，其中動點的軌跡會發(fā)生什么變化呢？ ①若，則軌跡是線段的延長線；若，則軌跡是線段的延長線； ②若，則無軌跡； ③在條件下軌跡是存在的，我們把這時得到的軌跡叫做雙曲線. [說明]通過對橢圓定義的類比，啟發(fā)學(xué)生思考并發(fā)現(xiàn)與的大小關(guān)系與動點的軌跡的變化規(guī)律.此時可設(shè)計探究實驗：學(xué)生用筆、細繩等工具試驗畫出滿足條件的軌跡圖形（可以讓學(xué)生在上課前做一些實驗的設(shè)計準備），教師利用多媒體演示（并加以說明）.通過學(xué)生的動手操作，增加學(xué)生的感性認識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的參與度. 2、概念形成 n 雙曲線定義 定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩個焦點間的距離叫做焦距. n 雙曲線定義中的注意點 在概念的理解中要注意： （1）是平面內(nèi)到兩定點的距離之差的絕對值是一個非零正常數(shù)，且這個常數(shù)小于 . （2）當時，動點的軌跡是與對應(yīng)的雙曲線的一支， 時為雙曲線的另一支. 3、雙曲線的標準方程的推導(dǎo) 可以仿照求橢圓的標準方程的做法，求雙曲線的標準方程． 如圖8-12建系，設(shè)，取過點的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立直角坐標系，則，設(shè)是所求軌跡上的點. 依已知條件有，，，， 移項得：， 平方得： （*） 再平方得：， 即，令 則，即 反之：設(shè)是上的點，則， =，， ∴當時， ，，有； 當時，，，有 綜上：焦點在軸上雙曲線的標準方程是①，其中，焦點. 同樣如果雙曲線的焦點在y軸上(圖8－13)，那么，此時的雙曲線的標準方程又是怎樣的呢？ 焦點是F1(0，－c)、F2(0，c)時，a、b的意義同上，那么只要將方程①的x、y互換，就可以得到焦點在軸上雙曲線的標準方程是，其中，焦點. 思考：將方程推導(dǎo)過程中的方程（*）做變形可得，即，且，那么其中又蘊涵著怎樣的幾何意義呢？ 思考其幾何意義可知，雙曲線上的點滿足到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)，這是雙曲線的一個幾何性質(zhì).反之，如果一個點滿足，且，即點P到定點的距離與到定直線的距離之比是一個大于1的常數(shù)，則點P的軌跡是雙曲線嗎？這個問題留給課后思考. 教學(xué)反思 1、用類比聯(lián)想的方法從橢圓的定義中提出新的問題，到兩個定點的距離之差為正常數(shù)的點的軌跡是什么？再通過探究解答問題，并提出雙曲線的定義，這樣可以使學(xué)生正確理解雙曲線的概念，并能在學(xué)習(xí)中主動加強知識間的聯(lián)系.特別注意雙曲線定義中“”，“絕對值”的詞匯的定性描述，當沒有絕對值時，通常表示為雙曲線的一支.在問題的探究過程中，可以設(shè)計學(xué)生的動手實驗，增加學(xué)生的感性認識，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的興趣和主動參與的精神. 2、由于前一節(jié)學(xué)生接觸了橢圓的標準方程的推導(dǎo)，對建、設(shè)、列、化、證等步驟有所熟悉，則雙曲線的標準方程的推導(dǎo)過程可以在教師的引導(dǎo)下由學(xué)生嘗試完成.特別是證明“以方程的解為坐標的點都在雙曲線上”的過程可以由師生共同完成，以培養(yǎng)思維、論證的嚴密性. 3、本解課可以安排兩節(jié)課時，第一節(jié)主要是理解雙曲線的定義和正確推導(dǎo)雙曲線的標準方程.可以完成例1、例3，課后作業(yè)完成1.第二節(jié)課主要是學(xué)習(xí)根據(jù)已知條件確定雙曲線的標準方程，以及利用雙曲線的方程解決簡單幾何問題.完成例2、例4和鞏固練習(xí).課后作業(yè)完成2. 4、運用對比教學(xué)的方法，使學(xué)生區(qū)分橢圓與雙曲線的概念、標準方程、圖形、三個量的異同.