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2019-2020年高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)（文） 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.設(shè)全集，集合，則（ ） A． B． C． D． 2.已知為虛數(shù)單位，則的實部與虛部之積等于（ ） A． B． C． D． 3.鷹潭氣象臺通緝，5月1日貴溪下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)為下雨，為刮風(fēng)，則（ ） A． B． C． D． 4.的內(nèi)角的對邊分別為，若，則的外接圓面積為（ ） A．4 B．8 C.9 D．36 5.雙曲線離心率為，左右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，的平分線為，點關(guān)于的對稱點為，則雙曲線方程為（ ） A． B． C. D． 6.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C. 向左平移個單位 D．向右平移個單位 7.北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類，這種長方臺形狀的物體垛積.設(shè)隙積共層，上底由個物體組成，以下各層的長、寬一次各增加一個物體，最下層（即下底）由個物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為 .已知由若干個相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個數(shù)為（ ） A．83 B．84 C. 85 D．86 8.已知，則的大小關(guān)系是（ ） A． B． C. D． 9.定義運算：，則函數(shù)的圖象大致為（ ） A． B． C. D． 10.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的為（ ） A．的值 B．的值 C. 的值 D．的值 11.已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角余弦值為（ ） A． B． C. D． 12.若在上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.已知向量，若，則 ． 14.化簡： ． 15.已知圓和圓，若點在兩圓的公共弦上，則的最小值為 ． 16.已知函數(shù)的定義域是，關(guān)于函數(shù)給出下列命題： ①對于任意，函數(shù)是上的減函數(shù)； ②對于任意，函數(shù)存在最小值； ③存在，使得對于任意的，都有成立； ④存在，使得函數(shù)有兩個零點. 其中正確命題的序號是 ．（寫出所有正確命題的序號） 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.已知數(shù)列與，若且對任意正整數(shù)滿足，數(shù)列的前項和. （1）求數(shù)列、的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 18.如圖，四棱錐中，與都是邊長為2的等邊三角形，是的中點. （I）求證：平面； （II）證明：平面平面. 19.某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示： 其中一個數(shù)字被污損. （1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率. （2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對成語知識的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語知識的時間（單位：小時）與年齡（單位：歲），并制作了對照表（如下表所示） 年齡（歲） 20 30 40 50 周均學(xué)習(xí)成語知識時間（小時） 2.5 3 4 4.5 由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識時間. 參考公式：，. 20.已知圓與圓，以圓的圓心分別為左右焦點的橢圓經(jīng)過兩圓的焦點. （1）求橢圓的方程； （2）直線上有兩點（在第一象限）滿足，直線與交于點，當(dāng)最小時，求線段的長. 21.函數(shù)，. （I）討論的極值點的個數(shù)； （2）若對于任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍. 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是. （1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； （2）已知點.若點的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點，設(shè)線段的中點為，求的值. 23.選修4-5：不等式選講 已知函數(shù). （1）求時，求不等式的解集； （2）當(dāng)時，若的圖象與軸圍成的三角形面積等于6，求的值. 試卷答案 一、選擇題 1-5: CBBCB 6-10: ACAAC 11、12：CD 二、填空題 13. 14. 15. 8 16.②④ 三、解答題 17.（1）；（2） 試題解析： （1）由題意知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，又因為， 所以. 當(dāng)時， 當(dāng)時， ， 對不成立. 所以，數(shù)列的通項公式：. （2）時，. 時，， 所以， 仍然適合上式， 綜上，. 18.（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析. 試題解析： 解：（Ⅰ）因為， 是中點，所以， 且， 四邊形是平行四邊形，所以， 平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）連接，設(shè)交于，連， 則是正方形，所以， 因為是中點，所以， 顯然，則， 即， 因為，所以平面， 因為，所以平面， 又平面，所以平面平面. 19.（1）；（2）詳見解析. 試題解析： （1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個，所以其概率為. （2）由表中數(shù)據(jù)得，， ∴，線性回歸方程. 可預(yù)測年齡為55觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識時間為4.9小時. 20.（1）；（2）3. 試題解析： 解：（1）設(shè)圓與圓的其中一個交點為，則， ∴， ∴， ∴橢圓C的方程為； （2）設(shè)，則， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”號成立，此時， ∴， ∴. 21.（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）. （Ⅰ）解法一：由題意得，令 （1）當(dāng)，即時，對恒成立 即對恒成立，此時沒有極值點； （2）當(dāng)，即或 ①時，設(shè)方程兩個不同實根為，不妨設(shè)， 則，故， ∴或時；在時 故是函數(shù)的兩個極值點. ②時，設(shè)方程兩個不同實根為，則， 故，∴時，；故函數(shù)沒有極值點. 綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點； 當(dāng)時，函數(shù)沒有極值點. 解法二： ， ∵，∴， ①當(dāng)，即時，對恒成立，在單調(diào)增，沒有極值點； ②當(dāng)，即時，方程有兩個不等正數(shù)解， 不妨設(shè)，則當(dāng)時，，增；時，，減；時，，增，所以分別為極大值點和極小值點，有兩個極值點. 綜上所述，當(dāng)時，沒有極值點； 當(dāng)時，有兩個極值點. （Ⅱ）， 由，即對于恒成立， 設(shè)， ， ∵，∴時，，減，時，，增， ∴， ∴. 22.（1）；線的直角坐標(biāo)方程為；（2）. 試題解析：（1）∵直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）， ∴直線的普通方程為 由，得，即， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. （2）∵點的極坐標(biāo)為，∴點的直角坐標(biāo)為. ∴,直線的傾斜角. ∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）. 代入，得. 設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)為. ∵為線段的中點， ∴點對應(yīng)的參數(shù)值為. 又點，則. 23.（1）；（2）-2. 【解析】（1）當(dāng)時，化為， 當(dāng)時，不等式化為，解得； 當(dāng)時，不等式化為，無解； 當(dāng)時，不等式化為，解得， 所以的解集為. （2）由題設(shè)可得， 當(dāng)時，，，，又， 所以函數(shù)的圖象與軸圍成的三角形位于軸左側(cè)，且三個頂點分別為 所以