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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 回歸分析的初步應(yīng)用教案 新人教A版必修2 　　一、教學(xué)目標(biāo) 　　a) 知識(shí)與技能 ＊能根據(jù)散點(diǎn)分布特點(diǎn)，建立不同的回歸模型。 ＊知道有些非線性模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。 ＊通過(guò)散點(diǎn)圖及相關(guān)指數(shù)比較體驗(yàn)不同模型的擬合效果。 　　b) 過(guò)程與方法 ＊通過(guò)將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想。 ＊讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過(guò)程，培養(yǎng)他們對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用。 ＊通過(guò)使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器求相關(guān)指數(shù)，使學(xué)生體會(huì)使用計(jì)算器處理數(shù)據(jù)的方法。 　　c) 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 ＊從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不足，激發(fā)好奇心、求知欲。 ＊通過(guò)尋求有效的數(shù)據(jù)處理方法，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力。 ＊通過(guò)案例的分析，使學(xué)生了解回歸分析在生活實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)“取之生活，用于生活”的意識(shí)，提高學(xué)習(xí)興趣。 　　二．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ＊重點(diǎn)：通過(guò)探究使學(xué)生體會(huì)有些非線性模型運(yùn)用等量變換、對(duì)數(shù)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型。 ＊難點(diǎn)：如何啟發(fā)學(xué)生“對(duì)變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q（等量變換、對(duì)數(shù)變換）”，變非線性為線性，建立線性回歸模型。 　　三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 項(xiàng) 目 內(nèi) 容 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 教 學(xué) 過(guò) 程 分 析 一、 創(chuàng) 設(shè) 情 境 1、你能回憶一下建立回歸模型的基本步驟嗎？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶建立回歸模型的基本步驟（選變量、畫散點(diǎn)圖、選模型、估計(jì)參數(shù)、分析和預(yù)測(cè)）。 生：回憶、敘述建立回歸模型的基本步驟。 復(fù)習(xí)建立線性回歸模型的基本步驟，為建議非線性模型做準(zhǔn)備。 2、背景介紹： 紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫度為 25一32C，相對(duì)濕度為80％一100％，低于 20C和高于35C卵不能孵化，相對(duì)濕度60％ 以下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低于一4．8 ℃時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死。 師：通過(guò)“紅鈴蟲”的背景介紹，指出其發(fā)生受溫度的影響，為采取有效防治方法，有必要研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系，揭示課題。 生：閱讀材料，了解紅鈴蟲，以及其產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)系。 通過(guò)背景材料，加深學(xué)生對(duì)問題的理解，并明白“為什么要學(xué)”。體會(huì)問題產(chǎn)生于生活。同時(shí)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)習(xí)的積極性。 二、 探 索 新 知 二、 探 索 新 知 1、例2.現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于下表： 溫度xoC 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè) 7 11 21 24 66 115 325 (1)試建立y與x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。 (2)你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 探究： 方案1（學(xué)生實(shí)施）： （1）選擇變量，畫散點(diǎn)圖。 （2）通過(guò)計(jì)算器求得線性回歸方程:=19.87x-463.73 （3）進(jìn)行回歸分析和預(yù)測(cè)： R2=r2≈0.8642=0.7464 預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為92個(gè)。這個(gè)線性回歸模型中溫度解釋了74.64%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 困惑：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28 時(shí)，估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)應(yīng)該低于66個(gè)，但是從推算的結(jié)果來(lái)看92個(gè)比66個(gè)卻多了26個(gè)，是什么原因造成的呢？ 