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2019-2020年高三12月模擬考試 數(shù)學(xué)文 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分, 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 （1）設(shè)全集，集合，集合，則 　 (Ａ) 　　 (Ｂ) (Ｃ) 　 (Ｄ) （2）設(shè)，其中是實(shí)數(shù)，則 （A）1 （B） （C） （D） （3）已知雙曲線（）的漸近線方程為, 則雙曲線的離心率為 (A) (B) (C) (D) （4）袋中有大小，形狀相同的紅球，黑球各一個(gè)，現(xiàn)有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸出一個(gè)球. 若摸到紅球得2分，摸到黑球得1分，則3次摸球所得總分為5分的概率是 (A) (B) (C) (D) （5）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合, 始邊與軸正半軸重合, 終邊過(guò)點(diǎn), 則 （A） （B） （C） （D） （6）已知菱形的邊長(zhǎng)為，, 則 (A) (B) (C) (D) （7）已知函數(shù) ，則函數(shù)的圖象是 （8）曲線上存在點(diǎn)滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為 (A) (B) (C) (D) （9）閱讀如下程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果為 (A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11 （10）若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是( 　)． (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) （11）如圖, 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1, 粗線畫(huà)出的是某三棱錐 的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積是 (A) (B) (C) (D) (12) 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 (A) (B) (C) (D) 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分。第13～21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22～23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。 二、填空題：本小題共4題，每小題5分。 （13）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比________． （14）已知函數(shù)，若，則 ． （15）設(shè)分別是圓和橢圓上的點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最大 距離是 . （16）已知銳角△的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為，，，若， ，則△的周長(zhǎng)的取值范圍是 . 三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 （17）（本小題滿分12分） 等差數(shù)列中，，. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，. 令， 求數(shù)列的前xx項(xiàng)和. （18）（本小題滿分12分） PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用前衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米與75微克/立方米之間的空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上的空氣質(zhì)量為超標(biāo)．為了解甲, 乙兩座城市年的空氣質(zhì)量情況，從全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取20天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值如以下莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）． （Ⅰ）從甲, 乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中， 從PM2.5日均值在范圍內(nèi)隨機(jī)取2天 數(shù)據(jù)，求取到2天的PM2.5均超標(biāo)的概率； （Ⅱ）以這20天的PM2.5日均值數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)一年 的空氣質(zhì)量情況，則甲, 乙兩城市一年（按365天計(jì)算） 中分別約有多少天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)． (19) （本小題滿分12分） 在三棱錐中, △是等邊三角形, ∠∠. （Ⅰ）求證: ⊥; （Ⅱ）若，，求三棱錐的體積. (20) （本小題滿分12分） 已知點(diǎn)是拋物線上相異兩點(diǎn)，且滿足． （Ⅰ）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）是否存在直線，使得線段的中垂線交軸于點(diǎn), 且? 若存 在，求直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由. (21) （本小題滿分12分） 設(shè)函數(shù). 若曲線在點(diǎn)處的切線方程為 （為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若，試比較與的大小，并予以證明. 請(qǐng)考生在第22～23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。 （22）（本小題滿分10分）選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位.已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù), 曲線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ) 求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; （II）設(shè)直線與曲線C相交于兩點(diǎn), 當(dāng)變化時(shí), 求的最小值. (23)（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講 已知，不等式的解集是. （Ⅰ）求的值； （II）若存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍. xx廣州市普通高中畢業(yè)班模擬考試 文科數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考 評(píng)分說(shuō)明: 1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分參考制訂相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則． 2．對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分． 