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2019-2020年高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué) 注意事項： 　　1．本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分160分，考試形式閉卷． 　　2．本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分． 　　3．答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上． 參考公式： 錐體體積公式：，其中為底面積,為高； 柱體體積公式：，其中為底面積,為高. 樣本數(shù)據(jù)的方差，其中. 一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，計70分. 不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上） 1．已知集合，，則 ▲ . + 開始 結(jié)束 x←1 y←9 x>y x←x+4 y←y-2 否 是 輸出x 第4題圖 2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位， 則的虛部為 ▲ . 數(shù)據(jù)的方差為 ▲ . 4．如圖是一個算法流程圖，則輸出的x的值是 ▲ . 5．在數(shù)字1、2、3、4中隨機(jī)選兩個數(shù)字，則選中的數(shù)字 中至少有一個是偶數(shù)的概率為 ▲ . 6．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值 是 ▲ . 7．設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角 為，則該雙曲線的離心率為 ▲ . 8．設(shè)是等差數(shù)列，若，則 ▲ . 9．將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位后，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則 ▲ . 10．將矩形繞邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓柱，，，圓柱上底面圓心 為，為下底面圓的一個內(nèi)接直角三角形，則三棱錐體積的最大值 是 ▲ . A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 … x y 第12題圖 11．在中，已知，，則的最大值為 ▲ . 12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別在軸與直線 上從左向右依次取點(diǎn)、，，其中是坐標(biāo)原點(diǎn)，使 都是等邊三角形，則的邊長 是 ▲ . 13．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為函數(shù)的圖像與圓的公共點(diǎn)，且它們在點(diǎn)處有公切線，若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O，P，M，則的最大值為 ▲ . 14．在中，所對的邊分別為，若，則面積的最大值為 ▲ ． 二、解答題（本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 15．(本小題滿分14分) 如圖，在直三棱柱中，，,分別是,的中點(diǎn)． A B C A1 B1 C1 D E 第15題圖 （1）求證：∥平面； （2）求證：平面平面． 16．(本小題滿分14分) 在中，,,分別為內(nèi)角,,的對邊，且． （1）求角； （2）若，求的值. 17. (本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，當(dāng)時，求的值. 18．(本小題滿分16分) 如圖所示，某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個活動中心，其中米．活動中心東西走向，與居民樓平行. 從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形，上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米，其中該太陽光線與水平線的夾角滿足. （1）若設(shè)計米，米，問能否保證上述采光要求？ F 第18題圖 A B E D G C ←南 居 民 樓 活 動 中 心 （2）在保證上述采光要求的前提下，如何設(shè)計與的長度，可使得活動中心的截面面積最大？（注：計算中取3） 19．(本小題滿分16分) 設(shè)函數(shù)，（）. （1）當(dāng)時，解關(guān)于的方程（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）； （2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間； （3）當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由. （參考數(shù)據(jù)：，） 20．(本小題滿分16分) 若存在常數(shù)、、，使得無窮數(shù)列滿足 則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、、分別叫做段長、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”. （1）若的首項、段長、段比、段差分別為1、3、、3. ①當(dāng)時，求； ②當(dāng)時，設(shè)的前項和為，若不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）設(shè)為等比數(shù)列，且首項為，試寫出所有滿足條件的，并說明理由. 南京市、鹽城市xx高三年級第一次模擬考試 數(shù)學(xué)附加題部分 （本部分滿分40分，考試時間30分鐘） 21．[選做題]（在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） A.（選修4-1：幾何證明選講） A B C P D O 第21(A)圖 如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)為半圓外一點(diǎn)，分別交半圓于點(diǎn).若，，，求的長. B.（選修4-2：矩陣與變換） 設(shè)矩陣的一個特征值對應(yīng)的特征向量為 ，求與的值. C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線為參數(shù)). 現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)圓的極坐標(biāo)方程為，直線與圓交于兩點(diǎn)，求弦的長. D．(選修4-5：不等式選講） 若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值. [必做題]（第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)） 22．（本小題滿分10分） 某年級星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課（上午不排該課程），張老師與王老師分別任教甲、乙兩個班的綜合實(shí)踐課程. （1）求這兩個班“在星期一不同時上綜合實(shí)踐課”的概率； （2）設(shè)這兩個班“在一周中同時上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望E(X). 23．（本小題滿分10分） 設(shè)，，. （1）求值： ①； ②（）； （2）化簡：. 南京市、鹽城市xx高三年級第一次模擬考試 數(shù)學(xué)參考答案 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分. 1. 2. 1 3. 12 4. 9 5. 6. 7. 8. 63 9. 10. 4 11. 12.512 13. 14. 二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi). 15．證明：（1）因?yàn)?