方案2： （1）找到變量t=x 2，將y=bx2+a轉(zhuǎn)化成y=bt+a； （2）利用計(jì)算器計(jì)算出y和t的線性回歸方程：y=0.367t-202.54 （3）轉(zhuǎn)換回y和x的模型： y=0.367x2 -202.54 （4）計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0.802這個(gè)回歸模型中溫度解釋了80.2%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為85個(gè)。 困惑：比66還多19個(gè)，是否還有更適合的模型呢？ 方案3： （1）作變換z=lgy，將轉(zhuǎn)化成z=c2x+lgc1（線性模型）。 （2）利用計(jì)算器計(jì)算出z和x的線性回歸方程： z=0.118x-1.672 （3）轉(zhuǎn)換回y和x的模型： （4）計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0.985這個(gè)回歸模型中溫度解釋了98.5%產(chǎn)卵數(shù)的變化。 預(yù)測(cè)：當(dāng)氣溫為28 時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)為4 2個(gè)。 師：給出數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分析兩個(gè)變量的關(guān)系。 生：類比前面所學(xué)過(guò)的建立線性回歸模型的步驟，動(dòng)手實(shí)施方案1。 師：引導(dǎo)學(xué)生分析結(jié)果，發(fā)現(xiàn)問題。 生：檢查結(jié)果，聯(lián)系實(shí)際發(fā)現(xiàn)問題。 探究一： 師：引導(dǎo)學(xué)生將所得散點(diǎn)圖和學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像比較，猜想產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的可以用什么函數(shù)擬合？ 生：通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)接近于指數(shù)關(guān)系，也像二次函數(shù)關(guān)系。 師：通過(guò)計(jì)算機(jī)擬合，直觀判斷所選模型。鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)探索。 生：經(jīng)過(guò)討論建立模型： y=bx2+a， 探究二（方案2）: 師：提出問題“如何求參數(shù)a、b?”可引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較表達(dá)式y(tǒng)=bx2+a和y=bx+a。 生：通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)可利用 t=x2，將y=bx2+a（二次函數(shù)）轉(zhuǎn)化成y=bt+a（一次函數(shù)）。 師：提醒學(xué)生再檢查結(jié)果。 生：產(chǎn)生新的問題。 探究三（方案3）: 師：提出問題“如果選用指數(shù)模型，是否也能轉(zhuǎn)換成線性模型，如何轉(zhuǎn)化？”（1）利用對(duì)數(shù)降冪法（教師可啟發(fā)學(xué)生思考“冪指數(shù)中的自變量如何轉(zhuǎn)化為自變量的一次冪？”可引導(dǎo)學(xué)生回憶對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指對(duì)數(shù)關(guān)系。）。 （2）在計(jì)算中發(fā)現(xiàn)只有以10或e為底，才能直接運(yùn)用計(jì)算器。 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)已有知識(shí)不足，激發(fā)好奇心、求知欲。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問題的洞悉能力，增強(qiáng)對(duì)結(jié)果的敏感自檢能力。 通過(guò)聯(lián)想、比較，運(yùn)用已有知識(shí)尋找解決問題的方法。 二次函數(shù)和一次函數(shù)比較接近，所以先建立二次函數(shù)模型。 通過(guò)比較，尋找轉(zhuǎn)化的途徑，突破難點(diǎn)。 步步推進(jìn)，引發(fā)另一高潮。 再次體會(huì)“轉(zhuǎn)化” 課堂上選用以10為底，讓學(xué)生親自體會(huì)可以選用不同的底。 經(jīng)歷動(dòng)手體驗(yàn)，感受“轉(zhuǎn)化”以及使用統(tǒng)計(jì)方法處理數(shù)據(jù)的過(guò)程。能利用計(jì)算器熟練進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。 2、比較例2的三個(gè)模型。 師：以上三個(gè)模型，哪個(gè)能更好的刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y 和溫度x的關(guān)系？（可引導(dǎo)學(xué)生從散點(diǎn)圖、相關(guān)指數(shù)兩種方法進(jìn)行比較。） 生：進(jìn)行比較后獲得指數(shù)模型更好。 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同模型的比較。體會(huì)“雖然任意兩個(gè)變量的觀測(cè)數(shù)據(jù)都可以用線性回歸模型來(lái)擬合，但不能保證這種模型對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果最好，為更好的刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來(lái)選擇回歸模型” 三、練 習(xí) 選修1-2：P13 3 或選修2-3： P104 3 生：自主思考，探究解題思路。 