3．解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)． 4．只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．選擇題不給中間分． 一、選擇題 （1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D （7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空題 （13） （14） （15） （16） 三、解答題 (17) 解： （Ⅰ）由，，得 ……………………2分 解得，， …………………………………………4分 所以. ………………………………………………………………5分 （Ⅱ）， …………………………………………6分 當(dāng)時(shí), ; …………………………………………7分 當(dāng)時(shí), ; …………………………………………8分 當(dāng)時(shí), ; …………………………………………9分 當(dāng)時(shí), . ………………………………………10分 所以數(shù)列的前xx項(xiàng)和為. ……12分 (18) 解: （Ⅰ）從甲, 乙兩城市共采集的40個(gè)數(shù)據(jù)樣本中，PM2.5日均值在內(nèi)的共有6天，而PM2.5日均值為超標(biāo)（大于75微克/立方米）的有3天．記PM2.5日均值超標(biāo)的3天為，不超標(biāo)的3天為，則從這6天中隨機(jī)取2天，共有如下15種結(jié)果（不記順序）: ，， ……………………2分 其中，抽出2天的PM2.5均超標(biāo)的情況有3種：．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超標(biāo)的概率． ……………………6分 （Ⅱ）各抽取的20天樣本數(shù)據(jù)中，甲城市有15天達(dá)到一級(jí)或二級(jí)；……………………7分 乙城市有16天達(dá)到一級(jí)或二級(jí)． …………………………………………8分 由樣本估計(jì)總體知，甲, 乙兩城市一年（按365天計(jì)算）中空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)或二級(jí)的天數(shù)分別約為: ， ．……………………12分 (19) 解: （Ⅰ）因?yàn)槭堑冗吶切? ∠∠, 所以≌, 可得. …………1分 如圖, 取中點(diǎn), 連結(jié),, 則,, ……………………3分 因?yàn)? 所以平面, ………………………………………………………………4分 因?yàn)槠矫? 所以. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）因?yàn)?≌, 所以, . ………………………………………………………6分 由已知，在Rt中, , ………………………………………………8分　 因?yàn)? , , 所以. ……………………………………………………………9分 因?yàn)? ， 所以的面積. ……………………10分 因?yàn)槿忮F的體積等于三棱錐的體積, 所以三棱錐的體積. ………………12分 (20) 解： （I）法1：①若直線的斜率不存在，則直線方程為． 聯(lián)立方程組 解得 或 即，． ………………………………………………………………1分 所以． ………………………………………………………………2分 ②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立方程組 消去得， 故，方程無(wú)解． …………………………………………3分 所以． 法2：因?yàn)橹本€過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義得， ，， …………………………………………………………2分 所以. …………………………………………3分 （II）假設(shè)存在直線符合題意，設(shè)直線的方程為， 聯(lián)立方程組 消去得，(*) 故，……………………………………………………………4分 所以． 所以． …………………………………………………………5分 所以． …………………………………………………………6分 因?yàn)椋? 所以的中點(diǎn)為． 所以的中垂線方程為=，即． …………………7分 令, 得. 所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. ……………………………………………………………8分 所以點(diǎn)到直線的距離. 因?yàn)椋?分 所以 . 解得． ………………………………………………………………10分 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 把和分別代入(*)式檢驗(yàn), 得,不符合題意. …………………11分 所以直線不存在. ……………………………………………………………12分 (21) 解: （Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)? . ………………………………………………………………1分 依題意得，即 ……………………3分 所以. ………………………………………………………………4分 所以，. 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), . 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是, 單調(diào)遞增區(qū)間是.………………6分 （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，. 等價(jià)于， 也等價(jià)于. ………………………………………7分 不妨設(shè)， 設(shè)（）, 則. …………………………………………………………8分 當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)， 即， ……………………9分 故當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等 號(hào)）. 令，則， …………………………………………10分 即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），……………11分 綜上所述，當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）. ………………………………………………………………12分 (22) 解: (Ⅰ) 由消去得, ……………………1分 所以直線的普通方程為. ……………………2分 由, 得, ……………………3分 把代入上式, 得, 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為. …………………………………………5分 (II) 將直線l的參數(shù)方程代入, 得, ………………6分 設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為, 則, , …………………………………………7分 所以 . ……9分 當(dāng)時(shí), 的最小值為4. …………………………………………10分 (23) 解： （Ⅰ）由|, 得，即. ……………………1分 當(dāng)時(shí)，. …………………………………………………………2分 因?yàn)椴坏仁降慕饧? 所以 解得…………………………………………………………3分 當(dāng)時(shí)，. …………………………………………………………4分 因?yàn)椴坏仁降慕饧? 所以 無(wú)解. …………………………………………………………5分 所以 （II）因?yàn)椤?分 所以要使存在實(shí)數(shù)解，只需. ………………8分 解得或. ………………………………………………………9分 所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. …………………………10分