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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 4 數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用創(chuàng)新演練 北師大版選修2-2
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋
1)時，第一步應(yīng)驗證( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
解析：∵n>1，且n∈N＋，∴n的第一個取值n0＝2.
此時＝.
答案：B
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( )
A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確
B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確
C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1正確
D．假設(shè)n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2時正確(以上k∈N＋)
解析：因為n為正奇數(shù)，據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)第k個正奇數(shù)也成立，本題即假設(shè)n＝2k－1正確，再推第(k＋1)個正奇數(shù)即n＝2k＋1正確．
答案：B
3．已知數(shù)列{an}的前n項之和為Sn且Sn＝2n－an(n∈N＋)，若已經(jīng)算出a1＝1，a2＝，則猜想an＝( )
A. B.[
C. D.
解析：∵a1＝1，a2＝，
又S3＝1＋＋a3＝6－a3，
∴a3＝.
同理，可求a4＝，觀察1，，，，…，
容易猜想出an＝.
答案：D
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k到n＝k＋1時，不等式左邊的變化情況為( )
A．增加
B．增加＋
C．增加＋，減少
D．增加，減少
解析：當(dāng)n＝k時，不等式的左邊＝＋＋…＋，當(dāng)n＝k＋1時，不等式的左邊＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1時，不等式的左邊增加＋，減少.
答案：C
5．設(shè)凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
解析：凸k＋1邊形在凸k邊形的基礎(chǔ)上增加了一條邊，同時內(nèi)角和增加了一個三角形的內(nèi)角和即π.
答案：π
6．用數(shù)學(xué)歸納法證明
1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下：
①當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即
1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，
則當(dāng)n＝k＋1時，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以，當(dāng)n＝k＋1時等式成立．
由此可知，對任何n∈N＋，等式都成立．
上述證明的錯誤是________．
解析：當(dāng)n＝k＋1時正確的解法是
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，
即一定用上第二步中的假設(shè)．
答案：沒有用上歸納假設(shè)進行遞推
7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N＋)．
(1)計算a2，a3，a4；
(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解：(1)a1＝1，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)由(1)的計算猜想知an＝.
下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．
①當(dāng)n＝1時，a1＝1，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時，等式成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝＝，
即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
根據(jù)①②可知，對任意n∈N＋都有an＝.
8．已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且滿足a1＝1，an＋1＝an(4－an)，n∈N＋.證明an0，
∴ak＋1－ak＋2<0.
又ak＋2＝ak＋1(4－ak＋1)＝[4－(ak＋1－2)2]<2，
∴n＝k＋1時命題正確．
由①②知，對一切n∈N＋有ak
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