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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 4.2圓周率同步精練 北師大版選修3-1 1．關(guān)于圓周率的最早記錄出自(　　) A．《周髀算經(jīng)》 B．《九章算術(shù)》 C．萊茵德草卷 D．《幾何原本》 2．世界上第一個(gè)把π計(jì)算到3.141 592 6＜π＜3.141 592 7的數(shù)學(xué)家是(　　) A．劉徽 B．阿基米德 C．祖沖之 D．卡瓦列利 3．最早用窮竭法研究圓周率的數(shù)學(xué)家是(　　) A．阿基米德 B．安提豐 C．劉徽 D．布里松 4．證明π是無理數(shù)的數(shù)學(xué)家是(　　) A．高斯 B．阿基米德 C．蘭伯特 D．林德曼 5．圓周率的計(jì)算是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的偉大的成就之一，很久以前我們的祖先就發(fā)現(xiàn)圓的周長(zhǎng)和直徑之比是一個(gè)定數(shù)，這個(gè)定數(shù)被命名為圓周率．那么圓周率在不斷地精確過程中有哪些突出的成就呢？ 6．查找資料，了解阿基米德與窮竭法． 7. 如圖所示，已知直線y=2x+3與拋物線y=x2交于A，B兩點(diǎn)，試用阿基米德窮竭法求拋物弓形AOB的面積．  參考答案 1．答案：C 2．答案：C 3．答案：B 4．答案：C 5．答：①《周髀算經(jīng)》，采用的圓周率是“周三徑一”，即π＝3；②魏晉時(shí)期劉徽創(chuàng)立割圓術(shù)，為計(jì)算圓周率建立了嚴(yán)密理論和算法，求出π≈3.141 6，采用了極限思維，是近代微積分思想的萌芽；③祖沖之求出的圓周率，在3.141 592 6和3.141 592 7之間，并且確立兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式的近似值：約率和密率，祖沖之的成果在世界上一直領(lǐng)先了1 000年． 6．答：在古希臘，利用窮竭法作出重要貢獻(xiàn)的是阿基米德，阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)出生于意大利西西里島的敘拉古，是古希臘最杰出的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，他的幾何著作成為古希臘數(shù)學(xué)的頂峰，他的數(shù)學(xué)著作主要有《圓的度量》《論球與圓柱》《拋物線求積法》《論螺線》等．在這些著作中，阿基米德巧妙地將窮竭法與原子論觀點(diǎn)結(jié)合起來，通過嚴(yán)密的計(jì)算，獲得了許多重要的結(jié)果，例如他在《拋物線求積法》一書中，使用窮竭法求出了拋物線弓形的面積，他的方法簡(jiǎn)述如下：作三角形ABC，設(shè)其面積為S1，其中l(wèi)1∥AC，B是切點(diǎn)，再作拋物線的切線l2和l3使之分別平行于AB和BC，切點(diǎn)分別是D和E，再作三角形ADB和三角形BEC(如圖)，設(shè)兩個(gè)三角形面積之和為S2，用A1表示S1，A2表示S1+S2，那么用完全同樣的方法可以得到An=S1+S2+…+Sn. 很明顯，只要取n足夠大，弓形面積S與An的差S-An就可以任意?。? 由拋物線的性質(zhì)可知S1=4S2， ∴An＝S1＋. 最后，阿基米德用反證法證明了S＝. 特別要提到的是，阿基米德在計(jì)算以他的名字命名的曲線——阿基米德螺線第一周圍成的區(qū)域的面積時(shí)，使用了類似于現(xiàn)代積分學(xué)中的大和、小和的概念．他的用法，用今天的符號(hào)表示就是：將2π n等分，在每一部分上作出頂角的內(nèi)接圓扇形和外接圓扇形(如下圖)，它們的面積之和，分別用An與Sn表示，顯然所求之面積S滿足不等式An＜S＜Sn， 經(jīng)過計(jì)算An＝， Sn＝， 于是，對(duì)任意的n，有An＜＜Sn. 阿基米德經(jīng)過猜測(cè)，并使用反證法進(jìn)行了證明，得出螺線第一周所圍成的面積S＝. 阿基米德突破了傳統(tǒng)的有限運(yùn)算，大膽地采用了無限逼近的思想，從而將窮竭法發(fā)展到了高峰，但是由于當(dāng)時(shí)沒有極限概念，不承認(rèn)無限，因此，窮竭法仍是有限的形式，并且局限在幾何直觀上，運(yùn)算也很煩瑣，所以自阿基米德之后，很長(zhǎng)時(shí)間沒有被人重視．盡管這種方法有很大的缺點(diǎn)，但是，他的求積方法已具有了定積分思想的萌芽． 7. 分析：可以求出弦AB的中點(diǎn)C，過C作y軸的平行線交拋物線與點(diǎn)D，這樣拋物弓形AOB的面積是△ABD面積的，因此我們只要求△ABD的面積即可． 解：設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有 解得 ∴A(－1,1)，B(3,9)，中點(diǎn)C(1,5)． 過中點(diǎn)C(1,5)作y軸的平行線交拋物線于D(1,1)，再求△ABD的面積． |AB|= 點(diǎn)D到直線AB的距離為d＝. ∴S△ABD＝|AB|d＝＝8. ∴拋物弓形AOB的面積為S＝S△ABD＝.