分別是,的中點(diǎn)，所以， ...............2分 又因?yàn)樵谌庵?，，所? ...............4分 又平面，平面，所以∥平面. ...............6分 （2）在直三棱柱中，底面， 又底面，所以. ...............8分 又，，所以， ...............10分 又平面，且，所以平面. ...............12分 又平面，所以平面平面． ...............14分 （注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，類似給分） 16．解：（1）由，根據(jù)正弦定理，得， …………2分 因?yàn)?，所以? …………4分 又，所以. …………6分 （2）因?yàn)?，所以，所以? 又，所以. …………8分 又，即， 所以 ………12分 . …………14分 17．解：（1）因，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上， 又圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距， ……………3分 所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分 （2）方法一：設(shè)，，， 聯(lián)立，消去，得， 所以，又，所以， 所以，， ……………10分 則. ……………14分 方法二：設(shè)，，， 則， 兩式作差，得， 又，，∴，∴， 又，在直線上，∴，∴，① 又在直線上，∴，② 由①②可得，. ……………10分 以下同方法一. A B E D H G C 第18題 ←南 x y 18．解：如圖所示，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系． （1）因?yàn)?，，所以半圓的圓心為， 半徑．設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即， ...............2分 則由， 解得或（舍）. 故太陽光線所在直線方程為， ...............5分 令，得米米. 所以此時能保證上述采光要求. ...............7分 （2）設(shè)米，米，則半圓的圓心為，半徑為． 方法一：設(shè)太陽光線所在直線方程為， 即，由， 解得或（舍）. ...............9分 故太陽光線所在直線方程為， 令，得，由，得. ...............11分 所以 . 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 所以當(dāng)米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. ...............16分 方法二：欲使活動中心內(nèi)部空間盡可能大，則影長EG恰為米，則此時點(diǎn)為， 設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽光線為，則所在直線方程為y－＝－(x－30)， 即． ...............10分 由直線與半圓H相切，得． 而點(diǎn)H(r，h)在直線的下方，則3r＋4h－100＜0， 即，從而． ...............13分 又. 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號. 所以當(dāng)米且米時，可使得活動中心的截面面積最大. ...............16分 19．解：（1）當(dāng)時，方程即為，去分母，得 ，解得或， ……………2分 故所求方程的根為或. ……………4分 （2）因?yàn)椋? 所以（）， ……………6分 ①當(dāng)時，由，解得； ②當(dāng)時，由，解得； ③當(dāng)時，由，解得； ④當(dāng)時，由，解得； ⑤當(dāng)時，由，解得. 綜上所述，當(dāng)時，的增區(qū)間為； 當(dāng)時，的增區(qū)間為； 時，的增區(qū)間為. .……………10分 （3）方法一：當(dāng)時，，， 所以單調(diào)遞增，，， 所以存在唯一，使得，即， .……………12分 當(dāng)時，，當(dāng)時，， 所以， 記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增， .……………14分 所以，即， 由，且為整數(shù)，得， 所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分 方法二：當(dāng)時，，所以， 由得，當(dāng)時，不等式有解， .……………12分 下證：當(dāng)時，恒成立，即證恒成立. 顯然當(dāng)時，不等式恒成立， 只需證明當(dāng)時，恒成立. 即證明.令， 所以，由，得， .……………14分 當(dāng)，；當(dāng)，； 所以. 所以當(dāng)時，恒成立. 綜上所述，存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為. .……………16分 20．（1）①方法一：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3， ，，. ……………3分 方法二：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、0、3， ∴，，，，，，，… ∴當(dāng)時，是周期為3的周期數(shù)列. ∴. ……………3分 ②方法一：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3， ∴， ∴是以為首項、6為公差的等差數(shù)列， 又， ， ……………6分 ，，設(shè)，則， 又， 當(dāng)時，，；當(dāng)時，，， ∴，∴， ……………9分 ∴，得. ……………10分 方法二：∵的首項、段長、段比、段差分別為1、3、1、3， ∴，∴，∴是首項為、公差為6的等差數(shù)列， ∴， 易知中刪掉的項后按原來的順序構(gòu)成一個首項為1公差為3的等差數(shù)列， ， ， ………………6分 以下同方法一. （2）方法一：設(shè)的段長、段比、段差分別為、、， 則等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式有， 當(dāng)時，，即恒成立， ……………12分 ①若，則，； ②若，則，則為常數(shù)，則，為偶數(shù)，，； 經(jīng)檢驗(yàn)，滿足條件的的通項公式為或. ……………16分 方法二：設(shè)的段長、段比、段差分別為、、， ①若，則，，，， 由，得；由，得， 聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)均合題意. …………13分 ②若，則，，， 由，得，得，則，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意. 綜上①②，滿足條件的的通項公式為或. ……………16分 附加題答案 21. A、解：由切割線定理得： 則，解得， …………4分 又因?yàn)槭前雸A的直徑，故, …………6分 則在三角形PDB中有. …………10分 B、解：由題意得， …………4分 則， …………8分 解得，. …………10分 C、解：直線為參數(shù))化為普通方程為， …………2分 圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為， …………4分 則圓的圓心到直線l的距離為， …………6分 所以. …………10分 D、解：由柯西不等式，得， 即， …………5分 又因?yàn)?，所以? 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號. 綜上，. …………10分 22．解：（1）這兩個班“在星期一不同時上綜合實(shí)踐課”的概率為. …………4分 （2）由題意得，. …………6分 所以X的概率分布表為： X 0 1 2 3 4 5 P …………8分 所以，X的數(shù)學(xué)期望為. …………10分 23.解：（1）① . ……………2分 ② . ………………4分 （2）方法一：由（1）可知當(dāng)時 . ……………6分 故 . ……………10分 方法二：當(dāng)時，由二項式定理，有， 兩邊同乘以，得， 兩邊對求導(dǎo)，得， ……………6分 兩邊再同乘以，得 ， 兩邊再對求導(dǎo)，得 . ……………8分 令，得， 即. …………10分