師：針對(duì)學(xué)生的解答強(qiáng)化或給予肯定。 使學(xué)生掌握解決這類問題的方法。 四、 小 結(jié) （1）如何發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量的關(guān)系？ （2）當(dāng)選用非線性回歸模型時(shí)，如何建立模型？ （3）如何比較不同模型的擬合效果？ 師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧例2的思路。 生：獨(dú)立思考，總結(jié)從例2中獲得的啟發(fā):可以從散點(diǎn)圖直觀發(fā)現(xiàn)關(guān)系；選用非線性回歸模型時(shí)，往往要用“等量變換、對(duì)數(shù)變換”等方法，轉(zhuǎn)化成線性回歸模型；可以利用相關(guān)指數(shù)比較模型。 讓學(xué)生整理建立非線性回歸模型的思路。 五、作業(yè) 1、某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y（元）與印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下： x 1 2 3 4 5 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 x 6 7 8 9 10 y 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)求成本費(fèi)y（元）與印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）的回歸方程。 2、通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)收集1993年至xx年每年中國(guó)人口總數(shù)的數(shù)據(jù)，建立人口與年份的關(guān)系，預(yù)測(cè)xx和xx年的人口總數(shù)，并計(jì)算與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差。 生：自己收集資料，自主完成作業(yè)。 使學(xué)生“學(xué)以致用”利用已有知識(shí)解決實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣 　　四、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明： 高中新課程中增加了有關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)初步的內(nèi)容，先后出現(xiàn)在必修3和選修1-2（文科）、選修2-3（理科）?！稊?shù)學(xué)3》中的“統(tǒng)計(jì)”一章，給出了運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法解決問題的思路?！熬€性回歸分析”是其介紹的一種分析整理數(shù)據(jù)的方法。在這一章中，學(xué)習(xí)了如何畫散點(diǎn)圖、利用最小二乘法的思想利用計(jì)算器求回歸直線方程、利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)等內(nèi)容。然而在大量的實(shí)際問題中，兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，他們可能呈指數(shù)關(guān)系或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系，本課時(shí)就是在學(xué)習(xí)了如何建立線性回歸模型的基礎(chǔ)上，探索如何建立非線性關(guān)系的回歸模型。 這個(gè)內(nèi)容在人教A版教材中只安排了一道關(guān)于“紅鈴蟲”的例題，但是它卻代表了一種“回歸分析”的類型。如何利用這道例題使學(xué)生掌握這類問題的解決方法呢？為此，我設(shè)計(jì)了“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究”的教學(xué)方法。首先展示“紅鈴蟲”的背景資料來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；鼓勵(lì)學(xué)生用已有知識(shí)解決問題，引導(dǎo)學(xué)生檢查結(jié)果從而發(fā)現(xiàn)新問題；通過(guò)分組合作來(lái)對(duì)不同方案進(jìn)行探索；使學(xué)生在合作探索的過(guò)程中體會(huì)“選擇模型——將非線性轉(zhuǎn)化成線性……”方法，體會(huì)“化未知為已知、用已知探索未知”思想，同時(shí)認(rèn)識(shí)不同模型的效果。培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比聯(lián)想，以及分析問題的能力。在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生自主探索、動(dòng)手實(shí)踐，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。 在“選模型”這個(gè)環(huán)節(jié)中，我引導(dǎo)將散點(diǎn)分布和已學(xué)函數(shù)圖像進(jìn)行比較，從而發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)模型。在“轉(zhuǎn)化”這個(gè)環(huán)節(jié)中，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察所選模型，聯(lián)系已學(xué)知識(shí)選擇“等量變換和對(duì)數(shù)變換”，從而找到轉(zhuǎn)化的途徑。在運(yùn)算過(guò)程中，如求“相關(guān)指數(shù)”我引導(dǎo)學(xué)生使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器求其相關(guān)系數(shù)即為相關(guān)指數(shù)，使學(xué)生體會(huì)使用計(jì)算器處理數(shù)據(jù)的方法和技能。